小学数学统计以及概率

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小学数学统计与概率
一、数据剖析看法的内涵
在实验稿《课标》中“统计看法”是核心看法，此刻为何更名为“数据剖析看法”呢？
在《不列颠百科全书》中对于统计学是这样定义：统计学是对于采集和剖析数据的科学和艺术。

确实，统计学的一个研究对象是数据，它是经过采集数据，以及对数据的剖析来帮我们解决问题的。

在义务教育阶段我们办理的数据都是有实质背景的，正如课表组组长史宁中教授所述：“数据是信息的载体，这个载体包含数，也包含语言、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都组成数据，而统计学就是经过这些载体来提守信息进行剖析的科学和艺术。

”
可见，统计学的一个核心是数据剖析，实验稿中叫统计看法，此刻叫数据剖析看法，这两点并无实质性的不同，而是用这样的语言更为点出了统计的核心就是数据剖析让人了如指掌。

数据剖析看法的内涵
在课标中间，对于数据剖析看法，有这样的描绘：认识在现实生活中有很多问题应当先做检查研究，采集数据，经过剖析做出判断，领会数据中蕴涵着信息；认识对于相同的数据能够有多种剖析的方法，需要依据问题的背景选择适合的方法；经过数据剖析体验随机性，一方面对于相同的事情每次采集到的数据可能不同，另一方面说明只需有足够的数据便可能从中发现规律。

数据剖析是统计的核心。

如何发展学生的“数据剖析看法”？
第一，就是让学生去经历这个数据剖析的过程，领会数据中包含的信息。

比如，清华隶属小学安华老师执教的一年级《统计》。

安老师为学生提
供了四部动画片，选出大家最喜爱看的一部进行播放。

学生的想法各不相同，这可怎么办呢？老师启迪学生自己去想方法，让学生感悟到我们是为认识决问题而来做统计的。

统计什么？如何统计呢？学生从头至尾都在思虑取，他们最初想到举腕表决，却没有正确统计出结果，而后又持续想方法，有的学生说站起来这样数的更清楚了，还有说在小组内去统计，而后我们再汇总，最后大家都一致到用
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投票表决的方法来统计。

当数据统计上来此后，如何让学生领会数据中包含的信息呢？安老师让学生利用数据来推测，看哪部动画片，要用数据来说话。

恰好当时这个班正好有一个孩子是告假没来，老师提出问题：假如这名同学也来投票表决，仍是去看“多啦A梦”吗？学生依据数据利用简单推理也做出了判断。

第二，鼓舞学生掌握数据剖析的方法，依据问题的背景能选择适合的方法。

比如，体育课上11名男同学
100米跑的成绩：13秒217
秒
13
秒
5
15秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。

均匀数：15秒6，中位数：16秒6
（1）假如选择参加一项竞赛，希望有一半的男同学能够参加，选择哪个成绩作为标准？
（2）假如希望确立一个较高的标准，选择哪个成绩作为标准？（答案不唯
一）
（3）假如要确立一个标准，你如何确立？为何？
第三，经过数据剖析，让学生感觉数据的随机性。

史宁中说：“统计与概带领域的教课重点是发展学生的数据剖析意识，培育学生的随机看法，难点在于，如何创建适合的活动，表现随机性以及数据获取、剖析、办理从而作出决议的全过程。

”
比如：上学时间。

学生记录自己在一个礼拜内每日上学途中所需要的时间，假如把记录时间精准到分，可能学生每日上学途中需要的时间是不相同的，能够让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟固然数据是随机的，但数据许多时拥有某种稳固性，能够从中获取好多信息，比方，经过一个礼拜的检查能够知道“大概”需要多少时间。

为何我们要在统计概率教课中，把数据剖析看法作为一个核心看法呢？能够从标准解读中对核心看法的价值进行剖析。

在标准解读中，提出了四个方面的价值。

第一，它们是学生在义务教育阶段
数学课程中最应培育的数学修养，是促使学生发展的重要方面(教育价值)；第二，核心看法常常是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们掌握课程内容的线索和层次，抓住教课中的重点；第三，核心看法实质上表现的是数学的基
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1.本思想；第四，这些核心看法都是数学课程的目标点，也应当成为数学讲堂教课
的目标，并经过教师的教课予以落实。

