【全程复习方略】广东省2013版高中数学 11.6几何概型课时提能演练 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】广东省2013版高中数学 11.6几何概型课时提能演练 理 新
人教A 版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.在长为3 m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1 m 的概率是( ) (A)14 (B)13 (C)12 (D)23
2.四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点.在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )
(A)π4 (B)1－π4 (C)π8 (D)1－π8
3.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) (A)18 (B)116 (C)127 (D)38
4.(2012·河源模拟)在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sinx＋3cosx≤1”发生的概率为( ) (A)14 (B)13 (C)12 (D)23
5.(易错题)若a ，b 在区间[0，3]上取值，则函数f(x)＝ax 3
＋bx 2
＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )
(A)12 (B)33 (C)36 (D)1－36
6.已知k∈[－2,2]，则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2
＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于
( )
(A)12 (B)14 (C)3
4 (D)不确定 二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·潮州模拟)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧»AB
的长度小于1的概率为 .
8.(2012·江门模拟)设函数y ＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f(x)及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，
N).再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为 . 9.(2012·茂名模拟)平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 . 三、解答题(每小题15分，共30分)
10.甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹. (1)求空弹出现在第一枪的概率； (2)求空弹出现在前三枪的概率；
(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P ，Q ，R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小).
11.将长为1的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率. 【探究创新】
(16分)在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，求函数f(x)＝12x 3
＋ax －b 在区间
[－1,1]上有且仅有一个零点的概率.
答案解析
1.【解析】选B.由题意可设线段AB 的三等分点为C 、D ，如图，当点P 位于C 、
D 之间时满足条件，故所求概率为1
3
.
2. 【解析】选B.如图，根据几何概型的概率公式得概率为P ＝S 阴影
S 长方形ABCD ＝
2－12
π·122 ＝1－π4
.
3.【解析】选C.一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题
意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝1
27.
4.【解析】选C.∵sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π
3
)，
∴sin(x ＋π3)≤1
2
，
∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈[π3，4
3π]，
∴x ＋π3∈[5π6，43π]时，sin(x ＋π3)≤1
2成立，
此时x ∈[π
2，π]，
∴P ＝π－
π2π－0＝1
2
，故选C.
5.【解题指南】f(x) 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0且其导函数的判别式大于0. 【解析】选C.易得f ′(x)＝3ax 2
＋2bx ＋a ，函数f(x)＝ax 3
＋bx 2
＋a x
在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0且其导函数的判别式大于0，即a ≠0且4b 2
－12a 2
>0，又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a>0，b>3a ，满足点(a ，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为
32，故所求的概率是36
. 6. 【解题指南】首先由方程表示圆，求出k 的范围，再由过A(1,1)可
以作两条直线与圆x 2＋y 2
＋kx －2y －54k ＝0相切，可得点A 在圆外，由此可得k 的取值范围.
【解析】选B.∵圆的方程化为(x ＋k 2)2＋(y －1)2＝5k 4＋k 2
4＋1，∴5k ＋k 2
＋4>0，∴k<－4或k>－1.
∵过A(1,1)可以作两条直线与圆(x ＋k 2)2＋(y －1)2
＝5k 4＋k 24＋1相切，
∴A(1,1)在圆外，得(1＋k 2)2＋(1－1)2>5k
4＋k 2
4
＋1，
∴k<0，故k ∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k ∈[－2,2]，其区间长度为4，所以P ＝1
4.
7.【解题指南】本题背景是圆弧长，实质上可以转化为与长度有关的几何概型问题.
【解析】设“劣弧»AB
的长度小于1”为事件M ，则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两侧与定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝2
3.
答案：2
3
8.【解析】这种随机模拟的方法是在[0,1]内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系S S 正方形＝N 1N ，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为N 1
N
.
答案：N 1
N
【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤：
(1)用计算器或计算机产生一系列[0,1]内的随机数；
(2)经平移和伸缩变换，x ＝(b －a)x 1＋a ，y ＝(d －c)y 1＋c ，使得随机数x 的范围在[a ，b]内，随机数y 的范围在[c ，d]内；
(3)统计落在所求区域内的随机数组(x ，y)的个数N(有时需计算检验)；
(4)应用公式S ′＝N
M ·S 计算近似的面积，其中S 为相应矩形面积(b －a)×(d －c)，M 为总的随机数组(x ，
y)的个数，S ′为所求图形(往往是不规则)的面积的近似值. 9. 【解析】如图所示，不妨取两条相邻的平行线，当硬币中心
落在阴影区域时，硬币不与任何一条线相碰，故所求概率是1
3.
答案：13
10.【解析】设四发子弹编号为0(空弹),1,2,3，
(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A ，第一枪有4个基本事件，则：P(A)＝1
4
.
(2)方法一：前三枪出现“空弹”的事件为B ，则第四枪出现“空弹”的事件为B ， 那么P(B )＝P(A)，P(B)＝1－P (B )＝1－P(A)＝1－14＝3
4
.
方法二：前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有三个， 则P(B)＝34
. (3)Rt △PQR 的面积为6， 分别以P ，Q ，R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为π
2，
设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C ，P(C)＝6－12π6＝1－π
12
.
【变式备选】投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标.
(1)求点P 落在区域C ：x 2
＋y 2
≤10上的概率；
(2)若以落在区域C ：x 2
＋y 2≤10上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M.在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率.
【解析】(1)点P 的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4) ，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C ：x 2
＋y 2
≤10上的点P 的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种. 故点P 落在区域C ：x 2＋y 2
≤10
上的概率为49
.
(2)区域M 为一个边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为
25
π
. 11.【解析】设事件A 表示“3段构成三角形”，x ，y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为1－x －y ，则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x ，y)|0<x<1,0<y<1,0<x ＋y<1}，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x ＋y>1－x －y ⇒x ＋y>12，x ＋1－x －y>y ⇒y<12，y ＋1－x －y>x ⇒x<12.故
所求结果构成集合A ＝{(x ，y)|x ＋y>12，y<12，x<1
2}.
由图可知，所求概率为 P(A)＝A 的面积
Ω的面积
＝12·(12)212×12＝14.
【探究创新】
【解析】f ′(x)＝32x 2＋a ≥0，故函数f(x)＝12
x 3
＋ax －b 在区
间[－
1,1]上有且仅有一个零点等价于f(－1)·f(1)≤0，即(－12－a －b)·(1
2＋a －b)≤0，
得(12＋a ＋b)·(1
2
＋a －b)≥0， 又0≤a ≤1,0≤b ≤1，所以得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＋1
2≥0，0≤a ≤1，
0≤b ≤1，
画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋12＝0，
b ＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝1，
令a ＝0，代入a －b ＋1
2
＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝12
，a ＝0，所以阴影
部分的面积为
1－12×12×12＝7
8.所以P ＝781＝78.。