湖北云学部分重点高中联盟2025届高三10月联考(一模)数学试卷+答案

2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考
数学试卷
考试时间：2024年10月8日15：00-17：00 时长：120分钟
一满分：150分､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
(){}2log 1A x y x ==
−∣，集合
{}
2x B y y −==
∣，则A B ∩=（ ）
A.()0,1
B.()1,2
C.()1,∞+
D.()2,∞+ 2.若tan 2θ=，则
sin cos2sin cos θθ
θθ
=+（ ）
A.65−
B.25
− C.25 D.65
3.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，若918S =且346,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A.1
3 B.
23 C.5
3
D.2 4.已知函数()
()π3sin 06f x x ωω
=+>
，对任意的x ∈R ，都有()()30f x f x ++=
成立，则ω的可能取值是（ ） A.
π4 B.π2 C.π6 D.π
3
5.对于平面凸四边形ABCD ，若()()4,3,1,2AC
BD ==
，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A.
52 B.53
大小不确定
6.已知函数()cos f x x ax =−在区间π0,6
单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1,2∞
−−
B.∞ −
C.1,2∞ +
D.∞ +
7.在平面直角坐标系中，双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
−=>>的左､右焦点分别为12,,F F A 为双曲线右支上
一点，连接1AF 交y 轴于点B ，若2AB AF =，且12AF AF ⊥，则双曲线的离心率为（ ）
8.已知函数()1ln f x x a x x
=−−
有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的取值范围是（ ） A.30,ln24 −
B.3ln2,2∞ −+
C.30,2ln22 −
D.3ln2,4∞
−+
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件,A B 发生的概率分别为()
()11
,23
P A P B ==，则下列说法正确的是（ ） A.若A 与B 互斥，则()2
3
P A B +=
B.若A 与B 相互独立，则()23
P A B += C.若()
1
3
P AB =
，则A 与B 相互独立 D.若B 发生时A 一定发生，则()16
P AB =
10.已知a b c >>，且20a b c ++=，则（ ） A.0,0a c >< B.
2c a
a c
+<− C.0a c +> D.
21a c
a b
+<−+ 11.设,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ>，则下列不等式中正确的有（ ） A.sin sin 1αβ+> B.tan tan 1αβ⋅<
C.cos cos αβ+<()1tan tan
22
αβ
αβ−−> 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数z 满足
2i i
z
z =−+，则z =__________. 13.若()ππsin 3sin 63f x a x x =
+++
是偶函数，则实数a 的值为__________. 14.在如图所示的直角梯形ABCD 中，AB ∥,1,2,.CD AB
BC CD AB BC P ===⊥为梯形ABCD 内一动点，且1AP =，若AP AB AD λµ=+ ，则2
µ
λ+的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2,1n S a =且(
)*
12n n S S n n +=+∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足()2log 1n b =+，数列{}n b 的前n 项和为n T .求
2341111
n
T T T T ++++ . 16.（15分）在ABC 中，三个内角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､.设向量
()()2,cos ,,cos m a c C n b B =−= ，且m
∥n .
（1）求角B 的大小；
（2）设D 是边AC 上的一点，使得ABD 的面积是DBC 面积的2倍，且
sin sin 1
4
ABD DBC a c ∠∠+=，求线段BD 的长. 17.（15分）已知,a b 为实数，函数()e 1x
f x ax b =−+−（其中e 2.71828= 是自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对任意的(),0x f x ∈≥R 佰成立，求a b +的最小值. 18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD −
中，1,AD AC BC AP PA ===
=⊥底面ABCD ，
90CAD ACB ∠∠== ，平面PBC 与平面PAD 的交线为l
.
（1）求证：l ⊥平面PAC ；
（2）设M 为PCD 内一动点，且7
9
MC MD ⋅=− ，求线段PM 长度的最小值； （3）在（2）的条件下，当线段PM 的长最小时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.
