上海市闸北区高三数学上学期期末考试(一模)试题 文 沪

闸北区2013学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷
考生注意：
1．本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．
3．本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．设k ⨯-=οο3602014α,ο
2014=β，若α是与β终边相同的最小正角，则=k ______．
2．已知双曲线20452
2
=-y x 的右焦点与抛物线px y 22
=的焦点重合，则=p ．
3．设()1,3-=a ，()x x b sin ,cos =，则函数b a x f ⋅=)(的最小正周期为_______． 4．已知函数⎩⎨
⎧≤>=.
0,,0,log )(2
2x x x x x f 则不等式1)(>x f 的解集为_______．
5．已知直线l 的一个法向量()b a ,=，其中0>ab ，则l 的倾斜角为 ． 6．相距480米有两个垂直于水平地面的高塔AB 和CD ，两塔底B 、D 的中点为P ，已知
280=AB 米，320=CD 米，则APC ∠cos 的值是 ．
7．设0>a ，0>b ，2=+b a ，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号) ①1≤ab ；②
2≤
+b a ；③222≥+b a ．
8．若公差为d 的等差数列{}n a 的项数为奇数，11=a ，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项 的和是150，则=d ．
9．设1,0≠>a a ，函数22sin 2)(-+=x a x f x
π(0>x )有四个零点，则a 的值为 ． 10．由曲线y x y x +=+22所围成的封闭图形的面积为_______．
二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 11．如果{}Z ,12|∈+==n n x x S ，{}Z ,14|∈±==k k x x T ，那么 【 】
A ．S 真包含于T
B ．T 真包含于S
C ．S 与T 相等
D ．S 与T 没有交集 12．在平面内，设A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足：2
k PB PA =⋅（k 为实常数），
则动点P 的轨迹为 【 】 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．不确定
13．给出下列等式：2
3
3
321=+，2
3
3
3
6321=++，2
3
3
3
3
104321=+++，…，现设
23
3
3
3
321n
a n =+⋅⋅⋅+++（*
∈N n ，2≥n ），则=∞→n
n a n 2
lim 【 】
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
三、解答题（本题满分72分）本大题共有4题，解答必须在答题纸的规定区域内． 14．本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分
设ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足：B
b
A
a sin cos 3=
． （1（2）若12
sin 22sin
222
=+C
B ，试判断AB
C ∆的形状，并说明理由． 15．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分
定义域为R 的函数x
x
x f --=2
2)(，x
x x g -+=2
2)(．
（1）请分别指出函数)(x f y =与函数)(x g y =的奇偶性、单调区间、值域和零点；
（请将结论填入答题卡的表中，不必证明） （2）设)
()
()(x g x f x h =
，请判断函数)(x h y =的奇偶性和单调性，并证明你的结论． （必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）
16．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分
如图所示：一块椭圆形状的铁板Γ的长轴长为4米，短轴长为2米． （1）请你以短轴的端点A 为直角顶点，另外两个锐
角的顶点B 、C 都在椭圆铁板的边缘，截取等 腰直角三角形，并求该三角形的面积；（结果保 留一位小数）
（2）请你按（1）中所述的方法，再切割出一个面积
不同的等腰直角三角形，并求该三角形的面积． （结果保留一位小数）
17．本题满分20分，第1小题满分8分，第2小题满分12分
如图，在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A L L 、、、、,其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ,且
||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2(Λ=n ,在射线)0(≥=x x y 上依次有点12n B B B L L 、、、、,点1B 的坐标为)3,3(，且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2(Λ=n .
（1）求点n A 、n B 的坐标(用含n 的式子表示)； （2）设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ，解答下
列问题：
① 求数列{}n S 的通项公式；
② 问{}n S 中是否存在连续的三项n S ,1+n S ,2+n S
（•
∈N n ）恰好成等差数列？若存在，求出所
有这样的三项；若不存在，请说明理由.