二、统计与概率的内容变化及主线剖析
（一）新课标中对于“统计与概率”的内容标准
《标准》中有关“统计与概率”的内容标准
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2．剖析调整原由
“统计与概率”内容构造做了较大调整，使三个学段内容学习的层次性更为明确。

重申培育数据剖析看法，与学生的现实生活联系得更为密切。

内容构造上，
三个学段有较大的差异。

第一学段内容大减少，只保存3条要求。

主假如学会分类、会进行简单的数据采集与整理的；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现
象发生的可能性”两部分，共8条；第三学段分为“抽样与数据剖析”和“事件的
概率两部分”，共11条。

这样调整的原由在于，在实验过程中本来第一学段对于统
计与概率内容的要求，依照学生现有的理解水平，学习有必定困难，教课方案与实
行有很大难度。

同时，在内容上与后边两个学段有很大的重复。

所以，较大幅度降
低了第一学段统计与概率内容的要求，对后两个学段的内容也
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点，要求能够有所不同。

希望学生把每年丈量身高的数据都保存下来，养成保存资料的习惯。

在第一学段，主要让学生感悟能够从数据中获取一些信息。

教课中能够作以下设计：
1）指导学生将全班同学的身高进行汇总。

2）从汇总后的数据中发现信息。

比方，最高（最大值）、最矮（最小值）、
（相差多少（极差），大多数同学的身高是多少（众数）等。

在议论过程中，括号中的有些名词其实不需要出现，可是希望学生领会数据所代表的意义。

3）在整理中，能够让学生试试创建灵巧的方法。

比如，找寻最高，可
以直接比较找寻，当学生人数比许多时，也能够分组找寻组内最高，而后在每组
的最高中找寻最高；在考虑次序问题时，学生可能会有不同的排序方法。

比如，
先找到最小（大）的，而后在节余的数中再找到最小（大）的，挨次将这些数按
从小（大）到大（小）的次序进行排序；或许先固定一个数，拿第二个数与之比
较，而后取第三个数与前两个数比较，依据它们之间的大小关系决定地点，这样
持续下去，最后将这些数排序。

不论学生的出发点如何，只需思路清楚、排序正
确即可。

第二学段（《标准》例38）：对全班同学的身高的数据进行整理和剖析。

[说明]在上边的例子中，已经指引学生对全班同学的身高的数据进行初
步剖析。

在这个学段中，要修业生联合从前累积的身高数据，进前进一步的整理，
而后进行剖析。

整理的目的是为了便于剖析，比如，条形统计图有利于直观认识
不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观认识不同高度段的学生占
全班学生的比率及其差异；折线统计图有利于直观认识几年来学生身高变化的状
况，展望将来身高变化趋向。

学生还能够议论用什么数据来代表全班同学的身高，
自己的身高在全班的什么地点。

教课方案时，能够关注以下重点：
1）组织学生议论并明确画统计图的基本标准。

假如学生建议不一致，能够依据建
议的不同把学生疏组，各自画出统计图后进行比较。

2）能够把几年来全班同学均匀身高的数据画出折线统计图，让学生与自己身高数
据的折线图进行剖析比较。

还能够对男女生的身高数据进行剖析和比较。

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3）组织学生议论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么地点。

学生能够用均匀身高作为代表，用自己的身高与均匀身高进行比较；能够用出现次数最多的身高作为代表（“众数”的意义），用自己的身高与其对比；也能够用班级中等水平学生的身高作为代表（“中位数”的意义），用自己的身高与其对比。

学生只需能说出自己的原由就能够，不需要出现“众数”“中
位数”等名词（只需讨教师理解，不要求给学生解说）。

4）固然数据整理和剖析的方法能够有所不同，但要求剖析的结论清楚，能够更好地反应实质背景。

第三学段：比较自己班级与其他班级同学的身高状况。

[说明]对于两个班级学生身高状况比较，往常能够经过均匀值来判断，
但有时只是经过均匀数是不够的，假如一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即便前一个班的均匀高一些，也不可以说这个班的整体状况很好。

