机械工程测试技术-信号与其描述

x(t ) a0 (an cos not bn sin n0t )
n 1
常值分量
1 a0 T
2 an T

T 2 T 2
x(t )dt
余弦分量的幅值



T 2 T 2
x(t ) cos n0tdt
x(t ) sin n0tdt
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2 正弦分量的幅值 bn T
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第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
机械工程测试技术基础
若把非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号
0
2 T0 d T0
jn0t
x(t )
n
Cn e

1 cn T0
1 d T0 2 2

T0 / 2
幅值
信号的频谱X(f)代 表了信号在不同频 率分量处信号成分 的大小，它能够提 供比时域信号波形 更直观，丰富的信 息。
时域分析
频域分析
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第一节 信号的分类与描述
机械工程测试技术基础
x (t) A
例：右图一个周期方波的一种时域描述形式表示为：
x(t)=x(t+nT0)
A x(t ) A 0t T - 0 t0 2 T0 2
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第一节 信号的分类与描述
机械工程测试技术基础
（2）

连续信号是其数学表示式中的独立变量取值
是连续的信号。若独立变量和幅值取连续的称 为模拟信号。

离散信号是其数学表示式中的独立变量取值
是离散的信号。若离散信号的幅值也是离散的 称为数字信号。
x(t) 连续信号 x(t) 离散信号
0
t
0
t
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x(t )
4A
1 sin t n1 n

n = 1, 3, 5,…
可见，若视 t 为参变量，以ω为独立变量，则此式即为周期方波的频域描述。 返回章目录
第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅里叶级数的三角函数展开式 在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期 函数（信号）可以展开成傅里叶级数。
第一节 信号的分类与描述
机械工程测试技术基础
(3)
x 2 (t ) x(t)-电压信号加到电阻R上,其瞬间功率为 P(t ) R
1/R为常值系数,瞬间功率正比于电压信号平方。 信号的能量为 x 2 (t ) dt
• 能量有限信号（能量信号）当
满足 时,则认为信号的能量是有限 的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。 能量是无限的，但在有限区间的平均功率是有 限的，即
量 连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所 以非周期信号的频谱是连续的。
T0 T0 设有一个周期信号x(t)在区间 2 , 2 以傅里叶级数表示为
x(t )
n
Cn e

jn0t
1 cn T0

T0 / 2
T0 / 2
x(t )e jn0t dt
第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
三、周期信号的强度表述
周期信号的强度表述方式有四种
1）峰值 峰值 x p 是信号可能出现的最大瞬时值，即
x p xt max
峰-峰值 x p p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差
2）绝对均值
1 x T0
xt dt
T0 0
an bn
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
结论: a.周期信号由许多不同频率的简谐 信号叠加而成. b.周期信号展开成傅里叶级数后,可 获得各频率分量的幅值和相位信息
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
例题:求右图周期性三角波的傅里叶级数 解：在x(t)的一个周期中可表示为
1）离散性-周期信号的频谱是离散的。
2）谐波性-每条谱线只出现在基波频率的整数倍上， 基波频率是诸分量频率的公约数。
3）收敛性-各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅 值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的 总趋势是随谐波次数的增高而减少的。因此，在频谱 分析中没必要取那些次数过高的谐波分量。
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
一般情况下
是复数
cn与 c n
共轭，即
cn cn ; n n
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
一些分析: 把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数函数形式 后，可分别以 cn 和 cn 作幅频谱图和相频谱图；也 可以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实 频谱图和虚频谱图. 总结： 复指数函数形式的频谱为双边谱（ 从 ~ ）， 三角函数形式的频谱为单边谱（ 从 0 ~ ）；两种 频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即双边幅频 谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。
正弦分量的幅值
2 bn T0

T0 2 T 0 2
xt sin n 0tdt 0
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
结果：
A 4A 1 1 xt 2 cos 0t 2 cos 3 0t 2 cos 5 0t 2 3 5 A 4A 1 2 2 cos n 0t n 1,3,5 2 n 1 n
0
T0 / 2
x ( t )e jn 0 t dt )e jn 0 t
d ( x ( t )e jt dt )e jt 2 1 j t j t x ( t ) e dt e d 2
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
2A A t T0 xt A 2A t T0
T0 t 0 2
x (t)
A
0t
T0 2
T0 2 T0 2
…
T0 2
T0
常值分量
a0
1 T0
xt dt

