人教A版高中数学必修第二册第8章 直线与平面垂直的性质

的母线所在直线平行．故选 B．
知识点二 直线、平面间的距离 1．直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上_任__意__一__点_到这个平面的 距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平 面的距离都_相__等_，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
符号语言
ab⊥ ⊥αα，⇒_a∥__b_
图形语言
作用
①直线与平面垂直⇒直线与直线平行；②作平行线
[微训练]
从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一
个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
B 解析：由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱
知识衔接 自主学习
(1)一般地，如果直线 l 与平面 α 内的任__意__一__条__直线都垂直，我们 就说直线 l 与平面 α 互相垂直．
(2)如果一条直线与一个平面内的两__条__相__交__直线垂直，那么该直 线与此平面垂直．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平__行__
提示：是． 探究 4：垂直于同一条直线的两个平面是否平行？ 提示：是．
【例 2】如图所示，四边形 ABCD 为正方形，SA⊥平面 ABCD，过 点 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB，SC，SD 于点 E，F，G．求证：AE⊥SB．
证明：因为 SA⊥平面 ABCD， 所以 SA⊥BC． 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AB⊥BC． 因为 SA∩AB＝A，所以 BC⊥平面 SAB． 因为 AE⊂平面 SAB，所以 BC⊥AE． 因为 SC⊥平面 AGFE，所以 SC⊥AE．
02
任务驱动式课堂
任务一 任务二 任务三
对直线与平面垂直的性质定理的理解
1．已知 m，n 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，给 出下列命题：
①mm⊥ ⊥αn， ⇒n∥α；②mn⊥⊥ββ， ⇒m∥n；
③mm⊥ ⊥αβ，
m⊂α，
⇒α∥β；④n⊂β， α∥β
⇒m∥n．
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．③④
C．①②
D．①②③④
A 解析：①中 n 与 α 平行或 n 在平面 α 内；②③正确；④直线 m，n 平行或异面．故选 A．
2．已知 l，m，n 是三条不同的直线，α 是平面．下列命题中，
正确命题的个数为( )
①若 l∥m，m∥n，l⊥α，则 n⊥α；
②若 l∥m，m⊥α，n⊥α，则 l∥n；
【类题通法】 直线与平面垂直的其他性质
(1)若一条直线垂直于一个平面，则它就垂直于这个平面内的任 意一条直线；
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于 这个平面；
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另 一个平面；
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行．
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形，AE⊥PD 于点 E，l⊥平面 PCD，求证：l∥AE．
3．如图，已知 AF⊥平面 ABCD，DE⊥平面 ABCD，且 AF＝DE， AD＝6，则 EF＝6_．
解析：因为 AF⊥平面 ABCD， DE⊥平面 ABCD，所以 AF∥DE． 因为 AF＝DE，所以四边形 ADEF 是平行四边形． 所以 EF＝AD＝6．
直线与平面垂直性质定理的应用
【例 1】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 EF 与直线 AC，A1D 都垂直相交．求证：EF∥BD1．
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③若 l∥α，l⊥m，则 m⊥α．
A．1
Hale Waihona Puke B．2C．3D．0
B 解析：对于①，因为 l∥m，m∥n，所以 l∥n．又 l⊥α，所 以 n⊥α，故①正确．对于②，因为 m⊥α，n⊥α，所以 m∥n．又 l∥m， 所以 l∥n，故②正确．对于③，因为 l∥α，l⊥m，所以 m∥α 或 m⊂ α 或 m⊥α 或 m 与 α 斜交，故③错误．
又因为 BC∩SC＝C，所以 AE⊥平面 SBC． 而 SB⊂平面 SBC，所以 AE⊥SB．
如图，PA⊥平面 ABD，PC⊥平面 BCD，E，F 分别为 BC，CD 上的点，且 EF⊥AC．求证：CCDF＝CCBE．
证明：因为 PA⊥平面 ABD，PC⊥平面 BCD， 所以 PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF． 又 PA∩PC＝P，所以 BD⊥平面 PAC． 又 EF⊥AC，PC∩AC＝C，所以 EF⊥平面 PAC，所以 EF∥BD， 所以CCDF＝CCEB．
结合直线与平面垂直的有关知识，探究下面问题． 探究 1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它是否垂直于这个 平面内的任意一条直线？ 提示：是．
探究 2：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面吗？
提示：是．
探究 3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也 垂直于另一个平面吗？
2 (2)直线 A1A 到平面 D1DBB1 的距离为_2__a． 解析：连接 A1C1，B1D1，BD，A1C1 与 B1D1 交于点 O1，如图．
易知 A1A∥平面 D1DBB1． 因为 A1O1⊥平面 D1DBB1， 所以直线 A1A 到平面 D1DBB1 的距离等于线段 A1O1 的长． 因为 A1O1＝ 22a， 所以直线 A1A 到平面 D1DBB1 的距离为 22a．
[微训练] 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，则 (1)直线 A1A 到平面 B1BCC1 的距离为_a； 解析：因为 A1A∥平面 B1BCC1，A1B1⊥平面 B1BCC1， 所以直线 A1A 到平面 B1BCC1 的距离等于线段 A1B1 的长． 因为 A1B1＝a，所以直线 A1A 到平面 B1BCC1 的距离等于 a．
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
学习任务目标 1．掌握直线与平面垂直的性质定理． 2．能利用直线与平面垂直的性质定理解决一些垂直和平行的证明问 题．(逻辑推理) 3．了解直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念．
01
自主化知识预习
证明：因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥CD．又 CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 PAD． 因为 AE⊂平面 PAD，所以 AE⊥DC． 又 AE⊥PD，PD∩CD＝D，所以 AE⊥平面 PCD． 因为 l⊥平面 PCD，所以 l∥AE．
直线与平面垂直的判定与性质的综合应用
证明：连接 AB1，B1C，BD，如图．
因为 DD1⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， 所以 DD1⊥AC． 又 AC⊥BD，BD∩DD1＝D， 所以 AC⊥平面 BDD1B1． 因为 BD1⊂平面 BDD1B，所以 AC⊥BD1．
同理 BD1⊥B1C．因为 AC∩B1C＝C， 所以 BD1⊥平面 AB1C． 因为 EF⊥A1D，且 A1D∥B1C，所以 EF⊥B1C． 又 EF⊥AC，AC∩B1C＝C， 所以 EF⊥平面 AB1C．所以 EF∥BD1．