高一物理《机械能》第四节机械能 机械能守恒定律

第四节 势能 机械能守恒定律
[考点聚焦]
1、重力势能：物体由于受到重力而具有的跟物体和地球的相对位置有关的能量，叫做重力势能。

表达式：E P =mgh 。

式中h 为物体重心到参考平面的高度。

单位：焦耳。

符号：J 。

重力势能是标量。

选不同的参考面，物体的重力势能的数值是不同的，但任意两点间的重力势能之差是不变的。

重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力做的正功，克服重力做功（重力做负功）时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力做的功。

重力所做的功只跟初位置的高度和末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关。

2、弹性势能：物体由于弹性形变而具有的与它的形变量有关的势能，叫弹性势能。

物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。

弹力势能没有具体的计算式，但在高考综合题中往往以隐含条件出现，这一特点应引起注意。

3、机械能：动能和势能统称机械能，即E =E K ＋E P 。

4、机械能守恒定律
在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，机械能的总量不变，这就是机械能守恒定律。

机械能守恒定律的表达式为：E K1＋E P1= E K2＋E P2或ΔE K ＋ΔE P =0。

在只有弹力做功情形下，物体的动能和弹性势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒。

[好题精析]
例1、质量为m 的小球用长为L 的轻绳悬于O 点，如
图5—4—1所示，小球在水平力F 的作用下由最低点P 缓慢地移动到Q 点，在此过程中F 做的功为（ B ） A 、θsin FL B 、θcos mgL C 、)cos 1(θ-mgL D 、θFLtg
解析：水平力做功使小球的重力势能增加，因小球缓慢移动，故小球动能不变，故水平力对小球做多少功，小球的重力势能增加多少，所以，水平力对小球做的功为W =)cos 1(θ-mgL 。

C 选项正确。

图5—4—1
点评：本题中的F 的方向不变，由平衡条件F 的大小不断变化，该变力的功可根据重力势能的变化求得，所依据的规律是“功是能量转化的量度”，所以，解这类题目时，关键要分清楚做功引起了哪些量转化。

同样还应该注意重力做功的特点应用。

本题中若去掉“缓慢”的条件还能这样求解吗？ 例2、下列物体中、机械能守恒的是（ ）
A 、做平抛运动的物体
B 、被匀速吊起的集装箱
C 、光滑曲面上自由运动的物体
D 、物体以g 5
4的加速度竖直向上做匀减速运动 解析：物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦阻力，在曲面上弹力不做功，都只有重力做功，机械能守恒，所以AC 选项正确。

匀速吊起的集装箱，绳子的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒。

物体以g 5
4的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律g m mg F )54(-=-，有mg F 51=，则物体受到竖直向上的大小为mg 5
1的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒。

点评：物体的运动形式可能有多种，判断机械能是否守恒，关键看是否只有重力做功。

机械能守恒常见的情况有：①物体只受重力作用；②物体虽然受到重力以外的其它力的作用，但它们在物体运动过程中是始终不做功。

或这些力的功的代数和为零。

例3、有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M 的小球，轻线的下端系着质量分别为m 1、m 2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R 的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（图5—4—2）。

若将
两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能在水平板上做匀速圆周运动？
解析： 该题用守恒观点和转化观点分别解答如下： 解法一：（守恒观点）：选小球为研究对象，设小球
沿半径为R 的轨道做匀速圆周运动时的线速度为0v ，根据牛顿第二定律有R v M g m m 2021)(=+
①
当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉
力减小。

不足以维持小球在半径为R 的轨道上继续
做匀速圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端图5—4—2
的物体m 1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小。

假设物体m 1上升高度为h ，小球的线速度减小为v 时，小球在半径为)(h R +的轨道上再次做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
h
R v M g m +=2
1 ② 再选小球、物体m 1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m 1上升过程。

由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

选小球做匀速圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R 的轨道做匀速圆周运动时m 1到水平板的距离为H ，根据机械能守恒定律有
)(2
12112120h H g m Mv gH m Mv --=- ③ 以上三式联立解得M
gR m m v 3)3(21+= 解法二：（转化观点）：与解法一相同，首先列出①②两式，然后再选小球、物体m 1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m 1上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球动能的减少量等于物体m 1重力势能的增加量。

