2019-2020学年山西大学附中高一上学期12月月考试题 数学(解析版)

山大附中2019-2020学年第一学期12月月考
高一年级数学试卷
一．选择题（共10小题，每题4分）
1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则B A C U U )(=（ ） A ．{4}
B ．{5}
C ．{3,5}
D ．{3,4,5}
2．函数()(1)f x ln x =-的定义域为( ) A ．1
(,1)3
B ．1[,1)3
C ．1[,1]3
D ．1(,1]3
3．与函数1y x =-表示同一个函数的是( ) A ．2log (1)
2
x y -=
B ．21
1
x y x -=+
C ．y
D ．2y =
4．已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是( ) A ．13
-
B ．13
C ．12
-
D ．
12
5．已知0x 是函数1
()(0)f x lnx x x
=->的一个零点，若10(0,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞
则( )
A ．1()0f x <，2()0f x >
B ．1()0f x >，2()0f x <
C ．1()0f x <，2()0f x <
D ．1()0f x >，2()0f x >
6．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，(3)0f -=，则
(36)0x f -<的解集为( ) A ．(1,2) B ．3(,1)[log 6,2)-∞⋃ C ．(,2)-∞
D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞
7．某同学用二分法求方程260lnx x +-=的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程260lnx x +-=的近似解，那么该近似解的精确度应该为( ) A ．0.1
B ．0.01
C ．0.001
D ．0.0001
8．已知函数2()|log |f x x =，()()()0,01,11
2,12
x g x f x g x x x <⎧⎪
=-=⎨-->⎪⎩则方程…的实根个数为( ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．已知函数()()22
log 1,11
x 2,1x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨->⎪⎩（） , 若()f x a =有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<. 则()121234x x x x x x +++的取值范围( ).
A ．()09，
B ．()34，
C ．()2,3
D ．()01，
10．如果函数)(x f 在其定义域内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“可拆分函数”，若1
2lg )(+=x a
x f 为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3
,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3,32
⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．(]3,+∞
二．填空题（共5小题，每题4分） 11．设25a b m ==，且
11
2a b
+=，m = ． 12．若函数2log (2)a y x ax =-+在区间(-∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是 ． 13．已知223
3
(1)(32)a a --
+<-，则a 的取值范围 ．
14．某商品在最近100天内的单价(t)f 与时间t 的函数关系是
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<≤+=),10040(,522
),400(,224
)(N t t t N t t t
t f ，日销售量)(t g 与时间t 的函数关系是
),1000(3
11231)(N t t t t g ∈≤≤+-=．则该商品的日销售额S(t)的最大值是
（日销售额＝日销售量×单价）．
15．已知函数2
2||,1
()(),1x a x f x x a a x -⎧=⎨--+>⎩
…，若关于x 的方程()0f x =恰有三个实根，则实数a 的取值范围为 ．
三．解答题（共4题，共40分）
16．（Ⅰ）求值：21102432
413(2)(9.6)(3)(1.5)[(5)]48
-----++-；
（Ⅱ）已知2log 3a =，3log 7b =，试用a ，b 表示14log 56．
17．已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足1)2(=f ，当04≤<-x 时，有()4
ax b f x x +=
+． （1）求实数a ，b 的值；
（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性； （3）解关于m 的不等式(1)(2)0m m f e f e -++->．
18．已知函数()3
log 3
m
x f x x -=+（0m >且1m ≠）. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；
