存在性问题

存在性问题
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、函数中的存在性问题（相似）
1.（枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，
再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；
（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
2.（临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否
存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
二、函数中的存在性问题（面积）
3. （日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k
y x
=
相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过
点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4、（德州12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的1
2
．若存
在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
5.（济宁10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=k x+3。

(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。

(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。

请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN 的面积等于32
25
的k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。

6．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1
030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与
M ⊙的切线AE 相交于点E ，
连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD
的面积为求直线PD 的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，
求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
三、函数中的存在性问题（四边形）
7． (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2
1，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

8．(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A （－4，3），点B 在x 轴上，△AOB 是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B 的坐标；
(2）求过O 、A 、B
三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条
即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P ，使得以O ，A ，B ，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积．
【答案】1.解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴1
4h k =-=-，。

（2）由（1）得()2
=14y x +-.
当=0y 时，()2
140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。

∴A(30)B 10- ，，(，).
又当0x =时，()()22
=140143y x +-=+-=-，
∴C 点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D （－1，－4），
作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF⊥ y 轴于点F 。

易知 在Rt△AED 中，AD 2
=22
+42
=20， 在Rt△AOC 中，AC 2
=32
+32
=18， 在Rt△CFD 中，CD 2
=12
+12
=2，
∴AC 2
＋ CD 2
＝AD 2。

∴△AC D 是直角三角形。

（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450
，
AC = 由△AOM∽ △ABC，得
AO AM
AB AC
=。

即3AM 4 。

过M 点作MG⊥AB 于点G ，则
94
==， OG=AO －AG=3－
93
44
=。

又点M 在第三象限，所以M （－
34，－94
）。

2.解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，
∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1=2=0a b c ⎧⎪
⎨⎪⎩。

∴抛物线的解析式为22y x x =+。

（2）①当AE 为边时，∵A、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，
则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。

②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分。

∵点E 在对称轴上，且线段AO 的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即C （﹣1，﹣1）。

故符合条件的点D 有三个，分别是D 1（1，3），D 2（﹣3，3），C （﹣1，﹣1）。

（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO 2
=18，CO 2
=2，BC 2
=20，∴BO 2
+CO 2
=BC 2
．∴△BOC 是直角三角形。

假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与△BOC 相似， 设P （x ，y ），由题意知x ＞0，y ＞0，且22y x x =+，
①若△AMP∽△BOC，则
AM PM
BO CO
=。

即 x +2=3（x 2
+2x ）得：x 1=13
，x 2=﹣2（舍去）．
当x =13时，y =79，即P （13，79
）。

②若△PMA∽△BOC，则，BO PM
CO BO
=。

即：x 2
+2x =3（x +2）得：x 1=3，x 2=﹣2（舍去） 当x =3时，y =15，即P （3，15）．
故符合条件的点P 有两个，分别是P （13，7
9）或（3，15）。

3.解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22
k
-=-，∴k ＝4。

∴双曲线的解析式为：4
y x
=。

设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn＝4。

又∵tan∠AOX＝4，∴
m
n
＝4，即m ＝4n 。

∴n 2
＝1，∴n＝±1。

∵A 点在第一象限，∴n＝1，m ＝4。

∴A 点的坐标为（1，4）。

把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4
422
a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得，a ＝1，b ＝3。

∴抛物线的解析式为：23y x x =+。

（2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，
代入23y x x =+得方程，2340x x +-=，解得x 1＝－4，x 2＝1（舍去）。

∴C 点的坐标为（－4，4），且AC ＝5。

又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝
1
2
³5³6＝15。

（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。

理由如下：
过点C 作CD∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△ABC 的面积（同
底：AB ，等高：CD 和AB 的距离）。

∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD∥AB， ∴可设直线CD 解析式为2y x p =+， 把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。

