2018年高考理科数学通用版三维二轮复习专题检测：(二十)选修4-5不等式选讲有解析

专题检测（二十） 选修4-5 不等式选讲
1．(2017·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |－12
x (a >0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；
(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2
恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12
x ， 即|x －3|－12
x <0， 原不等式等价于－12x <x －3<12
x ， 解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．
(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2
，原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2， 由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，
原不等式等价于|a |<a 2.
又a >0，∴a <a 2，解得a >1.
故实数a 的取值范围为(1，＋∞)．
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①
当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；
当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；
当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，
从而1＜x ≤－1＋172
. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.
又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．
3．(2017·石家庄质检)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最大值为m .
(1)作出函数f (x )的图象；
(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12<x <1，－x －2，x ≥1，
画出图象如图所示．
(2)由(1)知m ＝32
. ∵32
＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc ， ∴ab ＋2bc ≤34，∴ab ＋2bc 的最大值为34
， 当且仅当a ＝b ＝c ＝12
时，等号成立． 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式|g (x )|<5；
(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，
∴－7<|x －1|<3，得不等式的解集为{x |－2<x <4}．
(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，
所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，
又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，
g (x )＝|x －1|＋2≥2，
所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，
所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．
5．(2017·东北四市高考模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1.
(1)证明：2a ＋b ＝2；
(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．
解：(1)证明：因为－a <b 2
， 所以f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧ －3x －a ＋b ，x ≤－a ，－x ＋a ＋b ，－a <x <b 2，3x ＋a －b ，x ≥b 2，
显然f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2
， 所以a ＋b 2
＝1，即2a ＋b ＝2. (2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2b ab
≥t 恒成立． 因为a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12
⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92
， 所以t ≤92，即实数t 的最大值为92
. 6．(2017·贵州适应性考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －5|，g (x )＝1＋x 2.
(1)求f (x )的最小值；
(2)记f (x )的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2＋b 2＝6，求证：g (a )＋g (b )≤m . 解：(1)∵f (x )＝|x －1|＋|x －5|≥|x －1－x ＋5|＝4，
∴f (x )min ＝4.
(2)证明：由(1)知m ＝4.由柯西不等式得
[1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )]，
即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2)，
又g (x )＝x 2＋1>0，a 2＋b 2＝6，
∴0<g (a )＋g (b )≤4(当且仅当a 2＝b 2＝3时取等号)．
即g (a )＋g (b )≤m .
7．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a
(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；
(2)当a <12
时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a
， ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a
， ∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|x －a －x －m ＋a |＝|m |，
∴|m |≤1，即－1≤m ≤1，
∴实数m 的最大值为1.
(2)当a <12
时， g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ＋a ＋12a ＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，
3x －a ＋12a －1，x >12
， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． 又函数g (x )有零点， ∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a
≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， 解得－12
≤a <0， ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫－12，0. 8．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.
(1)求不等式f ⎝⎛⎭
⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r
＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪
⎪x －32≥0， 得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪
⎪x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得－2≤x <－32
； 当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32
≤4恒成立， ∴－32≤x ≤32
； 当x >32时，x ＋32＋x －32≤4，解得32
<x ≤2. 综上，f ⎝⎛⎭
⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r .
由柯西不等式，得
⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3
·a 32＝9， 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9.
∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94
，
当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34
时，取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94
.。