19.（17分）在信息论中，熵（entropy ）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X 的所有取值为
()
()*1,2,3,,,i n n P X i p ∈==N ，定义信息熵：
()12211
(),,,log ,1,1,2,,n
n
n n i i i i i H X H p p p p p p i n ====−==∑∑
（1）若2n =，且12p p =，求随机变量X 的信息熵；
（2）若1211
11,,2,2,3,,222
k k n
n p p p p k n +=+=== ，求随机变量X 的信息熵； （3）设X 和Y 是两个独立的随机变量，求证：()()()H XY H X H Y =+.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案
C
A
D
A
D
A
B
B
AB
ABD
AD
6.解析：4,PA
PB PC PQ ===⊥ 面ABC 且Q 是ABC 外心，
22264π
)4,4π3PQ QB QC R R R S R ====+==
==
7.解析：四边形ACBM 面积1
2
S MC AB MA AC =
=⋅=，
AB =， ()()()222222||(1)e ,(1)e ,212e x x x MC x f x x f x x =−+=−−+′+=单增，
又()()2min min
min 00,()02,|2,|f f x f MC AB =
====′，
2
min π
π2S =
8.解析：11223311,11,11x x x x x x =+≥=+≥=+≥'''，则1233,4,.15x x x ++=
……'''
，
所以有2223223
2314331415
C C C C C C C 455++……+=++……+== 9.解析：函数()
sin cos f x x x =+的定义域为R ，有
()()()()
sin sin f x x x x x f x −=−+−=+=∣，即函数()f x 是偶函数，
又()
()()()πsin ππsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，则π是函数()f x 的一个周期，
也是最小正周期，A 正确
当π02x ≤≤
时，()πsin 2sin 3f x x x x =
=+ ，显然函数()f x 在π0,6 上递增，在ππ,62
上递减，π02x −
≤≤时，由偶函数的性质知，函数()f x 在ππ,26 −−
上递增，在π,06
− 上递减，即当π02x ≤≤
时max min ππ()2,()162f x f f x f
====
，即函数()f x 在π0,2 的取值集合为[]1,2， 从而函数()f x 在π,02 −
的取值集合为[]1,2，即在ππ,22
−
上的值域为[]1,2，因此函数()f x 在R 上的值域为[]1,2，B 正确； 如图：
()f x 不关于直线π
6
x =
对称，所以不关于直线7π6x =对称，故C 错
()f x 在5ππ,62 −− 上单调性同ππ,62
，所以递减，故D 对.
11.解析：对()
()2
221f x f x =+两边求导得()()()422f x f x f x ′′=
即()()()22f x g x g x =，故A 对
()()()22210,21g x f x f x =−≥≥，即恒成立，
()()()()21
2001,01,02
f f f f =+==−（舍），故B 错.
()g x 是奇函数，()f x 是偶函数，
()()()1,1,f x g x g x ≥′≥为增函数，()f x ′为增函数，
又()00f ′=，故C 错.
()()36x F x g x x
−+
，
()()()221122x x F x g x f x
−+−+ ′ ′，
()()()F x f x x g x x −′==
′−′为增函数， ()()()()()()00,00,00F x F F x F F x F ′>′=>=>′′=′，故D 对.
14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB .
设π,02BAQ
∠θθ =<<
，则π
2
ABQ ∠θ=−. 过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则
π
3,,2
AC BD CPA BAQ DPB ABQ ∠∠θ∠∠θ======
−. 在直角三角形ACP 中，sin sin AC
CPA
AP
∠θ==， 所以3sin sin AC
AP θθ
=
=
. 同理：
3πcos sin 2BD BP θθ=
= −
. 所以33
π,0sin cos 2AB AP BP U θθ
=+=
+
<<
.
因为333sin cos AB θθ=
+≥×≥ （当且仅当sin cos θθ=且π
4
θ=
时等号成立）.
所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为
9m =
15.解析：（1）在ABCD 中，π
2,4
AB BC ABC ∠==
，
由余弦定理得2222cos 2AC AB BC AB BC ABC ∠=+−⋅=， 则222AB AC BC +=，有AB AC ⊥， 又平面ACEF ⊥平面ABCD ， 平面ACEF ∩平面ABCD AC =，
,AF AC AF ⊥⊂平面ACEF ，
则AF ⊥平面ABCD ，直线,,AB AC AF 两两垂直，
以点A 为原点，直线,,AB AC AF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则())()0,0,0,,A B
C ，
(
)()()
,,0,0,1D E F
设()0,,1,0M t t ≤≤
则
(
))
,AE DM
t ==
，
由AE DM ⊥，得10AE DM
t ⋅=−+=
，
解得t =
，即
12FM FE =，所以当AE DM ⊥时，点M 为线段EF 的中点. （2）由（1
）可得()
,BM BC
， 设平面MBC 的法向量为(),,m x y z =
，
则00m BM y z m BC ⋅++= ⋅+= ，取2y =
，得(2,m = ， 平面ECD 的法向量为()0,1,0n =
，设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，
则cos cos ,m n m n m n
θ⋅=
<>==
所以平面MBC 与平面ECD
. 16.解析：（1）易知函数()
()0e x ax
f x a =≠的定义域为R .所以()()1e
x
a x f x −=′， 当0a >时，由()0f x ′>，得1x <，由()0f x ′<，得1x >.所以()f x 的单调增 区间为(),1∞−，单调减区间为()1,∞+；
当0a <时，由()0f x ′>，得1x >，由()0f x ′<，得1x <.所以()f x 的单调增区间为()1,∞+，单调减区间为(),1∞−.