（2）若0)(> πf ，是否存在βα<
<0，使)(x f 在],[βα的值域为
]log 1,log 1[αβm m ++？若存在，求出此时m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有
()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已
知函数1
1()1()()24
x
x
f x a =++，1
2
1()log 1ax
g x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7
上的所有上界构成的集合； （3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围
高一年级第一学期12月数学考试答案
一．选择题（共10小题）
1．已知全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1A =，2，4，6}，{4B =，5}，则()(U A B =U ð
)
A ．{4}
B ．{5}
C ．{3，5}
D ．{3，4，5}
【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【分析】进行并集和补集的运算即可．
【解答】解：{1U =Q ，2，3，4，5，6}，{1A =，2，4，6}，{4B =，5}， {3U A ∴=ð，5}，(){3U A B =U ð
，4，5}． 故选：D ．
2．函数()(1)f x ln x =-的定义域为( ) A ．1
(3
，1)
B ．1
[3
，1)
C ．1
[3
，1]
D ．1
(3
，1]
【考点】33：函数的定义域及其求法
【分析】可看出，要使得()f x 有意义，则需满足31010x x -⎧⎨->⎩…
，解出x 的范围即可．
【解答】解：要使()f x 有意义，则31010
x x -⎧⎨->⎩…，解得1
13x <…，
()f x ∴的定义域为1
[,1)3
．
故选：B ．
3．与函数1y x =-表示同一个函数的是( ) A ．2log (1)
2
x y -=
B ．21
1
x y x -=+
C ．y
D ．2y =
【考点】32：判断两个函数是否为同一函数
【分析】分别判断函数的定义域是否是R ，以及对应法则是否和1y x =-相同即可． 【解答】解：A 函数的定义域为(1,)+∞，与1y x =-的定义域不相同，不是同一函数．
21.11
x B y x x -==-+，函数的定义域为{|1}x x ≠-，与1y x =-的定义域不相同，不是同一
函数．
.1C y x =-，两个函数的定义域相同，表达式相同是同一函数．
2.1D y x ==-，函数的定义域为[1，)+∞，两个函数的定义域不相同，不是同一
函数． 故选：C ．
4．已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是( ) A ．13
-
B ．13
C ．12
-
D ．
12
【考点】3I ：奇函数、偶函数
【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，()()f x f x -=，且定义域关于原点对称，12a a -=-．
【解答】解：依题意得：()()f x f x -=，0b ∴=，又12a a -=-，13
a ∴=， 13
a b ∴+=
． 故选：B ．
5．已知0x 是函数1
()(0)f x lnx x x
=->的一个零点，若10(0,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞则(
)
A ．1()0f x <，2()0f x >
B ．1()0f x >，2()0f x <
C ．1()0f x <，2()0f x <
D ．1()0f x >，2()0f x >
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【分析】本题利用()f x '的正负确定()f x 的单调性，从而求解． 【解答】解：1
()(0)f x lnx x x =->Q ，
22111()x f x x x x
+∴'=
+=， 0x >Q ，()0f x ∴'>，
()f x ∴单调递增．
Q 已知0x 是函数1
()(0)f x lnx x x =->的一个零点，若10(0,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，
1()0f x ∴<，2()0f x >．
故选：A ．
6．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则
(36)0x f -<的解集为( ) A ．(1,2) B ．3(,1)[log 6-∞U ，2) C ．(,2)-∞
D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞
【考点】3N ：奇偶性与单调性的综合
【分析】由偶函数的性质可知，f （3）(3)0f =-=，结合()f x 在[0，)+∞上是增函数，可知距离对称轴越远，函数值越大，可求． 【解答】解：()f x Q 为定义在实数集上的偶函数， f ∴（3）(3)0f =-=，
又()f x Q 在[0，)+∞上是增函数， 则由(36)0x f -<可得，3363x -<-<， 解可得，12x <<， 故选：A ．
7．某同学用二分法求方程260lnx x +-=的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程260lnx x +-=的近似解，那么该近似解的精确度应该为( ) A ．0.1
B ．0.01
C ．0.001
