八年级上期末模拟数学试题

八年级上期末模拟数学试题 一、选择题 1．下列四组线段a ，b ，c ，能组成直角三角形的是（ ）
A ．1a =，2b =，3c =
B ．1a =，2b =，3c =
C ．2a =，3b =，4c =
D ．4a =，5b =，6c = 2．下列根式中是最简二次根式的是( )
A ．23
B ．3
C ．9
D ．12
3．如图，以Rt ABC ∆的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为1S 、2S 、3S ，若12316S S S ++=，则1S 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 4．如图，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是
（ ）
A ．甲和乙
B ．甲和丙
C ．乙和丙
D ．只有乙
5．如图，给出下列四组条件：①AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ；②AB =DE ，∠B =∠E ，BC =EF ；③∠B =∠E ，BC =EF ，∠C =∠F ；④AB =DE ，AC =DF ，∠B =∠E ．其中能使△ABC ≌△DEF 的条件有（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
6．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ）
A ．1000100030x x -+=2
B ．1000100030x x
-+=2
C．10001000
30
x x
-
-
=2 D．
10001000
30
x x
-
-
=2
7．下列说法正确的是（）
A．（﹣3）2的平方根是3 B．16＝±4
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
8．一辆货车早晨7∶00出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程y（km）与行驶时间x（h）的完整的函数图像（其中点B、C、D在同一条直线上），小明研究图像得到了以下结论：
①甲乙两地之间的路程是100km；
②前半个小时，货车的平均速度是40km/h；
③8∶00时,货车已行驶的路程是60km；
④最后40 km货车行驶的平均速度是100km/h；
⑤货车到达乙地的时间是8∶24，
其中，正确的结论是（）
A．①②③④B．①③⑤C．①③④D．①③④⑤
9．变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（）
A．13 B．5 C．2 D．3.5
10．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A 1
2
B0.5C5D12
二、填空题
11．如果点P（m+1，m+3）在y轴上，则m=_____．
12．如图，直线l1：y＝﹣1
2
x+m与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+n与y轴交于点B，与直
线l1交于点P（2，2），则△PAB的面积为_____．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是___．
14．如图，等边△OAB 的边长为2，以它的顶点O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.若直线y =x +b 与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数b 的范围是____.
15．阅读理解:对于任意正整数a ，b ，∵20a b ≥，∴0a ab b -≥，∴2a b ab +≥a b =时，等号成立；结论：在2a b ab +≥a 、b 均为正实数）中，只有当a b =时，+a b 有最小值2ab 若1m 1
m m -有最小值为__________．
16．在ABC ∆中, 13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______． 17．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____．
18．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
19．在△ABC 中，已知AB =15，AC =11，则BC 边上的中线AD 的取值范围是____．
20．将一次函数y =2x 的图象向上平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为
__________．
三、解答题
21．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A ，B 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号
载客量 租金单价 A
30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A 型号客车x 辆，租车总费用为y 元，求y 与x 的函数表达式，并写出x 的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
22．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、点(0,2)B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，90BAC ∠=，点(1,)P a 为坐标系中的一个动点.
（1）请直接写出直线l 的表达式；
（2）求出ABC ∆的面积；
（3）当ABC ∆与ABP ∆面积相等时，求实数a 的值.
23．用函数方法研究动点到定点的距离问题．
在研究一个动点P （x ，0）到定点A （1，0）的距离S 时，小明发现：
S 与x 的函数关系为S ＝1,1,10,1,1,1,x x x x x x -<⎧⎪-==⎨⎪->⎩
并画出图像如图：
借助小明的研究经验，解决下列问题：
（1）写出动点P （x ，0）到定点B （－2，0）的距离S 的函数表达式，并求当x 取何值时，S 取最小值？
（2）设动点P （x ，0）到两个定点M （1，0）、N （5，0）的距离和为y ．
①随着x 增大，y 怎样变化？
②当x 取何值时，y 取最小值，y 的最小值是多少？
③当x <1时，证明y 随着x 增大而变化的规律．
24．计算与求值： （1）计算：()203120195274
+-+--. （2）求x 的值：24250x -=
25．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1；
②将△A 1B 1C 1向右平移7个单位得到△A 2B 2C 2．
（2）△A 2B 2C 2中顶点B 2坐标为 ．
四、压轴题
26．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线122
y x =+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标．
27．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
28．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．
（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
29．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．
30．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．
（1）求OAB ∠的度数；
（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】
A ．12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B ．22212)=(3)+，能组成直角三角形，故此选项正确；
C ．32+22≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D ．42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
A
B
C ，故此选项错误；
D =
故选B ．
考点：最简二次根式．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式及勾股定理即可求得结果.