即
gh m Mv Mv 12202
121=- ④ ①②④式联立解得M
gR m m v 3)3(21+= 点评：比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦：如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简洁。

例4、如图5—4—3所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，
弹簧的劲度系数为k ，原长为l 0。

质量为m 的铁球由弹簧正
上方H 高处自由下落，落在离地面多高时它的动能最大？球
在离地面多高时，弹簧的弹性势能最大？
解析：铁球压缩压弹簧做变加速运动，由运动和力的关系可
知，小球的运动是先加速后减速，当弹力和重力相等时运动
发生转折
（1）设动能最大时弹簧的压缩量为1x ，此时1kx mg =
，
图5—4—3
k mg x =1。

铁球离地面高度k
mg l x l h -=-=0101 （2）设弹簧弹性势能最大时弹簧的压缩量为2x ，平均弹力22kx F =
，重力势能的减少量转化为弹性势能，故2
)(2222kx x F x H mg =⋅=+ 得02222
2=--mgH mgx kx 则k
mgkH g m mg x 2222++= 此时铁球离地面高度k
mgkH g m mg l h 22202++-= 点评：铁球下落压缩弹簧的过程中，机械能守恒，铁球压缩弹簧后，先加速后减速，合力为零时动能最大；弹簧压缩到最大量时，球减少的重力势能全部转化为弹性势能，弹性势能达到最大值。

由于我们不要求掌握弹性势能的计算公式，所以解题时可根据弹力的大小跟形变量成正比的关系，引入平均弹力的概念，且最大弹力是平均弹力的2倍。

例5、如图所示，质量均为M 得木块A 、B ，并排放在光滑水平面上；A 上固定一竖直轻杆，轻杆上端得小钉（质量不计）O 上系一长度为L 的细线，细线另一端系一质量为m 的球C ，现将C 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C 球，求： （1） 两木块刚分离时，A 、B 、C 的速度各多大？
（2）
解析：C 球下摆过程中，在达到最低点以前，悬线拉力
的水平力通过杆使A 、B 一起向右加速运动，当C 达最低点时A 、B 同时达到最大速度。

C 悬线对杆的拉力的水平分为向左，通过杆使A 减速，导致A 、B 分离。

分离后木块B 以分离时的速度向右匀速运动。

由于A 、B 、C 组成的系统水平方向无外力作用。

则系统的总动量守恒（即总动量始终保持为零）；所以在A 、B 分离且C 球上摆到某一位置后，木块A 将反向向左运动。

当A 与C 的水平速度相同时C 球摆到最高点，这时偏离竖直方向的角度最大。

图5-4-4
解：（1）选A 、B 、C 组成的系统为研究对象，研究细线由水平位置（始态）到竖直位置（终态）的过程，设C 球摆到最低点时速度为v ，此时A 、B 即将分离，其共同速度为v 合，规定水平向右为正方向，根据动量守恒定律有O=(M+M)v 合－mv 0 ①
再选A 、B 、C 和地球组成的系统为研究对象，在细线由水平位置到竖直位置的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律有
22)(2
121合v M M mv mhL ++= ② ①②两式联立解得A 、B 刚分离时C 球得速度为gl m M M v +=22
， A 、 B 的速度均为gl m
M M M m v +2＝合 （2）选A 、B 、C 组成的系统为研究对象。

研究C 球的悬线从水平方向到向左摆到最高点的全过程，C 球达最高点时，A 与C 的速度相同，设大小为v '，方向水平向左，仍规定水平向右为正方向，根据动量守恒定律有 v m M Mv O '=)＋－（合 ③
设C 球向左端摆到最高点时细线与竖直方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律有
)cos 1(2
1)(2122θ-++'+=mgL Mv v m M mgL 合 ④
③④两式联立，并将上问所得的v 合值代入可知：
)
(2cos 1m M m +=-θ 点评：上例中用机械能守恒时，是用守恒的观点，规定O 点以下L 处为零势面，从而列出两状态机械能相等来解的。