D ．0.0001
【考点】55：二分法的定义与应用
【分析】根据题意，由二分法的定义，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的
1
2
，据此求出第6次和第7次使用二分法时区间的长度，进而可得该近似解的精确度应该
在1(
64，1)128
之间，分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，区间的长度为1，
每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的12
， 则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为611
264
=
，不能确定方程的近似解， 当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为7
11
2128
=，确定了方程的近似解， 则该近似解的精确度应该在1(64，1)128
之间， 分析选项：B 在区间1(64，1)128
内； 故选：B ．
8．已知函数2()|log |f x x =，()()()0,01,11
2,12
x g x f x g x x x <⎧⎪
=-=⎨-->⎪⎩则方程…的实根个数为( ) A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【分析】方程|()()|1()()1f x g x f x g x -=⇔=±，1,01()11
|2|,12x y g x x x <⎧⎪
=+=⎨-+>⎪⎩…，1,01
()13
|2|,12
x y g x x x -<⎧⎪
=-=⎨-->⎪⎩…．分别画出()y f x =，()1y g x =±的图象．利用交点个数即可得出方程的实数根的个数．
【解答】解：方程|()()|1()()1f x g x f x g x -=⇔=±，
1,01()11|2|,12x y g x x x <⎧⎪=+=⎨-+>⎪⎩…，1,01()13
|2|,12
x y g x x x -<⎧⎪
=-=⎨-->⎪⎩…． （1）分别画出()y f x =，()1y g x =+的图象．
由图象可得：01x <…时，两图象有一个交点；12x <…时，两图象有一个交点；2x >时，
两图象有一个交点．
（2）分别画出()y f x =，()1y g x =-的图象． 由图象可知：7
2
x >
时，两图象有一个交点． 综上可知：方程|()()|1f x g x -=实数根的个数为4． 故选：C ．
9．B 【解析】 【分析】
作出函数f （x ）的图象，根据方程()f x a =有四个互不相等的实数根，得到1x 与2x 、3x 与4x 的关系，代入所求，将所求用a 表示，然后计算即可得到结论．
【详解】
作出()(
)22
log 1,11x 2,1
x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨->⎪⎩（）的图像如图：
若()f x a =有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<，则0＜a ＜1，
且34x x 、是2
x 2a -=（）的两个根，34x x ∴+=4，34x x =4-a ，
且()21log 1x +=()22log 1x +，即-21log (1x +)=22 log (1x +)， ∴1(1x +)2
(1x +)=1，∴1212x x x x ++=0， ∴所求()121234x x x x x x +++=34x x =4-a 34∈（，）， 故选B. 【点睛】
本题主要考查函数交点个数的应用，考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算，利用数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键，属于难题. 10．B 【解析】 【分析】
根据条件将问题转化为方程
002121
3(21)
x x a a +=
++在0x R ∈上有解的问题即可得解．
【详解】 解：()21
x a
f x lg
=+Q ,0x R a ∴∈>
Q 函数()21
x
a
f x lg
=+为“可拆分函数”， ∴存在实数0x ，使0002
1321213(21)
x x x a a a a lg lg lg lg +=+=+++成立，
∴方程
002121
3(21)
x x a a +=
++在0x R ∈上有解，
即00
0113(21)331
222121
x x x a +++==+++g 在0x R ∈上有解， 0x R ∈Q ，∴011
(0,1)21
x +∈+，
3,32a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，
a ∴的取值范围为：3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
． 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．
二．填空题（共5小题）
11．设25a b m ==，且
11
2a b
+=，m
【考点】4H ：对数的运算性质；4Q ：指数函数与对数函数的关系
【分析】先解出a ，b ，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m 的等式，求m ．
【解答】解：25a b m ==Q ，2log a m ∴=，5log b m =，由换底公式得
11
log 2log 5log 102m m m a b
+=+==，210m ∴=，0m >Q ，
∴m