【详解】
因为是以Rt ABC ∆的三边为边，分别向外作正方形，
所以AB 2=AC 2+BC 2
所以123S S S =+
因为12316S S S ++=
所以1S =8
故选：B
【点睛】
考核知识点：勾股定理应用.熟记并理解勾股定理是关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理SSS 、SAS 、 AAS 、ASA 、HL 逐个进行分析即可．
【详解】
解：甲三角形有两条边及夹角与△ABC对应相等，根据SAS可以判断甲三角形与△ABC全等；
乙三角形只有一条边及对角与△ABC对应相等，不满足全等判定条件，故乙三角形与
△ABC不能判定全等；
丙三角形有两个角及夹边与△ABC对应相等，根据ASA可以判定丙三角形与△ABC全等；所以与△ABC全等的有甲和丙，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA及AAS，即可判定．
【详解】
①满足SSS，能判定三角形全等；
②满足SAS，能判定三角形全等；
③满足ASA，能判定三角形全等；
④的条件是两边及其一边的对角分别对应相等，不能判定三角形全等．
∴能使ABC DEF
△≌△全等的条件有3组．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握各种判定方法并注意“两边及其一边的对角分别对应相等”不能判定三角形全等．
6．A
解析：A
【解析】
分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：10001000
30
x x
-
+
=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义解答即可.
【详解】
A 、（﹣3）2的平方根是±3，故该项错误；
B 4，故该项错误；
C 、1的平方根是±1，故该项错误；
D 、4的算术平方根是2，故该项正确.故选D.
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据折线图，把货车从甲地驶往乙地分为三段，再根据图象的时间和路程进行计算判断.
【详解】
①甲乙两地之间的路程是100 km ，①正确；
②前半个小时，货车的平均速度是：400.580?km/h ÷=，②错误；
③8∶00时,货车已行驶了一个小时，路程是60 km ，③正确；
④最后40 km 货车行驶的平均速度就是求BC 段的速度，时间为1.3-1＝0.3小时，路程为90-60=30km ，平均速度是300.3100?km /h ÷=，④正确；
⑤货车走完BD 段所用时间为：401000.4÷=小时，即0.46024⨯=分钟
∴货车走完全程所花时间为：1小时24分钟，
∴货车到达乙地的时间是8∶24，⑤正确；
综上：①③④⑤正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象的横、纵坐标表示的意义，理解问题的过程，并能通过图象得到自变量和函数值之间的数量关系是解题的关键.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接把y ＝5代入y ＝2x+1，解方程即可．
【详解】
解：当y ＝5时，5＝2x+1，
解得：x ＝2，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了函数值，关键是掌握已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
10．C
解析：C
【解析】
，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D.
故选C.
二、填空题
11．﹣1．
【解析】∵点P（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
解析：﹣1．
【解析】∵点P（m+1，m+3）在y轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
12．【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：把点P（2，
解析：【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A
（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】
解：把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，
得，m＝3，n＝﹣2，
∴直线l1：y＝﹣1
2
x+3，直线l2：y＝2x﹣2，
对于y＝﹣1
2
x+3，令y＝0，得，x＝6，
对于y＝2x﹣2，令x＝0，得，y＝﹣2，∴A（6，0），B（0，﹣2），
∵直线l1：y＝﹣1
2
x+3与y轴的交点为（0，3），
∴△PAB的面积＝1
2
×5×6﹣
1
2
×5×2＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了两直线相交与平行问题，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
13．10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D 的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面
解析：10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10．
14．【解析】
【分析】
由题意，可知点A坐标为（1，），点B坐标为（2，0），由直线与△OAB的
边界总有两个公共点，有截距b 在线段CD 之间，然后分别求出点C 坐标和点D 坐标，即可得到答案.
