第四章 图形的相似(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册强化巩固测试卷(北师大版)

2020-2021学年九年级数学上册
《强化巩固测试卷》(北师大版)
第四章图形的相似
说明:1.本试卷分议题和答题卡两部分:考试时间为90分钟:满分为120分。

2.考生在答题前，请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题。

3、所有答案必须写在答题卡相应区域，写在其它区域无效。

一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF 与ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的()
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【解析】设小正方形的边长为1，则ABC的各边分别为31310F是M或N时，其各边是6、213210ABC各边对应成比例，故选C．
2．ABC与DEF的相似比为1:4，则ABC与DEF的周长比为()
A．1:2B．1:3C．1:4D．1:16
【解析】ABC与DEF的相似比为1:4，
ABC与DEF的周长比为1:4；
故选：C．
3．如图，在ABC中，//
DE BC，若
2
3
AD
DB
，则(
AE
EC
)
A ．13
B ．25
C ．23
D ．35
【解析】
//DE BC ， 23
AE AD EC
DB
， 故选：C ．
4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A ．两人都对
B ．两人都不对
C ．甲对，乙不对
D ．甲不对，乙对
【解析】甲：根据题意得：//AB A B ，//AC A C ，//BC B C ，
A
A ，B
B ，
ABC ∽△A B C ，
甲说法正确； 乙：根据题意得：3AB CD ，5AD
BC ，则325A B C D ，527A D B C ，
35AB CD A B
C D
，5
7
AD BC A D
B C
， AB AD
A B
A D
， 新矩形与原矩形不相似． 乙说法正确． 故选：A ．
5．如图，ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①ACP B；②APC ACB；③2
AC AP AB；④AB CP AP CB，能满足APC和ACB相似的条件是()
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
【解析】当ACP B，
A公共，
所以APC ACB
∽；
当APC ACB，
A公共，
所以APC ACB
∽；
当2
AC AP AB，
即::
AC AB AP AC，
A公共，
所以APC ACB
∽；
当AB CP AP CB，即PC AP BC AB
，
而PAC CAB，
所以不能判断APC和ACB相似．
故选：D．
6．如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则:
EF FC等于()
A ．3:2
B ．3:1
C ．1:1
D ．1:2
【解析】
ABCD ，故//AD BC ，
DEF BCF ∽， DE EF
BC
FC
， 点E 是边AD 的中点，
1
2
AE
DE
AD ， 12
EF FC ． 故选：D ．
7．四边形ABCD 与四边形A B C D 位似，O 为位似中心，若:1:3OA OA ，则:(ABCD A B C D
S S 四边形四边形
)
A ．1:9
B ．1:3
C ．1:4
D ．1:5
【解析】
四边形ABCD 与四边形A B C D 位似，
四边形ABCD ∽四边形A B C D ， //AD A D ，
OAD ∽△OA D ， ::1:3OA O A
AD A D
，
:1:9ABCD A B C D
S S 四边形四边形．
故选：A ．
8．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起， 测得影长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶( ) A ． 0.5m
B ． 0.55m
C ． 0.6m
D ． 2.2m
【解析】 设手臂竖直举起时总高度xm ，列方程得： 1.70.85
1.1
x ， 解得 2.2x ， 2.2 1.7
0.5m ，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m ． 故选：A ．
9．如图，在ABC 中，//DE BC ，
1
2
AD DB
，则下列结论中正确的是( )
A ．12
AE AC B ．12
DE BC
C ．
13
ADE ABC 的周长的周长 D ．
13
ADE ABC 的面积的面积
【解析】//DE BC ，
ADE ABC ∽， AD AE DE
AB
AC
BC
， 12
AD DB
， 13
AD AE DE AB AC BC ， 故A 、B 选项均错误；
ADE ABC ∽， 13
ADE AD ABC AB
的周长的周长
，2
1()9
ADE AD ABC AB
的面积的面积
， 故C 选项正确，D 选项错误． 故选：C ．
10．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB ，3CD
，那么EF 的
长是( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．45
【解析】AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，
////AB CD EF ，
DEF DAB ∽，BEF BCD ∽，
EF DF AB
DB ，EF BF
CD BD ， 1EF EF DF BF BD AB
CD
DB
BD
BD
．
1AB ，3CD ，
11
3
EF EF ，
34
EF
． 故选：C ．
二、填空题：（本题共7个小题，每小题3分，共21分） 11．若
253a b b
，则a b b
14
3
． 【解析】
25
3
a b b ， 523a b ， 51123
3
a b
， 11
113a b
， 即
143a
b b
． 故答案为：143． 12．如果(0)a c e k b
d
f
b
d
f
，且3()a
c
e
b
d
f ，那么k
3 ．
【解析】
3()a c e b d f ，
由等比性质，得3a a c e k b b d f
，
故答案为：3．
13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k 1
3
． 【解析】
一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，
较小三角形与较大三角形的相似比6118
3
k ． 故答案为：1
3
．
14．在ABC 中，12AB cm ，18BC cm ，24AC cm ，另一个与它相似的△A B C 的周长为18cm ，则△
A B C 各边长分别为 4cm ，6cm ，8cm ．
【解析】△A B C ABC ∽，
△A B C 的周长：ABC 的周长
:A B AB ，
在ABC 中，12AB cm ，18BC cm ，24AC cm ，
ABC 的周长为：54cm ，
△A B C 的周长为18cm ， 1:::3
A B AB
