河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习与圆有关的计算练习201707172195

与圆有关的计算
与圆有关的计算在近7年河北中考中考查5次，选择题、填空题、解答题均有考查。

本节常考的知识点有：（1）扇形的相关计算；（2）圆锥的相关计算 一、选择题 例题精讲
1. （2016黄石中考）在长方形ABCD 中，AB = 16，如图所示，裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面圆半径为 ( )
A ．4
B ．16
C ．24
D ．8
【答案】A
【解析】设所围圆锥的底面半径为r ，则
r ππ2180
16
90=⨯，∴r = 4，故选择A ． 2. （宜昌中考）如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ．下列说法错误的是（ ） A ．圆形铁片的半径是4cm B ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcm D ．扇形OAB 的面积是4πcm ²
【答案】C
【解析】∵圆形铁片与直尺和三角形的直角边都有唯一的公共点，∴圆与直尺和三角形的直角边均相切.∴OB ⊥BC ，OA ⊥AC ，又∠BCA ＝90°，∴四边形OACB 为矩形，又OA ＝OB ，∴四边形
OACB 为正方形.∴圆形铁片的半径等于正方形的边长，为14－10＝4cm ；因此A 、B
正确；利用
B
C
弧长公式可计算弧AB 的长为904
2180
ππ⨯⨯=cm ，扇形OAB 的面积是
29044360ππ⨯⨯=cm ²，故C 选项错误,D 正确.故选C . 针对性训练
1. 已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( ) A ．24 cm
B ．48 cm
C ．96 cm
D ．192 cm
2. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A ．2015π B ．3019.5π C ．3018π D ．3024π
3.如图，AB 为
⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
43π B ．43
π
-
C ．π
D ．
23
π
4. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放
置在桌面上．水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8 cm ，水的最大深度是2 cm ，则杯底有水部分的面积是（ ） A ．2)343
16
(cm -π
B ．2)383
16
(cm -π
C ．2)343
8
(cm -π
D ．2)323
4
(cm -π
5. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）
cm
cm D.10cm 答案1-5 B DAAA (二)、填空题
例题精讲 1. (龙东中考)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形
ABC (A 、B 、C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该
圆锥的底面圆的半径是__________米．
【答案】
4
2 【解析】方法1：如图1，连接OB ，OC ，
∵∠BAC ＝90°，∴∠BOC ＝180°，∴点B ，O ，C 在同一条直线上，∴BC 是⊙O 直径，∵⊙O 的直径为2米，∴BC ＝2米，在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AB AC BC +=，∵AB ＝AC ，∴2AC 2
＝22
， ∴AC
，∴圆锥的底面圆的
半径＝÷(2π)
．故答
． C
B
A
C
B
A
图1
图
2
C
B
A
2.(大庆中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，将其放入平面直角坐标系中，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为．
【答案】
1
2π+
【解析】如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB==
∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积
22 13519011
11
36023602
ππ
π
⨯⨯⨯⨯
=+⨯⨯+=+.
故答案为：π +．
针对训练
1. 一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为_______．
2. 如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆形量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA＝2，则图中阴影部分的面积是____________．（结果保留π）
3. （黄冈中考）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为__________cm2．
【答案】1—3题答案40°，4
3
，
108π
（三）、解答题
例题精讲
1. (2016龙东中考)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(4，－4)，C(1，－1)．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标：____________．
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留π)．
解：（1）如图所示，A1坐标为(﹣2，﹣4)，故答案为 (﹣2，﹣4).
（2）如图所示．
（3）∵OC
OB
＝，
∴△ABC 旋转时线段BC 扫过的面积=22229090360360BOB COC OB OC S S ππ⨯⨯=-
扇形扇形﹣＝90(322)
360
π⨯-＝152
π
．
2. （怀化中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2.
（1）求作⊙O ，使它经过点A 、B 、C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求出劣弧BC 的长l.
解：（1）如图所示.
（2）因为AC ＝1，AB ＝2，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°，∠A ＝60°，连接OC ，则∠BOC ＝120°，
OC ＝OB ＝1，所以劣弧BC 的长l ＝
12021803
ππ
=
. 针对练习
1. 如图，射线PA 切⊙O 于点A ，连接PO ．
（1）在PO 的上方作射线PC ，使∠OPC =∠OPA （用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法）
，并证明：PC 是⊙O 的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB =AP =4，求AB 的长．
2.如图①，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝2360n R p ．由弧长l ＝180
n R
p ，得S 扇形＝
2360n R p ＝12180n R R p 创＝12lR ．通过观察，我们发现S 扇形＝1
2
lR 类似于S 三角形＝12×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用． （1）设扇环的面积为S
扇环
，AB 的长为l 1，CD 的长为l 2，线段AD 的长为h (即两个同心
圆半径R 与r 的差)．类比S 梯形＝1
2
×（上底＋下底）×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明．
（2）用一段长为40m 的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？
答案;
1解：（1）作图如图所示．连接OA ，过O 作OB ⊥PC 于B ，∵PA 切⊙O 于点A ， ∴OA ⊥PA ，又∵∠OPC =∠OPA ，OB ⊥PC ，∴易知OA =OB ，即d =r ，∴PC 是⊙O 的切线； （2）∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，又∵AB =AP =4，∴△PAB 是等边三角形，∴∠APB =60°，∴∠AOB =120°，∠POA =60°．在Rt △AOP 中，tan60°=
4OA ，∴OA
∴AB l =
1203180π⨯
．
2解：（1）121
().2
S l l h =+
证法1：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2222()360360360
n R n r n R r p p p
=-=-
12111()()()().218021801802
n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ C n ° O
A
B
l 1 l 2 D
h 图②
A
B
O n ° R l 图①
证法2：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 22
12111()222180180
n R n r l R l r p p =-=-
12111()()()().218021801802
n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ （2）由l 1＋l 2+2h ＝40，得l 1＋l 2＝40－2h ． ∴S 扇环＝
12×(l 1＋l 2)×h ＝12
(40－2h ) h ＝－h 2＋20h ＝－(h －10)2
＋100(0＜h ＜20)． ∴当h ＝10时，S 扇环的最大值为100m 2
．
∴当线段AD 的长为10m 时，花园的面积最大，最大面积为100m 2
．。