四川省资阳中学高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编doc

一、多选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且
02
C <<
π
，4b =，则以下说法正确的是（ ）
A ．3
C π
=
B ．若72
c =
，则1cos 7B =
C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形
D ．若ABC 的面积是4 3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2
π 4．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（ ）
A B
C D ．5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆ 6．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
7．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D ．
3
8．设a 为非零向量，下列有关向量
||
a
a 的描述正确的是（ ） A ．|
|1||
a a =
B ．
//||
a a a
C ．
||
a a a =
D ．
||||
a a a a ⋅=
9．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形
D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形
10．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
11．已知ABC ∆的面积为3
2
,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
12．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B ．C ．D ．3
13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 14．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2
cos 3
A =
，则b=
A B
C ．2
D ．3
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC
a b c
==，则
∠B 的大小是（ ）
A ．
12π
B ．
6
π C ．4
π
D ．
3
π 19．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C
D ．20．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
21．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为
（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
22．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
23．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
24．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ⋅的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．()()
a b a b +⊥-
25．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ）
A ．
35 B ．
107
C ．
57
D ．
14
26．题目文件丢失！
27．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，
则①AD ＝－b －
12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
28．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．3
16
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
29．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b = ②ABC ∆的面积为
83
③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径43
3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
30．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）
A ．
2
5
B ．
35
C ．
34
D ．
14
31．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
32．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A B C ．2
D 33．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）
A ．1233A
B A
C -
+ B ．
21
33
AB AC - C ．1233
AB AC -
D ．21
33
AB AC -
+34．题目文件丢失！
35．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
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一、多选题 1．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．， 解析：BCD 【分析】
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，
D ．由23CD CB =得22
33CD AB AC =-，
则23λ=，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
2．AC 【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利
解析：AC 【分析】
对于A
2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；
对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得
A B C ==；
对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】
2sin c A =
2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠
，故sin C =， 因为(0,
)2
C π
∈，则3
C π
=
，故A 正确；
若72
c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =
，则4sin sin 72
b B C
c ==
因为(0,)B π∈
，则1
cos 7
B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A B
C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，
2sin c A =
，即sin a A =
sin 2cos A c B =
，所以sin A B =，
因为23A B C ππ+=-=，则23
A B π=
-
，故2sin()3B B π
-=，
1
sin 2B B B +=
，即1sin cos 22
B B =，
解得tan B =3
B π
=，则3
A π
=
，
即3
A B C π
===
，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC
的面积是
1
sin 2
ab C =2a =，
由余弦定理可得2
2
2
1
2cos 416224122
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=
，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，
由正弦定理可得24
sin c R C =
==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
3．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b αα⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2
cos 1α≠，所以()()()2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
4．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以，
所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin 2
C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =
c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．ACD 【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为
解析：ACD 【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，
又222222(4)(5)(6)1
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错
误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，
又222222(6)(5)(4)3
cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又237sin 1cos C C =-= 所以
237R =
，解得：87
R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
6．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =,
即sin 2sin 2A B =.
2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=.
即A B =或2A B π
+=,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
故选：ABCD
【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
7．AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD
【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.
【详解】
由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153
b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角. 因此，25cos 1sin B B =-=. 故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 8．ABD
【分析】
首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】
表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向
量时，不正确，
，所以D 正确.
故选：ABD
解析：ABD
【分析】 首先理解a a
表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】 a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a =不正确， cos 0a a a a a a a a a a
⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a
表示与向量a 同方向的单位向量.
9．ABD 【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD
【分析】
对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B π
π
>>->，可得
sin sin()cos 2A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或
222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；
对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π
∈，
2A B π
+>，∴022A B π
π
>>->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，
sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B ∴=或2
A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
10．ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查
解析：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
11．BD
【分析】
由三角形的面积公式求出即得解.