【详解】
解
解析：231b -<<-
【解析】
【分析】
由题意，可知点A 坐标为（1，3），点B 坐标为（2，0），由直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点，有截距b 在线段CD 之间，然后分别求出点C 坐标和点D 坐标，即可得到答案.
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥x 轴，
.∵△ABC 是等边三角形，且边长为2， ∴OB=OA=2，OE=1， ∴22213AE -=
∴点A 为（13B 为（2，0）；
当直线y x b =+经过点A （13ABC 边界只有一个交点，
则13b +=31b =，
∴点D 的坐标为（31）；
当直线y x b =+经过点B （2，0）时，与△ABC 边界只有一个交点，
则20b +=，解得：2b =-，
∴点C 的坐标为（0，2-）；
∴直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点时，截距b 在线段CD 之间，
∴实数b 的范围是：231b -<<
； 故答案为：231b -<<
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，掌握直线与等边三角形有一个交点是临界点，注意分类讨论. 15．3
【解析】
【分析】
根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．
【详解】
解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】
准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，
解析：3
【解析】
【分析】
根据a b +≥（a 、b
进行化简求最小值． 【详解】
1=1111m m m
11
1m
=111m
1
211=31m m
即：当1m 时，m m 3， 故答案为：3．
【点睛】 准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．
16．60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.
【详解】
如图作出AB 边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC 是等腰三角形，
解析：60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断ABC ∆为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.
【详解】
如图作出AB 边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10， ∴△ABC 是等腰三角形，
∴AD=BD=5， 根据勾股定理 CD 2=AC 2-AD 2，
22135-，
12ABC S
CD AB =⋅=112102
⨯⨯=60， 故答案为：60.
【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用勾股定理求出三角形的高.
17．.
【解析】
【分析】
根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
【详解】
经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系
解析：13k <<.
【解析】
【分析】
根据一次函数y kx b =+，k 0<，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解；
【详解】
()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限，
∴220k -<，30k -<，
∴1k >，3k <，
∴13k <<，
故答案为13k <<.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．
18．5或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：5
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用． 19．2<AD<13
【解析】
【分析】
延长AD 至E ，使得DE=AD ，连接CE ，然后根据“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=CE ，然后利用三角形任意两边之和大于第三
解析：2<AD <13
【解析】
【分析】
延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，然后根据“边角边”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后利用三角形任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，从而得解．
【详解】
解：如图，延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AB=15，
∴CE=15，
∵AC=11，
∴在△ACE中，15－11=4，15＋11=26，
∴4＜AE＜26，
∴2＜AD＜13；
故答案为：2＜AD＜13．
【点睛】
本题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是将中线AD延长得AD=DE，构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．20．y=2x+1．
【解析】
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=2x+1，
故答案为y=2x+1．
解析：y=2x+1．
【解析】
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=2x+1，
故答案为y=2x+1．
三、解答题
21．（1）y 与x 的函数表达式为y=100x+17360（21≤x ≤62且x 为整数）；（2）共有25种租车方案；租用A 型号客车21辆，B 型号客车41辆时最省钱.
【解析】
【分析】
（1）根据租车总费用=A 、B 两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
（2）列出不等式，求出自变量x 的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；
【详解】
解：（1）由题意：y=380x+280（62-x ）=100x+17360．
∵30x+20（62-x ）≥1441，
∴x ≥20.1，
又∵x 为整数，
∴x 的取值范围为21≤x ≤62的整数．
即y 与x 的函数表达式为y=100x+17360（21≤x ≤62且x 为整数）.
（2）由题意100x+17360≤21940，
∴x ≤45.8，
∴21≤x ≤45，
∴共有25种租车方案，
又100＞0，∴y 随x 的增大而增大，
∴x=21时，y 有最小值．
即租用A 型号客车21辆，B 型号客车41辆时最省钱.