（2）()ln 1xf x x mx ++≤即31ln e x x x
m x x
≥
++在()0,x ∞∈+上恒成立， 令()31ln e x x x
h x x x
++，易知函数()h x 的定义域为()0,∞+.所以()()2222313e 3e 11ln ln .e e x x x x
x x x x
h x x x x
′−−−=−+=−当01x <<时， ()231ln 0,
0e x
x x x −><，故()0h x ′>；（11分）当1x >时，()231ln 0,0e x x x x
−<>， 故()0h x ′<.（13分）所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以1x =时，
()h x 在()0,∞+上取得最大值()311e h =
+.所以31e m ≥+，所以实数m 的取值范围是31,e ∞
++
. 17.解析：（1）由m n
‖可得，()()()sin sin sin b a A b c B C −=
+−，由正弦定理该式化为()()()b a a b c b c −=+−，整理得：2
2
2
b a
c ab +−=，即：
2221
22
b a
c ab +−=， 即1cos 2
C =
，因为C 为三角形的内角，所以π
3C =.
（2）令CD x = ，由题意：2CD CA CB =+
，平方得：2224x b a ab =++，由正弦定理
sin sin sin a b C A B C ===
，
则：,a
A b
B ，代入上式得： 222444
4sin sin sin sin 333
x B A A B ++⋅ 2242π442πsin sin sin sin 33333A A A A −++⋅−
4π1cos 2441cos242π3sin sin 323233A A A A −− − =⋅++⋅
42π5cos 2333A
−+
因为三角形是锐角三角形，所以
π0πππ2ππ2
22ππ62333032A A A A << ⇒<<⇒−<−<
<−<
， 2π142π57cos 2,1,cos 2,3323333A A ∴−∈∴−+∈
，即2
74,33x ∈ ，
x ∴∈，
因此，CD
的取值范围为.
18.解析：（1
）由题意，有223a b a c = +=
，解得21a b c = = =
即椭圆标准方程为： 22
1143
x y += （2）设过点R 的切线方程为()()122y k x kx k =−+=+−
()222222(2)y k x k k x k =+−+−
联立2234120x y +−=，有
()
()22243824(2)120k x k k x k ++−+−−= 由于想切，令Δ0=，
()
(222224(2)43,(2)343k k k k k −=+−−+ ()
223433(2)k k +=− 23410k k +−= 即求得1213
k k =− （3）设()()000,0,R x y y RK >延长线交x 轴于K ′点，
P Q ､两点处切线斜率分别是1k 和2k ，有00
22x IK AK JK BK x +==′−′， 设椭圆上P 或Q 两点切线方程为()00y k x x y =−+联立有，
()()000022
143y k x x y kx kx y x y =−+=−− +=
()()()22200004384120k
x k kx y x kx y +−−+−−= ()()()22220000Δ0,64443412k kx y k kx y =−=+−− 有 ()
2
2200004230x k x y k y −−+−=
20001212220023,44
x y y k k k k x x −+==−− ()()10020022I J
y k x y y k x y =−−+ =−+ 要证明IK AI JK BJ =，需证明()()10000200
2222k x y x x k x y −−++=−−+ 即要证()()()
()22
200010004242k x y x k x y x −++=−+−， ()()212001042k k x y k k x ++=+ ()()21200042k k x x y +−=其中，00122024x y k k x +=−显然，即证IK AI JK BJ
=（17分） 19.（1）①()()(),1,,1,,3a c c
②处于位置(),3c 时，得3分，21124 =
， 处于位置(),1a 时，得1分，21124 =
， 处于位置()
,1c 时，得分1分，2122=， 所以最终得分的分布列为：
得分X 的期望()31313 1.5442
E X =×+×==.
（2）将棋盘按如图所示编号： 1
2 3 4
5 6 7
8 9
1 2 3
4
5 6 7 8 9
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：438−−；从8可以连接3或1，记做：381−−；然后将他们串联起来：4381−−−.依次类推，可以串联出环状回路：
438167294−−−−−−−−−−，如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为14
为了转化问题，现规定d =“两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时，0d =.并统计四种运动模式下d 会如何改变
假设3号棋子顺时针走过x 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y 个节点也可以与之重合.为了简化问题，不妨假设x y ≤，于是有下表： （顺，顺） （顺，逆） （逆，顺） （逆，逆）
0d =
0d = 1d = 1d = 0d = 1d =
1d = 0d = 3d = 1d = 3d = 3d = 1d = 1d = 3d =
设n p =“n 回合后，0d =的概率”，
n q =“n 回合后，1d =的概率”， n R =“n 回合后，3d =的概率”， 则有111111111241111,22221142n
n n n n n n n n n p p q q p q R R q R −−−−−−− =+ =
++= =+ 1111111,28424n n n n p p p p −− ∴=+−=−
显然，11110,44p p =−=−，所以1111442n n p − −=−⋅
， 所以解得：11142n n p +=−.。