T0 2 0
2
… t
2 T0 A 2
2A A T t dt 0
矩形脉冲信号 指数衰减信号
通常说的非周期信号是指瞬变非周期信号
衰减振荡信号
单一脉冲信号 返回章目录
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
机械工程测试技术基础
周期信号与准周期信号的区别： 周期信号：可展开成许多乃至无限项简谐
信号之和，频谱具有离散性且诸简谐分量
的频率比是有理数。 准周期信号：可展开成几个简谐信号的叠 加，其频谱具有离散性，但各简谐成分的 频率比不是有理数。
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• 功率有限信号（功率信号）信号在区间的
第一节 信号的分类与描述
机械工程测试技术基础
二、信号的描述
• 时域描述以时间t为独立变量，直接观测或记录到的信号。信号
时域描述直观地反映出信号瞬时值随时间变化的情况。 • 频域描述信号以频率f为独立变量来表示，称为信号的频域描述。 频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。 实际，两种描述方法可以相互转换，包含同样的信息。
具有离散频谱的信号不一定是周期信号。
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
机械工程测试技术基础
非周期信号常见示例
下面讨论这种非周期信号。
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
机械工程测试技术基础
一、傅里叶变换
对于非周期信号的理解 2 周期信号频谱谱线的频率间隔 0 ，当周期 T0
T0 趋与无穷时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线无限靠近。变
机械工程测试技术基础
X ( )
1 x( t ) 2



(


x ( t )e jt dt )e jt d
这就是傅里叶积分表达式。 傅里叶变换(FT)

※
X ( )

x ( t )e jt dt

傅里叶反（逆）变换(IFT)
1 x( t ) 2


X ( )e jt d
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
依据欧拉公式: 有
式(1-1)可改写成为
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
令
则

或
xt
n
c e
n
jn0t
n 0,1,2,
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这就是傅里叶级数的复指数函数形式.
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
余弦分量的幅值
an
2 T0

T0 2 T 0 2
4 2A xt cos n 0tdt 2 A t cos n 0tdt 0 T0 T0
T
4A 4A n 2 2 sin 2 n 2 2 n 2 0
3）有效值
xrms
1 T0

T0
0
x 2 t dt
4）平均功率
1 pav T0

T0
0
x 2 t dt
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第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
机械工程测试技术基础
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两种,其频 谱各有独自特点 非周期信号 包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。 准周期信号 有离散频谱，但诸谐波成分合成后不是周期信号。
d 2 df
以
2f 代入得
X( f ) x( t )

X ( f ) 2X ( )
※※
x ( t )e j 2ft dt

X ( f )e j 2ft df
这两组式子分别以 和 f
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
负频率说明 主要原因角速度按 其旋转方向可以为正 或负，一个向量的实 部可以看成为两个旋 转方向相反的矢量在 其实轴上投影之和， 而虚部则为虚轴上投 影之差。
Im
A
0
Re
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第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
周期信号频谱的三大特点
-T0 -T0/2 0
-
T0/2
T0
t
将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得
A
式中
1 1 x(t ) (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ) 3 5 2 0 T0
4A
周期方波
此式表明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号叠加而成。 此式可写成 其中 ω= nω0
T0 / 2
x ( t )e jn0t dt
将代入上式则得
T0
lim x ( t ) lim
T0 n


C n e jn 0 t
三个变化
d n 0
1 lim ( T0 n T0

T / 2
第一节 信号的分类与描述
机械工程测试技术基础
第一章
• 第一节 • 第二节 • 第三节 • 第四节
信号及其描述
信号的分类与描述 周期信号与离散频谱 瞬变非周期信号与连续频谱 随机信号
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第一节 信号的分类与描述
机械工程测试技术基础
第一节 信号的分类与描述
一、信号的分类
（1） 确定性信号与随机信号 若信号可表示为一个确定的时间函数，因而可确定 其任何时刻的量值，这种信号称为确定性信号。确 定性信号又分为周期信号和非周期信号。 • 周期信号是按一定时间间隔周而复始出现，无 始无终的信号。 式中 xt xt nT0 n 1,2,3, T0 周期 例图 • 非周期信号是确定性信号中不具有周期重复性 的信号。 • 随机信号是一种不能准确预测其未来瞬时值， 也无法用数学关系式来描述的信号。
称为二者互为傅里叶级数对，记作：
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
机械工程测试技术基础
1 x( t ) 2
X ( )




(


x ( t )e jt dt )e jt d
1 x( t ) 2
x ( t )e
jt
dt



X ( )e jt d
T 2 T 2
第二节 周期信号与离散频谱
机械工程测试技术基础
T0
-----周期 ----圆频率
0
0
2 T
n 1,2,3,
将上式中的同频合并,可改写成
x(t ) a0 An sin(n0t n )
n 1

式中
An an 2 bn 2
n arc tg