12．若函数2log (2)a y x ax =-+在区间(-∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是 [2，3) ． 【考点】4T ：对数函数图象与性质的综合应用
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数2()2g x x ax =-+的单调性，进而分1a >和01a <<两种情况讨论：①当1a >时，考虑函数的图象与性质，得到其对称轴在1
x =的右侧，当1x =时的函数值为正；②当01a <<时，其对称轴已在直线1x =的右侧，欲使得()(g x -∞，1]上增函数．最后取这两种情形的并集即可． 【解答】解：令2()2(0,1)g x x ax a a =-+>≠， ①当1a >时，()g x 在(-∞，1]上为减函数， ∴21232120
a
a a ⎧⎪∴<⎨⎪-+>⎩……；
②当01a <<时，()g x 在(-∞，1]上为减函数，此时不成立． 综上所述：23a <…． 故答案为：[2，3)． 13．已知2
23
3
(1)
(32)a a --
+<-，则a 的取值范围 2
(,4)3
．
【考点】4X ：幂函数的性质
【分析】考察幂函数a y x =当2
3
a =-时，函数为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，在(,0)
-∞上是增函数，即可求得a 的范围．
【解答】解：幂函数a y x =当2
3
a =-时为偶函数，
在(0,)+∞上是减函数，在(,0)-∞上是增函数， 所以有|1||32|a a +>- 解得
2
43
a <<，
故答案为：
2 (,4) 3
14.某商品在最近100天内的单价f（t）与时间t的函数关系是f（t）＝
，日销售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝﹣（0≤t≤100，t∈N）．求该商品的日销售额S（t）的最大值．（日销售额＝日
销售量×单价）
【考点】5B：分段函数的应用．
【分析】由已知中销售单价f（t）与时间t（t∈N）的函数f（t），及销售量g（t）与时间t（t∈N）的函数g（t），结合销售额为S（t）＝f（t）g（t），我们可以求出销售额为S（t）的函数解析式，再利用“分段函数分段处理”的原则，分别求出每一段上函数的最大值，即可得到商品日销售额S（t）的最大值．
【解答】解：由已知销售价f（t）＝，
销售量g（t）＝﹣（0≤t≤100，t∈N），
∴日销售额为S（t）＝f（t）g（t），
即当0≤t＜40时，S（t）＝（t+22）（﹣t+）＝﹣t2+2t+，
此函数的对称轴为x＝12，又t∈N，
最大值为S（12）＝；
当40≤t≤100时，S（t）＝（﹣t+52）（﹣t+）＝t2﹣36t+，
此时函数的对称轴为t＝108＞100，最大值为S（40）＝768．
由768＜，可得这种商品日销售额S（t）的最大值为，
此时t＝12．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的值域，二次函数的性质，其中根据日销售额为S （t ）＝f （t ）g （t ），得到销售额为S （t ）的函数解析式，是解答本题的关键．
15．已知函数2
2||,1()(),1
x a x f x x a a x -⎧=⎨--+>⎩…，当1a =时，不等式()f x x >的解集是 1
(,)3
-∞- ；若关于x 的方程()0f x =恰有三个实根，则实数a 的取值范围为 ．
【考点】57：函数与方程的综合运用
【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：当1a =时，22
2||,12||1
1()(),1(1)11x a x x x f x x a a x x x --⎧⎧==⎨⎨--+>--+>⎩⎩
剟， 当1x …时，由()f x x >得2||1x x ->，
当01x 剟，不等式等价为21x x ->，即1x >此时不等式不成立， 当0x <时，不等式等价为21x x -->，得1
3
x <-，
当1x >时，由由()f x x >得2(1)1x x --+>，得20x x -<，得01x <<，此时无解， 综上不等式()f x x >的解集1
(,)3
-∞-，
当1x …时，()2||f x x a =-的最小值为(0)f a =-，在(0，1]上的最大值为f （1）2a =-， 当1x >时，函数()f x 是开口向下的抛物线对称轴为x a =，顶点为(,)a a ， 当1x …时，()2||f x x a =-最多有两个零点， 当1x >时，2()()f x x a a =--+最多有两个零点， 则要使()0f x =恰有三个实根，
则当1x …时，有两个零点，1x >时有一个零点， 或当1x …时，有一个零点，1x >时有两个零点，
①若当1x …时，有两个零点，则(0)0(1)20f a f a =-<⎧⎨=-⎩…，得0
2a a >⎧⎨⎩
…，即02a <…，
此时当1x >时只能有一个零点，
若对称轴a 满足12a <…，此时当x a …时，必有一个零点，
则只需要当1x a <…时，f （1）22(1)310a a a a =--+=-+-…，即2310a a -+…，
a
12a <…， 若对称轴a 满足01a <…，此时()f x 在(1,)+∞上为增函数，
要使()f x 此时只有一个零点，则f （1）22(1)310a a a a =--+=-+-…
即2310a a -+…a
，此时01a <…， ②若当1x …时，有一个零点，此时f （1）20a =-<， 即2a >时，
此时当1x >时，函数的对称轴2a >，
要使1x >时有两个零点，则f （1）22(1)310a a a a =--+=-+-<