∴直线CD 相应的一次函数是：212y x =+。

解方程组23212y x x y x ⎧=+⎨=+⎩
，解得，3
18x y =⎧⎨=⎩。

∴点D 的坐标为（3，18）。

4.解：（1）四边形OKPA 是正方形。

理由如下：
∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK。

∴∠PAO=∠OKP=90°。

又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°。

∴四边形OKPA 是矩形。

又∵OA=OK，∴四边形OKPA 是正方形。

（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x
过点P 作PG⊥BC 于G 。

∵四边形ABCP 为菱形，∴BC=PA=PB=PC。

∴△PBC 为等边三角形。

在Rt△PBG 中，∠PBG=60°，PB=PA=x ，
sin∠PBG=PG PB
x x
=解之得：x =±2（负值舍去）。

PA=BC=2。

易知四边形OGPA 是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3。

∴A（0
），B （1，0）C （3，0）。

设二次函数解析式为：2y ax bx c =++。

据题意得：0
90a b c a b c c ⎧++=⎪
++=⎨⎪
=⎩
解之得：
a b c =
=
∴二次函数关系式为：2y
②设直线BP 的解析式为：y kx b =+，据题意得：0
2
k b k b +
=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
解之得：k
b ==
∴直线BP
的解析式为：y
=
过点A 作直线AM∥PB，则可得直线AM
的解析式为：
y
=
解方程组：233y
y x x ⎧
=+⎪⎨=-+⎪⎩
1212=0 =7
x x y y ⎧⎧⎪⎪⎨⎨
==⎪⎪⎩
⎩过点C 作直线CM∥PB，则可得直线CM
的解析式为：
y =-。

解方程组：2y
y x x ⎧=-⎪
⎨=-+⎪⎩
2112=4 =3 0x x y y ⎧⎧⎪⎨⎨
==⎪⎩⎩， 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个：（
0），（7，
，（3，0），（4，。

5.解：（1）∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线，∴OA⊥AD BD⊥AD 。

又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。

∴四边形OADB 是矩形。

∵⊙C 的半径为2，∴AD=OB=4。

∵点P 在直线l 上，∴点P 的坐标为（4，p ）。

又∵点P 也在直线AP 上，∴p=4k+3。

（2）连接DN 。

∵AD 是⊙C 的直径，∴ ∠AND=90°。

∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN， ∴∠AND=∠ABD 。

又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。

∵∠MAN=∠BAP ∴△AMN∽△ABP 。

（3）存在。

理由如下：把x =0代入y =k x +3，得y=3，即OA=BD=3。

5==。

∵ S△ABD= 12AB²DN=12AD²DB，∴DN=AD DB AB
⋅=4312
55⨯=。

∴AN 2=AD 2－DN 2
=22122564()525
-=。

∵△AMN∽△ABP
，
∴
2
AMN ABP S AN ()AP
S ∆∆= 即
22
ABP AMN
ABP 2
AN AN S ()AP AP
S S ∆∆∆⋅=⋅= 。

当点P 在B 点上方时，
∵AP 2
=AD 2
＋PD 2
= AD 2
＋(PB －BD)2
=42
＋(4k ＋3－3)2
=16(k 2
＋1)， 或AP 2
=AD 2
＋PD 2
= AD 2
＋(BD －PB)2
=42
＋(3－4k －3)2
=16(k 2
＋1)， S △ABP =
12PB²AD=1
2
(4k ＋3)³4=2(4k＋3)， ∴2ABP AMN
222
AN 2562(43)32(43)32
S AP 2516(1)25(1)25
S k k k k ∆∆⋅⨯++====⨯++。

整理得k 2
－4k －2=0 ， 解得k 1 =2
， k 2=2。

当点P 在B 点下方时，
∵AP 2
=AD 2
＋PD 2
=42
＋(3－4k －3)2
=16(k 2
＋1) ， S △ABP =
12PB²AD=1
2
[－(4k ＋3)]³4=－2(4k ＋3)，
∴2ABP AMN
22AN 2562(43)32
S AP 2516(1)25
S k k ∆∆⋅-⨯+===
⨯+。

整理得k 2
+1=－（4k ＋3）， 解得k=－2。

综合以上所得，当k=－2时，△AMN 的面积等于
32
25。

6.解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，
∵抛物线与y 轴交于点()03C -，，
∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =
所以，抛物线的函数关系式为：2
23y x x =--，
又()2
14y x =--，
因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．
(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线，
∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△
又四边形EAMD 的面积为∴EAM S =△∴1
2
AM AE =·
又2AM =，∴AE =
因此，点E 的坐标为(11E -或(21.E --，
当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限.
在直角三角形EAM 中，tan EA EMA AM ∠=== ∴60EMA ∠=°，
∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，
∴1
MF DF ==，
因此，切点D 的坐标为(2．
设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将((12E D -、的坐标代入得
2k b
k b
=+
=-+
⎪⎩
解之，得
3
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
所以，直线PD
的函数关系式为
33
y x
=-+
当E点在第三象限时，切点D在第四象限.
同理可求：切点D
的坐标为(2，，直线PD
的函数关系式为y x
=
因此，直线PD的函数关系式为
33
y x
=-+
或
33
y x
=-
(3）若四边形EAMD的面积等于DAN
△的面积
又22
EAM DAN AMD
EAMD
S S S S
==
△△△
四边形
，
∴
AMD EAM
S S
=
△△
∴E D
、两点到x轴的距离相等，
∵PD与M
⊙相切，∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为2
y=或 2.
y=-
当2
y=时，由223
y x x
=--
得，1
x=±
当2
y=-时，由223
y x x
=--
得，1
x=
故满足条件的点P的位置有4
个，分别是(
)(
)()
123
1112
P P P+-
、、、
()
4
12.
P--
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.
7：[解] (1) 根据题意，将A(-
2
1
，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
-
=
+
-
-
2
4
2
1
4
1
b
a
b
a，解这个
方程，得a=
2
3
，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+
2
3
x+1，当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为(0，1)。