所以，在判断身高状况时，不单要看均匀值，还需要参照方差。

相同的一个内容，在不同的年级能够有不同的要求，第一学段，要求的难度，就是在提守信息的数目上，要求其实不是特别的高，重点是让他意识到，感悟到数据是信息，那么到了第二学段，显得这个要求又有所变化了，总之要让学生经历数据的采集、整理、描绘、剖析的过程，要亲身参加此中。

三、数据剖析的方法
1．采集数据的方法
在采集数据的方法中我们要掌握这么几点：第一点就是我们所波及的数据，
可能是全体数据，或许我们说整体数据，也可能是经过抽样获取的数据，抽样数
据，在小学阶段，学生采集的基本上都是整体数据。

第二个就是数据的根源，其实是有两种，一种就是阅读他人现成的数据，
比方说报刊资料上等等的数据，还有一点就是需要自己的检查的数据，对于小学
来说除了要看他人的数据特别重要，也要自己要做一些检查数据，在这方面好多
老师都有特别好的经验和设计好的例子，比方我看到一些讲堂中，老师们引入了
让一年级的孩子来统计换乳牙的状况，或许让有些同学来统计看电视的时间等等，值得注意的是假如我们让学生去采集自己检查的数据，必定要教给他们一些方法，比方说我曾看到，有的学生其实不知道什么叫乳牙，他也不知道看电视的时
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间应当怎么统计，所以这样以来呢，报出来的数据就不够真切，是比影响统计的成效，那我们能够安排一些活动，让学生在老师的指导下，或许在家长的帮助下，让他往来检查，这样会更好。

常用的采集数据的方法包含这么几方面：检查的方法、实验的方法、丈量的方法、
查阅资料的方法等等。

总而言之，学生应当对采集数据的方法有一个比较丰富的体
验，《课标》不论在第一学段仍是第二学段都提出了这样的要求，比方
说在第一学段课标是这样说的，要认识一些检查、丈量等采集数据的简单方法。

那么
有的老师说这两个仿佛也没有太大差异，其实严格意义上都是学生自己去做，自然我
们能够这么理解，检查就是学生去问问自己的伙伴，那么丈量呢，比
如说我们能够量量这个课桌有多长，我们量量我们班的课桌大概上都是多长，包含
我们在前方举过的上学时间都能够理解是丈量。

在第二学段，明显又进了一步，要
修业生能够自己来设计简单的检查表，这跟第一学段对比有进一步的提升，并且能
够选择适合的方法了，就不只是是认识了，在选择方法中包含了我们说的检查，能
够做一些丈量，还能够做一些试验，比方说我们本来必定做过的物理试验，或许说
呢有的课上这样让学生做试验，反弹高度，就不同高度抛一个球，必定开端高度越
高，反弹高度一般状况下都会高，那么究竟是什么关系呢，这时候经过试验来获取
一些数据。

这三点都是学生能够自己获取的。

自然我们也要让学生认识现成的数据，也就是从报刊、杂质、电视等等媒体中呢，存心识的获取一些数据，那么总而言之
应当对采集数据的方法有比较丰富的体验。

2．整理、描绘、剖析数据的方法
当人们采集了一堆数据此后，这些数据常常看起来比较凌乱，这就需要来整理数据，在不损失期息的前提下，对看起来凌乱无章的数据进行必需的概括和整理，而后把
整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适合的剖析，为人们作出决
议和推测供给依照。

常用的采集数据方法包含检查、试验、丈量、查阅资料等。

学生应当对采集数据的
方法都有比较丰富的体验。

为此，《标准》在第一学段提出“认识检查、丈量等采
集数据的简单方法”；在第二学段提出“会依据实质问题设计简单的检查表，能选
择适合的方法（如检查、试验、丈量）采集数据”“能从报纸杂志、电视等媒体中，存心识地获取一些数据信息”。

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在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常有的统计图，并且能用它们直观、有效地表示数据。