A C AC
B C BC
， 4A B cm ，6B C cm ，8A C cm ．
故答案为：4cm ，6cm ，8cm ．
15．如图，一束光线从点(3,3)A 出发，经过y 轴上点C 反射后经过点(1,0)B ，则光线从点A 到点B 经过的路径长为 5 ．
【解析】如图所示，
延长AC 交x 轴于B ．则点B 、B 关于y 轴对称，CB CB ．
作AD x 轴于D 点．则3AD ，314DB ．
5AB
AC
CB
AC
CB
．
即光线从点A 到点B 经过的路径长为5．
16．如图，在ABC 中，//DE BC ，
2
3
DE BC ，ADE 的面积是8，则ABC 的面积为 18 ．
【解析】解；在ABC 中，//DE BC ，
ADE ABC ∽． 23DE BC ， 2
224()()3
9
ADE ABC
S DE S BC
， 849
ABC
S
， 18ABC
S
，
故答案为：18．
17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC ，
AE 与BD 交于点F ，则AFD 与
四边形DFEC 的面积之比是 9:11 ．
【解析】设CE
x ，BEF
S
a ，
CE x ，:2:1BE CE ， 2BE
x ，3AD
BC
CD
AD
x ；
//BC AD EBF ADF ，
又BFE
DFA ；
EBF ADF ∽ 2
2
24
:(
)(
)39
BEF
ADF
BE x S
S
AD
x ，那么9
4
ADF
S a ． BCD
BEF
ABE
ADF
ABCD
EFDC
S
S
S S S
S
正方形四边形，
22
91
9
9322
2
4
x a
x x x a ， 化简可求出2
5
6
x a ； 299911
:::9:1142
44
AFD
DFEC
S
S a x a
a a 四边形，故答案为9:11．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且6a dm ，3b dm ，3
2
d
dm ，求线段c 的长度． 【解析】根据题意，
a
c
b
d
，即6
332
c ， 解得：3c ，
答：线段c 的长度为3dm ． 19．若
4312x y x y
，求y
x
的值． 【解析】431
2
x y
x y
， 86x y x
y ，
5
7
x
y ，
7557
y y x
y ．
20．已知a 、b 、c 是ABC 的三边，且满足438
3
2
4
a b c ，且12a b c ，请你探索ABC 的形
状． 【解析】令
4
3
8
324a b c k ．
4
3a
k ，32b k ，84c k ，
34a k ，23b k ，48c k ．
又12a b c ， (34)
(23)
(48)
12k
k
k ，
3k ．
5a ，3b ，4c ．
ABC 是直角三角形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD
CD
BD
． （1）求证：ACD CBD ∽； （2）求ACB 的大小．
【解析】（1）证明：CD 是边AB 上的高，
90ADC CDB ，
AD CD
CD
BD
． ACD CBD ∽；
（2）解：
ACD CBD ∽，
A
BCD ，
在ACD 中，90
ADC
，
90A
ACD
，
90BCD ACD
， 即90ACB
． 22．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，AE ED ，14
DF DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G ．
（1）求证：ABE DEF ∽；
（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．
【解析】（1）证明：
ABCD 为正方形， AD
AB DC BC ，90A D ， AE ED ， 12AE AB
， 14DF DC ， 12DF DE ， AE DF AB DE ， ABE DEF ∽； （2）解：ABCD 为正方形， //ED BG ， ED DF CG CF
， 又14DF
DC ，正方形的边长为4， 2ED
，6CG ， 10BG BC CG ．
23．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m 、20m 梯形空地上种植种植花木，如图： （1）他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为8元2/m ，当AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满BMC 地带所需费用．
（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元2/m 、10元2/m ，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？
【解析】（1）四边形ABCD 是梯形，
//AD BC ，
MAD MCB ，MDA MBC ，
AMD CMB ∽，
:(10:20AMD BMC S S 2
)1:4．
种植AMD 地带花费160元，单价为8元2/m ，
220AMD S m ，
2
80CMB S m ， BMC 地带所需的费用为880640（元)；
（2）设AMD 的高为1h ，BMC 的高为2h ，梯形ABCD 的高为h ．
1110202AMD S h ，
14h ， 2120802BCM S h ，
28h ， 1
2ABCD S AD BC h 梯形
1
(1020)(48)2
180．
2
180208080()AMB DMC S S m ，
16064080121760（元)，
16064080101600（元)，
应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患
的情况下，先在河岸边选择了一点B （点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 1.7AB 米；
②小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得9.6BE
米，小明的眼睛距地面的距离 1.2CB 米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？
【解析】由题意得，BAD BCE ，
90ABD CBE ， BAD BCE ∽，
BD AB BE CB ， 1.79.6 1.2BD ，解得13.6BD ．
答：河宽BD 是13.6米．
25．如图，已知在ABC 和EBD 中，52
AB
BC AC EB BD ED ． （1）若ABC 与EBD 的周长之差为60cm ，求这两个三角形的周长．
（2）若ABC 与EBD 的面积之和为2812cm ，求这两个三角形的面积．
【解析】（1）52AB BC AC EB BD ED ， ABC DBE ∽， ABC 的周长：EBD 的周长5
2，
设ABC 的周长为5k ，EBD 的周长为2k ， 5260k k ， 20k ， ABC 的周长100cm ，EBD 的周长40cm ； （2）52AB BC AC EB BD ED ， ABC DBE ∽， 2525()24ABC DBE S S ，
ABC 与EBD 的面积之和为2812cm ， 2581270029ABC S ， 4
81211229EBD S ．。