【详解】
因为,
所以,
所以,因为,
所以或120°
. 故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD
【分析】
由三角形的面积公式求出sin A =
即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A =
=,
所以13222
A ⨯=,
所以sin A =
,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB
【分析】 由余弦定理得293cos306x x
︒
+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒
+-=,
解得x =x
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13．AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据
解析：AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据相等向量的概念知，D 正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
14．AD
【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD
【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；
若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.
故选：AD
【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．D
【详解】 由余弦定理得
， 解得（舍去），故选D. 【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
17．D
【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.
【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，
所以()sin 0B A -=，所以A B =，
又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=
， 所以3A B π==
，所以ABC 是等边三角形.
故选：D.
【点睛】 本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．D
【分析】 根据正弦定理，可得111tan tan tan 235
A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.
【详解】 解：∵
2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴
sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235
A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=
-，
∴273101k k k =-，解得k =
∴tan 3B k ==B ＝3
π． 故选：D .
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键
19．A
【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.
【详解】
由正弦定理可知2sin sin sin a b c r A B C === 已知22sin cos sin a b c A B B
===，所以sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC 外接圆的半径是2，即等腰直角三角形的斜边长为22， 所以122222
ABC S =⨯⨯=. 故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 20．C
【分析】
首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得
12
a b ⋅=
，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=
，所以2()7a b +=， 即22447a a b b +⋅+=，
因为221a b ==，所以12a b ⋅=
， 所以1cos ,2
a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.
21．A
【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直
角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
22．D
【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】 ()()()
222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线
M ∴轨迹必过ABC ∆的外心
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 23．C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 22
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．
【详解】
解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，
ABC ∴为等腰三角形，
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
24．D
【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算
()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈. 对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误；
对于D 选项，
()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()a b a b +⊥-，D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 25．C
【分析】 利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =
--，再利用正弦定理即可得出．
【详解】
解：3cos 5
A =，(0,180)A
∈︒︒．
∴
4sin 5A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(
55
C A B A B A B =-+=--=--=．
sin C ∴
= 由正弦定理可得：
sin sin b c B C =， ∴1sin 5sin 7c B b C ===．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．无
27．D
【分析】
本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】
①如图可知AD＝AC＋CD＝AC＋1
2
CB＝－CA－
1
2
BC
＝－b－1
2
a，故①正确．
②BE＝BC＋CE＝BC＋1
2 CA
＝a＋1
2
b，故②正确．
③CF＝CA＋AE＝CA＋1
2
AB＝b＋
1
2
(－a－b)
＝－1
2
a＋
1
2
b，故③正确．
④AD＋BE＋CF＝－DA＋BE＋CF ＝－(DC＋CA)＋BE＋CF
＝－(1
2
a＋b)＋a＋
1
2
b－
1
2
a＋
1
2
b＝0，故④正确．
故选D.
【点睛】
本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
28．A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE用AB和AD表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出
λμ⋅的值.
【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD =
==+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416
λμ⎛⎫⋅=
⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
29．C
【分析】 由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π
=或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
4c =，3C π∠=
，可得42sin sin 3
c R C π===，可得ABC ∆
外接圆半径R =④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=
或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π
=，3C π
=，6B π
=，可得2a b =，①可能成立；
由4c =
可得a =
，b =
4+
；面积为12bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得a =
，b =
则三角形的周长为4a b c ++=+
11sin sin 223S ab C π=== 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
30．D
【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，
所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =
代入可得CP mCA nkCB =+
即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =
+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44
m n == 所以1344CP CA CD =
+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比
所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为
14 故选D
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
31．C
【分析】 作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212
AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】
如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，
()
21
2AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=， 同理可得212
AM AC AC ⋅=，
86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，
由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()
3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩， 解得512
λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 32．C
【分析】 化简得到22AM AB AC λμ=
+，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值.
【详解】 ()
1222AM AE AF AB AC λμ=+=+， 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.
故选：C .
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
33．A
【分析】
作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.
【详解】
如下图所示：
D 为BC 的中点，则
()
1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333
AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
34．无
35．B
【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．
【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13
A =，所以1||||sin 302
AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．。