第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋向的统计量——均匀数。

统计图能够很直观反响数据，学生对统计图中数据的剖析以及展望都是数据
剖析看法的重要表现。

对于统计图的学习，提出几点需要注意的：第一，不要急于引入正规统计图的学习，在第一学段《标准》要求鼓舞学生用自己的方式来描绘数据。

第二，在描绘数据的过程中，使学生不停领会各样统计图的特色，能依据实质问题选择适合的统计图来描绘数据。

第三，鼓舞学生读懂媒体中的一些统计图表。

第四，鼓舞学生从统计图中获取尽可能地实用信息。

这个问题也是大家广泛疑惑的，究竟指引学生从哪些方面来“读图”呢？
Curcio(1987)把学生对统计图的认识分为三个水平：（1）数据自己的
读取（readingthedata），包含用能够获取的信息往返答详细的问题，这些
问题图表中有明显的答案。

(2)数据之间的读取（readingbetweenthe
data）。

这包含做比较(比如比较好、最好，最高、最小等)和对数据进行操
作(比如加减乘除)。

(3)超越数据自己的读取（readingbeyondthe
data），包含经过数据来进行推测展望推理，并回答详细的问题。

在实质教课中，教师已经开始重视鼓舞学生试试由信息来进行展望。

可是，
在教课中还存在了一些误区。

比方，以前有过这样的案例：如图2，教师鼓舞
学生依据某女生出生到12岁的身高，由此去展望这个学生15岁的身高（图2
到图7中纵轴的身高单位为厘米）。

有的学生（固然是极少量）离开了数据去进行“展望”：“我感觉她应当能长
到190厘米，由于我希望她去打篮球”。

就是鉴于数据，学生也有八门五花的
答案，有的说：“8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，
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照这个趋向12到14岁要长30多厘米，我预计她到15岁要到2米了”；
有的说：“8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，12岁
到14岁又会回到长10厘米，我预计她到15岁快到180厘米”；还有的说：“到12岁就不怎么长了，我预计她到15岁差不多170厘米。

”面对八门五花的答案，教师也感觉都有道理，不知如何指引。

这里需要注意两点。

第一，展望需要鉴于数据。

对于离开数据进行“展望”
的学生，要指引他用数听说话，固然这个展望也有可能，但可能性不会大；第二，有时为了更合理地展望，需要我们采集更多的数据。

教师能够指引学生思虑：
几个学生的想法都有道理，可是要比较合理地展望，还需要我们掌握更多的信息，比方，能够采集以前和她差不多状况的人15岁的身高来帮助展望；或许把她与当地女生均匀身高进行对照，看看12岁与
均匀身高的对照状况，由此展望15岁与均匀身高的对照状况。

自然，不论哪一种展望都不可以必定是
正确的，但会比纯真依赖这个学生从前的状况进行展望要合理。

进一步，假如条件赞同的话，还能够鼓舞学生实质去做。

在这样的思虑下，一位老师做了以下的设计：依据统计图来进行“三次”展望。

第一次，教师表现小婷（女生）出生到12岁的身高数据（如图2），鼓舞学生展望她15岁的身高。

和
前方表达的相同，学生鉴于这个数据给出了不同答案。

教师没有就此结束，而是给出了小婷15岁的身高，惹起学生的反省：“实质上，小婷今
年已经15岁了，她的身高是168厘米”，并获取图3。

在此基础上再鼓舞学生展望小婷18岁的身高。

学生发现小婷12—15岁
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增加的幅度不大，由此推测15—18岁增加的幅度也会不大。

那么是这样吗？
有的学生提出能够找一些和小婷状况差不多的女孩，看看她们18岁时的身高。

依据学生的想法，教师表现了以下三个女生的身高（如图4，图5，图6）
鼓舞学生进行第二次展望。

学生发现固然她们的身高详细数值不同，但15—18岁变化趋向却比较一致，增加的幅度都不大，由此能够展望小婷到18岁很可能只比15岁时增加2厘米左右，即她18岁的身高在170厘米左右。