∴在△AOC中
，
AC =22OC OA +=221)21(+=
2
5。

在△BOC 中，BC =22OC OB +=2212+=5。

AB =OA +OB =2
1+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=
4
25
=AB 2，∴△ABC 是直角三角形。

(2) 点D 的坐标为(2
3，1)。

(3) 存在。

由(1)知，AC ⊥BC 。

若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线
BC 的解析式为y = -2
1x +1，直线AP
BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y =
-2
1x + 把点A (-21，0)代入直线AP 的解析式，求得b = -4
1，
∴直线AP 的解析式为y = -21x -4
1。

∵点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，
∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1= -21x -41，解得x 1 x 2= -21(舍去)。

当x =25时，y = -23，∴点P (25，-2
3
)。

若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。

可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，
所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代 入直线BP 的解析式，求得b = -4，
∴直线BP 的解析式为y =2x -4。

∵点P 既在拋物线 上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，
即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -25，x 2=2(舍去)。

当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-2
5
，-9)。

综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-2
5
，-9)。

【答案】解：作AC ⊥x 轴，由已知得OC ＝4，AC ＝3，OA ＝2
2AC OC +＝5． (1）当OA ＝OB ＝5时，
如果点B 在x 轴的负半轴上，如图（1），点B 的坐标为（－5，0）． 如果点B 在x 轴的正半轴上，如图（2），点B 的坐标为（5，0）．
当OA ＝AB 时，点B 在x 轴的负半轴上，如图（3），BC ＝OC ，则OB ＝8，点B 的坐标为（－8，0）． 当AB ＝OB 时，点B 在x 轴的负半轴上，如图（4），在x 轴上取点D ，使AD ＝OA ，可知OD ＝8．由∠AOB ＝∠OAB ＝∠ODA ，可知△AOB ∽△ODA ，则OD OA OA OB =
，解得OB ＝8
25
，点B 的坐标为（－
8
25
，0）
(2）当AB ＝OA 时，抛物线过O （0，0），
A （－4，3），
B （－8，0）三点，设抛物线的函数
表达式为
bx ax y +=
2
，可得方程组⎩⎨⎧=
-=-3
4160864b a b a ，解得a ＝163
-，23-=b ，
x x y 2
3
1632--
=． (当OA ＝OB 时，同理得x x y 415
432--=．
(3）当OA ＝AB 时，若BP ∥OA ，如图（5），作PE ⊥x 轴，则∠AOC ＝∠PBE ，∠ACO ＝∠PEB
＝90°，△AOC ∽△PBE ，
43==OC AC BE PE ．设BE ＝4m ，PE ＝3m ，则点P 的坐标为（4m －8，－3m ），代入x x y 2
3
1632--=，解得m ＝3．
则点P 的坐标为（4，－9），
S 梯形ABPO ＝S △ABO ＋S △BPO ＝48． 若OP ∥AB （图略），根据抛物线的对称性可得点P 的坐标为（－12，－9）， S 梯形AOPB ＝S △ABO ＋S △BPO ＝48．
(当OA ＝OB 时，若BP ∥OA ，如图（6），作PF ⊥x 轴，则∠AOC ＝∠PBF ，∠ACO ＝∠PFB ＝
90°，△AOC ∽△PBF ，
43
==OC AC BF PF ．设BF ＝4m ，PF ＝3m ，则点P 的坐标为（4m －5，－3m ），代入x x y 415432--=，解得m ＝2
3
．
则点P 的坐标为（1，－29
），
S 梯形ABPO ＝S △ABO ＋S △BPO ＝4
75
．
若OP ∥AB （图略），作PF ⊥x 轴，则∠ABC ＝∠POF ，∠ACB ＝∠PFO ＝90°，△ABC ∽△POF ，
3==BC AC OF PF ．设点P 的坐标为（－n ，－3n ），代入x x y 4
15
432--=，解得n ＝9．则
点P 的坐标为（－9，－27），S 梯形AOPB ＝S △ABO ＋S △BPO ＝75．。