B n+1 B n
B 2
B 1
A n +1 A n A 2
A 1 O
y
闸北区2013学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷
参考答案与评分标准
一、1．5； 2．6； 3．π2； 4．()()+∞-∞-,21,Y ； 5．⎪⎭
⎫
⎝⎛-
+b a arctan π； 6．①③； 7．
85
85
2； 8．4； 9．2； 10．2+π． 二、11．C ； 12．A ；1 3．C ． 三、14．解：（1）由条件结合正弦定理得，
sin sin a c
A C
==
从而
sin C C =，tan C =，-----------------------------------------------4分
∵
0C π<<，
∴
3
C π
=
．--------------------------------------------------------------2分
（2∴
，
∴
1cos cos =+C B ,
分
即
,得到
,
分
为等边三角
分
15
（2）)
(x h y =是奇函数． --------------------------------------------------------------1分 证
明
：
任
取
R
x ∈，
)()
()
()()()(x h x g x f x g x f x h -=-=--=
-Θ，
----------------------------2分
)
(x h y =∴是奇函数． --------------------------------------------------------------1分
)
(x h y =是R 上的单调递增函数． -----------------------------------------------------------1分 证明：任取,,,2121x x R x x <∈即,021<-x x
又
)
()
()()()()(221121x g x f x g x f x h x h -=
-Θ ------------------------------------------------------------1分
()
)
()(22221)
(2121x g x g x x x x ----=
)()()(22121x g x g x x f -=． ---------------------------------1分
)(x f y =Θ是单调递增函数函数，且0)0(=f ，
∴ 0)(21<-x x f ． --------------------------------------------------------------1分
)
(x g y =Θ的值域为[)+∞,2，0)(>∴x g 恒成立．----------------------------------------1分
所以，)()(21x h x h <． --------------------------------------------------------------1分
故，)(x h y =是R 上的单调递增函数．
16．解：（1）建系（略），得椭圆的标准方程为
4422=+y x -------------------------------3分
由椭圆的对称性，可知沿着直线1+±=x y 切割，可得等腰直角ABC ∆------------------2分
将直线1+=x y 与椭圆联立，可解得)5
3
,58(--A ，所以
25
8=AB --------------------2分
因此，该等腰直角三角形的面积约为 2.6
平方
米．----------------------------------------1分
（2）设AB 所在的直线方程为：1+=kx y ，则AC 所在的直线方程为：11+-=x k
y ---2分 将AB 所在的直线方程代入椭圆方程，得08)41(2
2
=++kx x k 可
求
得
，
2
24181k
k k AB +⋅
+=
--------------------------------------------------------------2分 同
理
可
求
得
4
8112
2
+⋅⎪⎭⎫
⎝⎛+=k k k AC ，
-----------------------------------------------------------2分
令AC AB =，得01442
3=-+-k k k ，即()()
01312
=+--k k k ，------------------1
分 解
得，
1
=k （舍）或
2
5
3±=
k ． ---------------------------------------------------------------2分
当2
5
3±=
k 时，所截取等腰直角三角形面积为 2.1
平方
米．---------------------------------1分
17．（1）
9
110||,3
1
||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且Θ
,
-----------------------------------------------1分
3
11211)3
1
()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A
----------------------------------------------1分
12231||||||n n A A A A A A -+++L 44
12711931()()3223
n n --=++++=-L
n A 点∴的坐标)
)3
1
(21229,0(4--n ,
-------------------------------------------------------------2分
1||||n n OB OB --=Q (2,3,n =L )且
1||OB =
-----------------------------------1分
{||}n OB ∴是以23为首项,22为公差的等差数列
||((2n OB n n ∴=+-=+ ---------------------------------------------------2分
n B ∴的坐标为(21,21)n n ++.
-------------------------------------------------------------1分
（2）①连接1+n n B A ,设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S , 则111n n n n n n n
A A
B B B A S S S +++∆∆=+
341112911[()](23)[()232223n n n --=⋅++⋅-32923
n n -=+.---------------------3分
② 设连续的三项n S ,1+n S ,2+n S （•
∈N n ）成等差数列， 则
有
，
2
12+++=n n n S S S ，
-------------------------------------------------------------1分 即132322293229312292---++++=⎪⎭⎫
⎝
⎛++n n n n n n ，解得1=n . 所以，存在连续的三项1S ,2S ,3S 恰好成等差数列. -------------------------------------------------2分。