2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理优质课件 新人教A版选修2-

• A．合情推理
B．归纳推理
Байду номын сангаас
• C．类比推理
D．演绎推理
• [解析] 由演绎推理的定义知，该推理为演绎推
命题方向2 ⇨用三段论证明几何问题
• 典例 2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上 ∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段 的演绎推理．
• [解析] 因为同位角相等，两直线平行，(大前 • ∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提 • 所以FD∥AE．(结论) • 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 • DE∥BA，且FD∥AE，(小前提) • 所以四边形AFDE为平行四边形．(结论) • 因为平行四边形的对边相等，(大前提) • ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提) • 所以ED＝AF．(结论)
偷换概念致误
典例 4 如图所示，在△ABC 中，AC＞BC，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD．
[错解] 在△ABC 中，因为 AC>BC，CD⊥AB，所以 AD＞B ∠BCD．
[辨析] 错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个 对大角，但 AD 与 BD 并不是在同一个三角形内的两条边，即小前 推理过程错误．
(3)将下列演绎推理写成三段论的形式． ①一切偶数都能被 2 整除，100 是偶数，所以 100 能被 2 整 ②函数 y＝2x＋1 是定义域上的单调函数． ③0．3·是有理数． [解析] (1)由大前提、小前提、结论三者的关系知，大前提是 线相等的四边形”． (2)根据演绎推理及三段论知，①是大前提；②是小前提；③ (3)①一切偶数都能被 2 整除，(大前提) 100 是偶数，(小前提) 100 能被 2 整除．(结论)
• 1．演绎推理 • 从___一__般_性__的_原__理______出发，某推个出特_殊__________
论，我们把这种推理称为演绎推一理般到，特简殊言之， 由___________的推理．
• 2．演绎推理与合情推理的主要区别与联系 • (1)合情推理与演绎部推分理的整主体要区个别别 ：归纳一般和类 特的殊合情特推殊理，从推理形式上看，归纳是由____
(2)任取 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1<x2． 则 f(x1)－f(x2)＝ex1＋e1x1－ex2－e1x2＝(ex2－ex1)·(ex1＋1 x2－1) ＝ex1(ex2－x1－1)·1－exe1x＋1＋x2x2． 因为 x1>0，x2>0 且 x1<x2， 所以 x2－x1>0，x1＋x2>0， 所以 ex2－x1>1,1－ex1＋x2<0，所以 f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)，故 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
『规律总结』 五类代数问题中的三段论 (1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称 (2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的 明与函数有关的不等式等． (3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换， ． (4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明 数列． (5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基 问题．
[正解] 因为 CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，所以∠ ∠BCD＝90°，
在△ABC 中，AC＞BC，∴∠B＞∠A，∴∠ACD＞∠BCD．
[点评] 利用三段论推理时，(一)大前提必须是真命题；(2)小 特殊情形．
• 1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对 ”，以上推B理省略的大前提为( )
• (2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提 也可将大前提与小前提都省略．
• (3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充 大前提．
• 〔跟踪练习1〕
• (2018·焦作高二检测)《论语·学路》篇中说： 则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼 乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措 ，名不正，则民无所措手足．”上述理由用的
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第二章
推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.2 演绎推理
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
在生活中，我们常常会遇到这样一些判断：人生病 要吃药，小明生病了，因此，小明要吃药；摩擦生热， 冬天双手互相摩擦，手就不冷了；任意四边形的内角和 为 360°，梯形是四边形，因此梯形的内角和是 360°…… 这些推理都是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的 的合情推理不同，这属于另一种推理——演绎推理．
②一次函数 y＝kx＋b(k≠0)是定义域上的单调函数，(大前提 函数 y＝2x＋1 是一次函数，(小前提) 函数 y＝2x＋1 是定义域上的单调函数．(结论) ③所有循环小数都是有理数，(大前提) 0．3·是循环小数，(小前提) 0．3·是有理数．(结论)
• 『规律总结』 将演绎推理写成三段论的方法 • (1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小
用三段论证明代数题
典例 3 (2018·菏泽高二检测)已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大小关系是__m_<__n__．
[解析] 当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax 为减函数，(大前提) a＝ 52－1∈(0,1)，(小前提) 所以函数 f(x)＝( 52－1)x 为减函数，(结论) 故由 f(m)>f(n)，得 m<n．