【点睛】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
22．（1）223y x =-+；（2）132
ABC S =；（3）当ABC ∆与ABP ∆面积相等时，实数a 的值为
173
或3-. 【解析】
【分析】 （1）设y=kx+b ，把(3,0)A 、点(0,2)B 代入，用待定系数法求解即可；
（2）先根据勾股定理求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）分点P 在第一象限和点P 在第四象限两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）设y=kx+b ，把(3,0)A 、点(0,2)B 代入，得
302k b b +=⎧⎨=⎩
，
解得
2
2
3
b
k
=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，
∴
2
2
3
y x
=-+；
（2）∵(3,0)
A、(0,2)
B，
∴OA=3，OB=2，
在Rt ABC
∆中，依勾股定理得：22222
3213
AB OA OB
=+=+=，
∵ABC
∆为等腰直角三角形，
∴
213
22
ABC
AB
S==；
（3）连接,,
BP PO PA，则：
①若点P在第一象限时，如图：
∵1
=
2
3
ABO
OA
S OB
⋅=，
22
13
APO
O
S A a
a⋅=
=，
1
=1
2
1
BOP
OB
S⨯=，
∴13
2
ABP BOP APO ABO
S S S S
=+-=，
即
313
13
22
a
+-=，解得
17
3
a=；
②若点P在第四象限时，如图：
∵3
31
2
ABO APO BOP
S S a S
==-=
，，，
∴13
2
ABP ABO APO BOP
S S S S
=+-=，
即3133122
a --=，解得3a =-， ∴当ABC ∆与ABP ∆面积相等时，实数a 的值为
173或3-. 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形的面积公式，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
23．（1）S ＝2,2,20,2,
2,2,x x x x x x --<-⎧⎪+==-⎨⎪+>-⎩
,当x ＝－2时，S 的最小值为0；（2）①当x ＜1时，y 随x 增大而减小；当1≤x ≤5时，y 是一个固定的值；当x ＞5时，y 随x 增大而增大，②当1≤x ≤5时，y 取最小值，y 的最小值是4，③当x ＜1时，y 随x 增大而减小．
【解析】
【分析】
(1)根据x 轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，以及绝对值的意义可直接写出结论； （2）根据x 轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，得出PM 和PN 的距离，它们之和即为y.①分情况讨论，根据一次函数的性质可得y 的变化情况；②根据y 的变化情况可求；③当x <1时，62y x =-，根据函数的增减性可得.
【详解】
（1）S ＝2,2,20,2,2,2,x x x x x x --<-⎧⎪+==-⎨⎪+>-⎩
；∵当x ＜2时y 随x 增大而减小，当x ＞2时y 随x 的
增大而增大，∴当x ＝－2时，S 的最小值为0．
（2）由题意得y ＝|1|x -＋|5|x -，根据绝对值的意义，
可转化为y ＝62,14,
1526,5x x x x x -<⎧⎪⎨⎪->⎩
①当x ＜1时，y 随x 增大而减小；
当1≤x ≤5时，y 是一个固定的值；
当x ＞5时，y 随x 增大而增大．
②当1≤x ≤5时，y 取最小值，y 的最小值是4．
③当x ＜1时，62y x =-，∵-2＜0
∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一次函数的性质，化简绝对值.掌握x 轴上两点之间的距离公式，能分段讨论化简绝对值是解决此题的关键.
24．（1）52
；（2）52x =±.
【解析】 【分析】 （1）分别计算零指数幂，利用平方根的性质化简，计算立方根和算术平方根，然后把所得的结果相加减；
（2）依次移项，系数化为1，两边同时开平方即可.
