高中数学259个知识点

高中数学259个知识点
一、集合与函数概念。

1. 集合。

- 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合。

- 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性。

- 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法。

- 集合间的基本关系：子集（如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集，记作A⊆ B）、真子集（如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂neqq B）、相等（A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A）。

- 集合的基本运算：
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设U为全集，A⊆ U，则∁_UA={xx∈ U且x∉ A}。

2. 函数及其表示。

- 函数的概念：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。

- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。

3. 函数的基本性质。

- 单调性：
- 增函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数。

- 减函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)>f(x_2)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是减函数。

- 奇偶性：
- 奇函数：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)= - f(x)，且0∈ D时f(0)=0，则函数y = f(x)是奇函数。

- 偶函数：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)=f(x)，则函数y = f(x)是偶函数。

二、基本初等函数（Ⅰ）
1. 指数函数。

- 指数与指数幂的运算：
- 根式：如果x^n = a(n>1,n∈ N^+)，那么x叫做a的n次方根，当n为奇数时，x=sqrt[n]{a}；当n为偶数时，x = ±sqrt[n]{a}(a>0)。

- 分数指数幂：a^(m)/(n)=sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n∈ N^+,n>1)；a^-
(m)/(n)=(1)/(a^frac{m){n}}(a>0,m,n∈ N^+,n>1)。

- 指数函数及其性质：
- 指数函数的定义：函数y = a^x(a>0且a≠1)叫做指数函数。

- 性质：当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减，且指数函数的图象恒过点(0,1)。

2. 对数函数。

- 对数与对数运算：
- 对数的定义：如果a^x = N(a>0,a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN。

- 对数的性质：log_a1 = 0，log_aa = 1。

- 对数的运算法则：log_a(MN)=log_aM+log_aN；log_a(M)/(N)=log_aM-
log_aN；log_aM^n=nlog_aM(M>0,N>0,a>0,a≠1)。

- 换底公式：log_ab=(log_cb)/(log_ca)(a>0,a≠1,c>0,c≠1)。

- 对数函数及其性质：
- 对数函数的定义：函数y=log_ax(a>0且a≠1)叫做对数函数。

- 性质：当a > 1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0 < a < 1时，函数在(0,+∞)上单调递减，且对数函数的图象恒过点(1,0)。

3. 幂函数。

- 幂函数的定义：一般地，函数y = x^α(α∈ R)叫做幂函数。

- 幂函数的图象和性质：根据α的不同取值，幂函数的图象和性质有所不同。

例如，当α>0时，函数在[0,+∞)上单调递增；当α<0时，函数在(0,+∞)上单调递减等。

三、函数的应用。

1. 函数与方程。

- 函数的零点：对于函数y = f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y = f(x)的零点。

- 函数零点的判定定理：如果函数y = f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么函数y = f(x)在区间(a,b)内有零点。

- 二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的函数y = f(x)，通过不断地把函数y = f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。

2. 函数模型及其应用。

- 几类不同增长的函数模型：一次函数、指数函数、对数函数等函数模型在增长速度上的差异。

- 函数模型的应用实例：根据实际问题建立函数模型，解决诸如人口增长、利润最大化等实际问题。

四、空间几何体。

1. 空间几何体的结构。

- 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 圆柱：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

- 球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。

2. 空间几何体的三视图和直观图。

- 三视图：主视图、左视图、俯视图。

主视图反映了物体的长和高；左视图反映了物体的宽和高；俯视图反映了物体的长和宽。

- 直观图：斜二测画法，在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。

画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠ x'O'y' = 45^∘（或135^∘），已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于x'轴，长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中平行于y'轴，长度变为原来的一半。

3. 空间几何体的表面积与体积。

- 棱柱、棱锥、棱台的表面积：各个面的面积之和。

- 圆柱的表面积S = 2π r(r + l)（其中r为底面半径，l为母线长）。

- 圆锥的表面积S=π r(r + l)（其中r为底面半径，l为母线长）。

- 圆台的表面积S=π(r'^2 + r^2+ r'l+rl)（其中r'为上底面半径，r为下底面半径，l为母线长）。

- 球的表面积S = 4π R^2（其中R为球的半径）。

- 棱柱、棱锥、棱台的体积：V_棱柱=Sh（S为底面积，h为高）；
V_棱锥=(1)/(3)Sh（S为底面积，h为高）；V_棱台=(1)/(3)h(S+√(SS')+S')（h为高，S 为下底面积，S'为上底面积）。

- 圆柱的体积V=π r^2h（其中r为底面半径，h为高）。

- 圆锥的体积V=(1)/(3)π r^2h（其中r为底面半径，h为高）。

- 圆台的体积V=(1)/(3)π h(r^2 + r'r+ r'^2)（其中h为高，r'为上底面半径，r为下底面半径）。

- 球的体积V=(4)/(3)π R^3（其中R为球的半径）。

五、点、直线、平面之间的位置关系。

1. 空间点、直线、平面之间的位置关系。

- 平面的基本性质：
- 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

- 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

- 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

- 空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面。

- 空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。

- 空间中平面与平面的位置关系：平行、相交。

2. 直线、平面平行的判定及其性质。

- 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

- 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

- 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。

- 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3. 直线、平面垂直的判定及其性质。

- 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

- 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

- 平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

- 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

六、直线与方程。

1. 直线的倾斜角与斜率。

- 倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，α∈[0,π)。

- 斜率：一条直线的倾斜角α(α≠(π)/(2))的正切值叫做这条直线的斜率，记作k = tanα。

过两点P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)(x_1≠ x_2)的直线的斜率k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)。

2. 直线的方程。

- 点斜式：y - y_1=k(x - x_1)（其中(x_1,y_1)为直线上一点，k为直线的斜率）。

- 斜截式：y = kx + b（其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距）。

- 两点式：(y - y_1)/(y_2 - y_1)=(x - x_1)/(x_2 - x_1)(x_1≠ x_2,y_1≠ y_2)。

- 截距式：(x)/(a)+(y)/(b)=1(a≠0,b≠0)（其中a为x轴上的截距，b为y轴上的截距）。

- 一般式：Ax + By+C = 0(A,B不同时为0)。

3. 直线的交点坐标与距离公式。

- 两直线的交点坐标：联立两直线方程求解得到交点坐标。

- 两点间距离公式：设P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)，则d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。

- 点到直线的距离公式：设点P(x_0,y_0)，直线Ax + By + C = 0。