A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误 [解析] 大前提错误，因为对数函数 y＝logax(0＜a＜1)是减函
• 2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的 奇数是3的倍数A．”上述推理是( )
• A．完全正确 • B．推理形式不正确 • C．错误，因为大小前提不一致 • D．错误，因为大前提A错误 • 3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导
的分别为( D )
A．②①③
B．③①②
C．①②③
D．②③①
[解析] 用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的四个内角相等
小前提 ③正方形是矩形
结论 ①正方形的四个内角相等
故选 D．
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
、______到______的推理，类比是由______到 理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推 论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于
• (2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建 的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的
靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更
．
• 3．三段论
一般原理 特殊情况
• A．正方形都是对角线相等的四边形 • B．矩形都是对角线相等的四边形 • C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 • D．矩形都是对边平行且相等的四边形
• 2．(2018·秦州区校级三模)下面是一段演绎推 线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所 知直线b∥平面α，直线a⊂D平面α；所以直线b∥ 这个推理中( )
• (1)“三段论”是演绎推理的一般模式判，断 包括：
• ①大前提——已知的________；
• ②小前提S—是—P所研究的__________；
• ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_ • 其一般推理形式S中为所有元素也都具有性质P
• 4．其他演绎推理形式
• (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”．
• 『规律总结』 用“三段论”证明命题的步骤 • (1)理清证明命题的一般思路； • (2)找出每一个结论得出的原因； • (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示．
〔跟踪练习 2〕 用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提． 如图所示，在锐角△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E 是 的中点 M 到 D、E 的距离相等．
• (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一 关系，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等
• 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义 理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们 ，以供学生扩展知识面．
• (3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在 理规则．
1．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数 y＝logax 是增 又 y＝log12x 是对数函数(小前提)，所以 y＝log12x 是增函数(结论)． 的是( A )
[证明] (1)∵有一个内角是直角的三角形是直角三形，大前 在△ABC 中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提 ∴△ABD 是直角三角形．结论 同理，△AEB 也是直角三角形． (2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线，小 ∴DM＝12AB．结论 同理，EM＝12AB．∴DM＝EM．
若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为 ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的
• 4．给出下列结论： • ①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定 • ②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能 • ③由合情推理得到的结论一定为真． • ④演绎推理和合情推理都可以用于证明． • ⑤合情推理不能用于①证⑤ 明，演绎推理可用于证 • 其中正确结论的序号为______．
互动探究学案
命题方向1 ⇨用三段论表示演绎推理
• 典例 1 (1)(2017·淄博高二检测)“因为四边形 形，所以四边形ABCD的对角线相等B”，补充 大前提是( )
• A．正方形都是对角线相等的四边形 • B．矩形都是对角线相等的四边形 • C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 • D．矩形都是对边平行且相等的四② 边形 • (2)三段论：①平面内没有任何公共点的直线为
〔跟踪练习 3〕 设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)证明 f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
[解析] (1)因为 f(x)是 R 上的偶函数， 所以对一切 x∈R，都有 f(x)＝f(－x)， 即eax＋eax＝ea－x＋ea－x＝a1ex＋aex，整理得(1a－a)(ex－e1x)＝0 对一 因 ex－e1x不恒为 0，故1a－a＝0，所以 a＝±1． 又 a>0，所以 a＝1．
• A．大前提正确，结论错误 • B．小前提与结论都是错误的 • C．大、小前提正确，只有结论错误 • D．大前提错误，结论错误 • [解析] 直线平行于平面，则直线可与平面内的
、异面、异面垂直．
• 故大前提错误，结论错误．
3．(2017·天心区校级期末)由①正方形的对角线相等；②矩形
③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提