还有的同学发现小婷的身高值与图6所表示的女生比较靠近，并且比这个女生略矮一些，由此依据这个女
生18岁171厘米展望小婷170厘米。

进一步，有的学生提出只有这三个女生的数据能否太少了，不说明一般状况，还能够采集更多的数据。

于是，教师给出了北京城市女生均匀身高统计图（如图7），鼓舞学生进行第三次展望。

学生发现这组数据也有这个趋向：15到18岁的身高增加的不多，由此展望小婷的身高是170厘米左右。

有的学生则依据15岁时小婷的身高比均匀身高多6厘米，由此预计小婷18岁时也要多6厘米，所以是169厘米左右。

自然，这些展望也其实不可以保证必定正确。

以上“三次展望”的案例是鼓舞学生从数据中获取合理信息的有利试试，在实践中我们还需要更多的案例，以及如何鼓舞学生有效获守信息的策略，这也组成了需要进一步研究的问题。

教课中应鼓舞学生运用所学习的方法，尽可能多地
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从数据中提取实用的数据，并且能够依据问题的背景选择适合的方法，而不是单
纯地名词、计算方法等的掌握。

需要我们依据问题的背景选择适合的统计图。

总之，“统计学对结果的判断标准是‘利害'”，而不是“对错”。

3．对于统计教课的几点建议
（1）发展学生的应意图识，感觉统计的价值。

（2）教师要重视统计，并把发展学生的数据剖析看法的培育作为重要的教
学目标。

（3）切忌将统计的学习办理成纯真数字计算和画图技术。

四、数据的随机性及简单随机事件发生的可能性
1．数据随机性的内涵
数据的随机性主要有两层涵义：一方面对于相同的事情每次采集到的数据可能会是不同的；另一方面只需有足够的数据便可能从中发现规律。

老师们存在这样的疑惑：概率也是研究随机现象的，那么为何又提出数据的随机性呢？
对于这个问题，史宁中教授这样回答：我听了一些课，老师们常常这样处
理：比方对于掷一枚均匀的硬币，先获取出现正面或反面的概率是1/2，而后让学生经过频频掷硬币去考证这个结果。

这里有两个问题。

第一，一个硬币，先
假设它出现正面和反面的可能性是1/2，这是数学（或许称为概率）。

这个1/2是经过概率的
定义获取的，不是依赖掷硬币考证出来的。

实质上，学生做了好多次实验也得不到1/2，反而更为糊涂了。

第二，运用定义的方式教课随机，不可以很好的培育学生的随机看法。

需要指出的是，我们同意做实验，同意运用统计的思想来做实验。

统计是经过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。

相同是掷硬币的问题，在统计上就会这样设计实验：先让学生多次掷硬币，计算
出现正面的比率（频次），而后用频次来预计一下出现正面的可能性是多大。

如
果这个可能性靠近1/2的话，就推测这个硬币大概是均匀的，这是统计的思想。

2．合理设计实验，领会数据的随机性
《标准》中提出了“领会数据随机”的想法，如安在讲堂中设计合理的实验
落实“领会数据随机”的目的呢？一个好的切入点是对当前讲堂教课中的实验加
以剖析，看看哪些实验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思虑和改良。

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第一类：“考证”类
下边是一个五年级的讲堂教课片段：
老师取出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。

假如从中随意摸出1
个球，可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？
(学生略做思虑后交流。

)
生1：可能摸到白球，也可能是黄球。

生2：摸到白球的可能性是9/10，由于有10个球，此中9个是白球。

（大家都表示赞同）
师:好，下边就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，考证一下大家的想
法。

本活动的目的是考证摸到白球的概率能否为9/10，如前所述是不倡导的。

由于学生完整能够经过剖析推理获取摸到白球的概率，他们产生不了做实验的需求。

假如做了实验，摸到白球的频次常常不是
9/10，学生反而产生疑惑，自然也领会不到数据的作用了。

第二类：“领会随机”类
看下边的一个二年级的讲堂教课片段：
组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。

每次摸出1个，摸从前先猜猜你会摸到什么颜色的球?每次你都猜对了么?
活动结束时，老师咨询:有没有每次都猜对的同学?(全班只有2人举
手。

)
师:为何我们那么多的同学都没有猜对呢?
(此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。

)
生1:黄球和白球摸在手里的感觉不相同!
师:(饶有兴趣地)真的吗?让我们见解一下!
生1:(摸出一球，没看前猜想)黄色!(取出后是白色，生1低头坐了下去。

)
师:怎么不试了?
生1：没有信心了。

师:怎么就没有信心了?
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