此题同样也可以用转化的观点解决。

大家不妨试一下，比较哪种更简便。

[当堂反馈]
1、选择不同的水平面作参考平面，物体在某一位置
的重力势能和某一过程中重力势能的改变量（ ）
A 、都具有不同的数值
图5—4—5
B 、都具有相同的数值
C 、前者具有相同数值，后者具有不同数值
D 、前者具有不同数值，后者具有相同数值
2、如图5—4—5所示，总长为L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时两端相齐。

当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮瞬间速度多大？
[强化训练]
1、，质量为m 的物体静止在地面上，物体上面连一轻弹簧。

用手拉着弹簧上端将物体缓慢提高h ，若不计物体动能的改变和弹簧重力，则人做的功（ ）
A 、等于mgh
B 、大于mgh
C 、小于mgh
D 、无法确定
2、在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同的速率v 0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是（不计空气阻力）（ ）
A 、从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等
B 、从抛出到刚着地，重力分别对两球做的总功都是正功
C 、从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等
D 、两球刚着地时，重力的瞬时功率相等
3、甲乙两球质量相等，悬线一长一短，如图将两球由
图示位置的同一水平无初速释放，如图5—4—6所示，
不计阻力，则对小球过最低点时的正确说法是（ ）
A 、甲球的动能与乙球的动能相等
B 、两球受到线的拉力大小相等
C 、两球的向心加速度大小相等
D 、相对同一参考面，两球机械能相等
4、图5—4—7中PNQ 是一个固定的光滑轨道，其中PN 是直线部分，NQ 为半圆弧，PN 与NQ 弧在N 点相切，P 、Q 两点处于
同一水平高度，现有一小滑块从P 点由静止开始沿轨道
下滑，那么（ ）
A 、滑块不能到达Q 点
B 、滑块到达Q 点后将自由下落
C 、滑块到达Q 点后，又沿轨道返回
D 、滑块到达Q 点后，将沿圆弧的切线方向飞出
5、如图5—4—8所示，两个质量分别为m 和2m 的小
球a 和b 之间，用一根长为L 的轻杆连接（杆的质量可
不计），两小球可绕穿过中心O 的水平轴无摩擦转动，
现让轻杆处于水平位置，然后无初速释放，重球b
向下，
图5—4—
6 图5—4—8
图5—4—
7
轻球a 向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中（ ）
A 、b 球的重力势能减少，动能增加
B 、a 球的重力势能增加，动能减少
C 、a 球和b 球的总机械能守恒
D 、a 球和b 球的总机械能不守恒
6、如图5—4—9所示，长度相同的三根轻杆构成
一个正三角形支架。

在A 处固定质量为2m 的小
球，B 处固定质量为m 的小球，支架悬挂在O 点，
可绕O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转
动。

开始时OB 与地面相垂直，放手后开始运动。

在不计任何阻力的情况下。

下列说法正确的是
（ ）
A 、A 球到达最低点时速度为零
B 、A 球机械能减少量等于B 球机械能增加量
C 、B 球向左摆动所能达到的最高位置应高于A
球开始运动时的高度
D 、当支架从左至右回摆时，A 球一定能回到起始高度
7、如图5—4—10所示，在水平台面上的A 点，一个质量为m 的物体以初速度0v 被抛出，不计空气阻力，求它到达B 点时速度的大小为________。

8、如图5—4—11所示，轻弹簧k 一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg 的木块沿光滑的水平面以5m/s 的速度运动并开始挤压弹簧，求弹簧的最大弹性势能及木块被弹回速度增大到3m/s 时弹簧的弹性势能。

9、一列长为L 的游览车，如图5—4—12所示，可以看成是由许多节长度很短的相同车厢连接而成的，从高处的平台上沿斜面由静止滑下，
全部进入图5—4—9
图5
—4—10
图5—4—11
水平轨道后，又遇到一个半径为R的竖直圆形轨道（L）2πR），欲使游览车能安全驶过竖直圆形轨道，平台距水平轨道的高度h至少应为多大？（设游览车无动力，不计各处的阻力）
10、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的1/2，质量为m。

开始时，木块静止，有一半没如水中，如图5—4—13所示。

现用力F将木块缓慢地压到池底。

不计摩擦。

求
（1）从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量。

（2）从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功。

图5—4—13
图5-4-12。