2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.2

1.2 不等式
【课时作业】
1．集合M ＝{x |x 2
－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，假设M ∩N ＝{x |6<x <n }，那么m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14
D ．16
解析： M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，应选C.
答案： C
2．假设a <b <0，那么以下不等式错误的选项是( ) A.1a >1b
B ．
1a －b >1a
C ．|a |>|b |
D ．a 2
>b 2
解析： 因为a <b <0，所以1a >1
b
，故A 对．
因为a <b <0，所以0<－b ，a <a －b <0， 所以1a >1a －b
，故B 错．
因为a <b <0，所以－a >－b >0，即|－a |>|－b |， 所以|a |>|b |，故C 对． 因为a <b <0，所以－a >－b >0，
所以(－a )2
>(－b )2
，即a 2
>b 2
，故D 对． 答案： B 3．a ∈R ，不等式
x －3
x ＋a
≥1的解集为p ，且－2∉p ，那么a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)
B ．(－3,2)
C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析： ∵－2∉p ，∴－2－3
－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.
答案： D
4．(2021·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，那么( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤3
2
时，(2,1)∉A
解析： 假设点(2,1)∈A ，那么不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＋1>4，
2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧
a >32，
a ≥0，
解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤3
2
⇒点(2,1)∉A 成立．
应选D. 答案： D
5．(2021·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，那么关于
x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )
A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B ．(1,3)
C ．(－1,3)
D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析： 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．应选C.
答案： C
6．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －4≤0，－2≤x <2，
y ≤1，
假设z ＝2x －y ，那么z 的取值范围是
( )
A ．[－5,6)
B ．[－5,6]
C ．(2,9)
D ．[－5,9]
解析： 作出可行域如图中阴影局部所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，并平移，可知当该直线经过点A (－2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5，当该直线经过点B (2，－2)时，z ＝2×2＋2＝6，由于点B 不在可行域内，应选A.
答案： A
7．在平面直角坐标系中，假设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面
区域的面积等于2，那么a 的值为( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
解析： 如图，阴影局部即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的区域，而ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，那么可行域不是一个封闭区域，当a ＝1时，面积是1；a ＝2时，面积是3
2
；当a ＝3时，面积恰好为2，应选D.
答案： D
8．要制作一个容积为4 m 3
，高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是( )
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
解析： 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，由题意知，体积V ＝4 m 3
，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2
，设底面矩形的一条边长是x m ，那么另一条边长是4x
m ，又设
总造价是y 元，那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋8x ≥80＋20
2x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8
x
，
即x ＝2时取得等号．
答案： C
9．(2021·江西九江二模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －a ≤0，x ＋y －2≥0，
2x －y ＋2≥0，假设z ＝
y －1
x ＋3
的最大值为1，那么z 的最小值为( ) A ．－13
B ．－37
C.13
D ．－15
解析： 作出可行域如图中阴影局部所示，目标函数z ＝
y －1
x ＋3
的几何意义是可行域内的
点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故
2a ＋2－1
a ＋3＝1，解得a ＝2，那么C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－1
5.应选
D.
答案： D
10．(2021·湖北省五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 原料限额 A (单位：吨) 3 2 12 B (单位：吨)
1
2
8
A.15万元 B ．16万元 C ．17万元
D ．18万元
解析： 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，那么有⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，
z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影局部所示，由图形可知，当直线z ＝
3x ＋4y 经过点M (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18，应选D.
答案： D
11．假设两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n
12<0有解，那么实数n
的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1
B ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)
C.()1，＋∞
D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析： 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n 12<0有解，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 4min <n 2
＋13n 12，因为x >0，y >0，
且13x ＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥13
12＋2
3x
y ·y 12x ＝25
12
，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2
＋13n 12－2512>0，解得n <－2512或n >1，所以实数n 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫
－∞，－2512
∪(1，＋∞)，应选B.
答案： B
12．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
假设y ≥kx －3恒成立，那么实数k 的
取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－115，0
B ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，113
C ．(－∞，0]∪⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫115，＋∞
D ．⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)
解析： 由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
作可行域如图，
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
x ＋y ＝0，解得B (3，－3)．
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0，
x －y ＋5＝0，
解得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，52.
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
－3≥3k －3，52
≥－5
2k －3，解得－11
5
≤k ≤0.
所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－115，0.
答案： A
13．不等式1
2x －3
>0的解集为________．
解析： 由题意知2x
－3>0，所以x >log 23，即不等式1
2x
－3
>0的解集为(log 23，＋∞)． 答案： (log 23，＋∞)
14．(2021·南昌市摸底调研)函数y ＝x ＋m
x －2
(x >2)的最小值为6，那么正数m 的值为
________．
解析： ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋m
x －2
＋2≥2x －2·m
x －2
＋2＝2m ＋2，当x
＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋
m
x －2
(x >2)的最小值为6，即2m ＋2＝6，解得m ＝4.
答案： 4
15．(2021·北京卷)假设x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，那么2y －x 的最小值是________．
解析： 由条件得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≤y ，
y ≤2x ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，
如图阴影局部所示． 设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋1
2
z ，
作直线l 0：y ＝1
2x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1
＝3.
答案： 3
16．定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，x <y ，
y ，x ≥y ，
那么不等式min ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x
，4≥8 min ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ，1x 的解集是
________．
解析： 因为min ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x ，4＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
4，x >0，x ＋4
x
，x <0，
min ⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ，1
x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ≤－1，
1x ，－1<x <0，x ，0<x ≤1，
1x ，x >1，
所以当x >1时，由4≥8
x
得x ≥2；
当0<x ≤1时，由4≥8x ，得0<x ≤1
2；
当x ≤－1时，由x ＋4
x
≥8x ，得x ≤－1；
当－1<x <0时，由x ＋4x ≥8
x
得－1<x <0.
综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案： (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞)。