高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》知识点总复习含答案解析

高中数学《不等式选讲》复习知识点
一、14
1．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】
由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】
本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值
【答案】C 【解析】
因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪
=--<<⎨⎪≤-⎩
，所以最小值是－4，最大值是4，选C.
点睛：分段函数的最值
由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
3．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}
15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）
A ．{}
06a a ≤≤ B ．{}64a a a ≤≥或
C ．{}06a a a ≤≥或
D ．{}24a a ≤≤
【答案】C 【解析】
根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。

【详解】
由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是
{}06a a a ≤≥或，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。

4．若函数()(0)1
a
f x ax a x =
+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.
A ．2
B ．6
C ．4
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】
当1x >，0a >时，()()111
=
+=+-+--a a f x ax a x a x x
≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当
()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.
故选：C 【点睛】
本题主要考查基本不等式：)0,0a b a
b +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝
对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.
5．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤
C ．{|14}x x x ≤-≥或
D ．{|4}x x ≥
【答案】C
【分析】
根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】
因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.
6．已知，，则使不等式一定成立的条件是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】因为若
，则
，已知不等式不成立，所以
，应选答案D 。

7．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．
37
200
B ．
200
7
C ．36
D ．40
【答案】B 【解析】 【分析】
根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】
根据柯西不等式得到
()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()2
222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦
进而得到最小值是：200
7
故答案为B. 【点睛】
这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.
8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()
2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．(]2∞-，
B ．(]
1∞-， C ．14∞⎛
⎤- ⎥⎝⎦
，
D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
2212,21n n a a S n +==++ ()
*n N ∈，可得2n ≥时，
()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，
212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ
的取值范围． 【详解】
2212,21n n a a S n +==++Q ()
*n N ∈，
2n ∴≥时，()22
112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222
121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．
11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，
1n =时，212224a a +==，解得11a =．
∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．
11n a n n ∴=+-=． 12111111
12n n a n a n a n n n n
∴
++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =
++⋯++++，1111
111211
n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()
11111
022*******n n b b n n n n n +-=
+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112
n b b ≥=
,即121111111
122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤
，解得1
4
λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦，．
故选C ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()2
29ax -=的两个解为215
1
,33
x x -==，即可求出a 的值. 【详解】
由题意可知0a ≠，()2
2329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<， 故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33
x x -==， 则1212224455,39
a x x x x a a +==-=-=-，解得3a =-. 故答案为D. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
10．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞
C ．(),1-∞
D ．(]
,1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】
先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】
由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，
由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．若关于x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a 2-2a-1在R 上的解集为⌀,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞,-1)∪(3,+∞) B ．(-∞,0)∪(3,+∞)
C ．(-1,3)
D ．[-1,3]
【答案】C 【解析】 【分析】
表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，再由，解得的取值范围.
【详解】
表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，
由题意的解集为空集， 可得恒成立，
所以有，整理得
，
解得
，
所以的范围是， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关根据不等式的解集为求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意对不等式的转化，对应恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.
12．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；
22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.
13．设不等式3
412x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．15a <-或47a >
B ．15a <-
C ．47a >或01a <<
D ．15a <-或1064
a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据不等式3
412
x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2
431a ->,解得
15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为2
81t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况
讨论2
()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
解:因为不等式3
412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,
当2x =时,3
12
x +-有最大值31,不等式显然要成立,
即2
431a ->,解得15a <-或47a >, 当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x
t =∈, 则2
4[4,16]x
t =∈,328[16,32]x t +=∈,
所以3
412
x x a +->-等价于2
81t a t ->-,
①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t h t >+-=,
即求2
()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >;
②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t f t <-+=,
即求2
()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;
综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】
本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.
14．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．2
211x x x x
+
+≥
B C ．1
2x y x y
-+
≥- D ．x y x z y z -≤-+- 【答案】C
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1
f x x x
=+
,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x
+>+,当01x <<,()()22
01,x x f x f x <<即
2211
x x x x
+
+≥正确，即A 正确；
=
<
=,故B 恒成立，
若1x y -=-,不等式1
2x y x y
-+
≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．
15．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）
A B
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.
【详解】
因为()f x cosx =
所以()f x cosx =
…
=
当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.
16．若不等式53x x a -+->恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．2a > B ．2a ≥
C ．2a ≤
D ．2a <
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出不等式53x x -+-的最小值，即可得解。

【详解】
由绝对值的三角不等式可得53532x x x x -+-≥--+=，则不等式53x x -+-的最小值为2；
要使不等式53x x a -+->恒成立，则2a <， 故答案选D 【点睛】
本题考查利用绝对值三角不等式求最值，考查恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力。

17．已知下列命题：①,122x R x x ∀∈-++>；②函数21
()lg
3f x x x
=+-的零点有2个；③2x >是2320x x -+>的充分不必要条件；④命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值不等式，得()()12123x x x x -++≥--+=，故①正确；由图象可知
lg y x =和23y x =-在()0,+?
上有两个交点，故②正确；由2
320x
x -+>，得2
x >或1x <，故③正确；全称命题的否定为特称命题，并将“≤”改为“>”，故④正确.
【详解】
Q ()()12123x x x x -++≥--+=，
∴ ,122x R x x ∀∈-++>，①正确；
函数21
()lg 3f x x x
=+-定义域为()0,+?，
由21
()lg
30f x x x
=+-=， 得2
lg 30x x -+-=即2
lg 3x x =-，
由图可知lg y x =的图象和2
3y x =-在()0,+?
上有两个交点，
所以方程2
lg 3x x =-有两个解， 即21
()lg
3f x x x
=+-有2个零点，②正确； 由2320x x -+>，解得2x >或1x <，
所以2x >是2320x x -+>的充分不必要条件，③正确；
命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，④正确. 故选：D 【点睛】
本题考查了绝对值不等式、函数的零点问题、充分条件与必要条件的判断以及全称命题的否定，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.
18．集合{}
|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到{}
13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】
1
8{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
19．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
20．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( )
A ．33()()f x f a a -≤+
B ．24()()f x f a a -≤+
C ．()()5f x f a a -≤+
D ．2
|()()2|(1)f x f a a -≤+ 【答案】B
【解析】
【分析】
先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立
【详解】 令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()
0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立
()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +
故选：B ．
【点睛】
本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．。