【详解】
解：（1）原式=115(3)2++--
=52
； （2）移项得：2425x =，
系数化为1得：2
254
x =， 两边同时开平方得：52
x =±. 【点睛】 本题考查实数的混合运算和利用平方根解方程.（1）中需注意2||a a =，
2()(0)a a a =≥；（2）中需注意的是方程右边的常数项（正数）有正负两个平方根，不要漏解．
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）（1，﹣1）．
【解析】
【分析】
(1)①分别作出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
②分别作出△A 1B 1C 1的3个顶点向右平移7个单位所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
(2)由所作图形可得．
【详解】
(1)①如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
②如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；
(2)由图知，△A 2B 2C 2中顶点B 2坐标为(1，﹣1)，
故答案为：(1，﹣1)．
【点睛】
本题主要考查作图-平移变换和轴对称变换，解题的关键是掌握平移变换和轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
四、压轴题
26．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）先求出直线122
y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标．
【详解】
解：（1）令0x =，则10222y =
⨯+=， ∴()0,2C ，
令0y =，则1202
x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =，
∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =，
∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =， ∴152
ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形；
（3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=
， ∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒，
∵CD 平分ACB ∠，
∴45ECD ∠=︒，
∴CDE △是等腰直角三角形，
∴CE DE =，
∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒，
∴MEC NDE ∠=∠，
在DNE △和EMC △中，
NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DNE EMC AAS ≅，
设DN EM x ==，EN CM y ==，
根据图象列式：DO DN CM EN EM CO +=⎧⎨+=⎩，即232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴43EN CM ==
， ∴44,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②如图，CDE ∠是直角，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，
同理CDE △是等腰直角三角形，
且可以证得()CDO DEG AAS ≅，
∴2DG CO ==，23EG DO ==
， ∴28233GO GD DO =+=+
=， ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
综上：44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】 本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
27．（1）5y x =+；（2）223）PB 的长为定值
52 【解析】
【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证
BFP GEP ∆
≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】
（1）对于直线:5L y mx m =+．
当0y =时，5x =-．
当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m ∴=．
解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =，17AM =．
∴由勾股定理，
2222OM OA AM =-=．
180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒．
90AOM OAM ∠+∠=︒．
BON OAM ∴∠=∠．
在AMO ∆与OBN ∆中，
90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
．
()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．
22BN OM ∴==．．
（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．
AEB ∆为等腰直角三角形，
AB EB ∴=
90ABO EBG ∠+∠=︒．
EG BG ⊥，
90GEB EBG ∴∠+∠=︒．
ABO GEB ∴∠=∠．
AOB EBG ∴∆≅∆．
5BG AO ∴==，OB EG =
OBF ∆为等腰直角三角形，
OB BF ∴=
BF EG ∴=．
BFP GEP ∴∆≅∆．
1522
BP GP BG ∴===． 【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．
28．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=
12
BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解．
【详解】 解：（1）①△BPD 与△CQP 全等，
理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ，
∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ，
∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ，
∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ，
在△BPD 和△CQP 中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP ≠CQ ，
∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，
∴BP =PC =12
BC =5cm ，BD =CQ =6cm ，
∴t =52
， ∴点Q 的运动速度=612552
=cm /s ，
∴当点Q 的运动速度为
125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：125x ﹣2x =36， 解得：x =90，
点P 沿△ABC 跑一圈需要
181810232
++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），
∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
29．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知
1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．
【详解】
（1）AB ∥CD ，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，
∴∠AEF +∠CFE =180°，
∴AB ∥CD ；
（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴
1
()90
2
FEP EFP BEF EFD︒∠+∠=∠+∠=
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK．
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG=90°﹣∠PKG=90°﹣2∠HPK，∴∠EPK=180°﹣∠KPG=90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，
∴
1
45
2
QPK EPK HPK
︒
∠=∠=+∠，
∴∠HPQ=∠QPK﹣∠HPK=45°．
答：∠HPQ的度数为45°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
30．（1）45°；（2）PE的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8
-，0)．
【解析】
【分析】
（1）根据A，(0,
B，得△AOB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，再证明
△POC≌△DPE，根据全等三角形的性质得到OC=PE，即可得到答案；
（3）证明△POB≌△DPA，得到PA=OB=，DA=PB，进而得OD的值，即可求出点D的坐标．
【详解】
（1）A，(0,
B，
∴OA=OB=
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
（2）PE的值不变，理由如下：
∵△AOB为等腰直角三角形，C为AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
∵D 是线段OA 上一点，
∴点P 在线段BC 上，
∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，
∴∠POC=∠DPE ，
在△POC 和△DPE 中，
90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△POC ≅△DPE(AAS)，
∴OC=PE ，
∵OC=12AB=12
×
×=4， ∴PE=4；
（3）∵OP=PD ，
∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，
∴∠APD=∠BOP ，
在△POB 和△DPA 中，
OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△POB ≌△DPA(AAS)，
∴
PA=OB=DA=PB ，
∴
DA=PB=
-
，
∴
OD=OA−DA=
8-，
∴点D 的坐标为
(8，0)．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。