即2310a a -+>，得a <
舍或a >，此时a ，
综上实数a 的取值范围是a 或02a <…，
故答案为：1
(,)3
-∞-，a >或02a <…．
三．解答题（共5小题）
16．（1）求值：211
02432
413(2)(9.6)(3)(1.5)[(5)]48
-----++-；
【分析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得； 【解答】解：（1）原式21232
9272()1()()5483
-=--++
2
13()232334
()1()5229⨯-⨯=--++ 34415299
=--++ 112
=
； （2）已知2log 3a =，3log 7b =，试用a ，b 表示14log 56． 【考点】4I ：换底公式的应用；
【分析】（2）利用对数的诱导公式变形，化为含有2log 3，3log 7的代数式得答案． 【解答】解：（Ⅱ）222142225678
log 561472
log log log log log log +==
+． 223log 7log 3log 7ab ==Q g ．
143
log 561
ab ab +∴=
+． 17．已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足f （2）1=，当40x -<…时，有()4
ax b
f x x +=
+． （1）求实数a ，b 的值；
（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性； （3）解关于m 的不等式(1)(2)0m m f e f e -++->．
【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3E ：函数单调性的性质与判断
【分析】（1）根据()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数及40x -<…时的()f x 解析式即可得出0b =，并可求出(2)1f -=-，从而可得出2(2)12
a
f --=
=-，求出1a =； （2）根据上面知，(4,0)x ∈-时，()4
x
f x x =+，从而可设(0,4)x ∈，从而得出()()4x f x f x x -=--=-
-+，从而得出(0,4)x ∈时，()4x
f x x
=-，然后根据函数单调性的定义即可判断()f x 在(0,4)上的单调性：设任意的1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <，然后作差，通分，提取公因式，然后判断1()f x 与2()f x 的大小关系即可得出()f x 在(0,4)上的单调性．
【解答】（1）3a =，0b =（2）3()4
x
f x x =-
-（3）(0,3)ln 解：（1）Q 函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数， (0)0f ∴=，即
04
b
=，0b ∴=， 又因为f （2）1=，所以(2)f f -=-（2）1=-，
即
212
a
-=-，所以1a =， 综上可知1a =，0b =，
（2）由（1）可知当(4,0)x ∈-时，()4
x
f x x =
+， 当(0,4)x ∈时，(4,0)x -∈-，且函数()f x 是奇函数，
∴()()44
x x
f x f x x x -=--=-
=
-+-+， ∴当(0,4)x ∈时，函数()f x 的解析式为()4
x
f x x =
-+， 任取1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <，则12121212124()
()()44(4)(4)
x x x x f x f x x x x x --=-=
-+-+--， 1x Q ，2(0,4)x ∈，且12x x <， 140x ∴->，240x ->，120x x -<，
于是12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 故()4
x
f x x =
-+在区间(0,4)上是单调增函数； （3）()f x Q 是定义在(4,4)-上的奇函数，且(1)(2)0m m f e f e -++->，
(1)(2)m m f e f e -∴+>，且()f x 在(0,4)上是增函数， ∴142412m m m m e e e e --⎧+<⎪
<⎨⎪+>⎩
，解得03m ln <<， ∴原不等式的解集为(0,3)ln ．
18．（1）奇函数；证明见解析；（2
）存在，30,
3⎛- ⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）求出函数()y f x =的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数()y f x =的奇偶性；
（2）由()0f
π>，可得出01m <<，利用复合函数可分析出函数()y f x =在区间
[],αβ上为减函数，
由题意得()()1log 1log m m f f αα
ββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
，于是得出关于x 的方程
33x mx x -=+在区间()3,+∞上有两解，即关于x 的方程()2
3130mx m x +-+=在()3,+∞上有两个不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】
（1）函数()y f x =是奇函数；证明如下：
由
3
03
x x ->+解得3x <-或3x >，所以，函数()y f x =的定义域为()(),33,-∞-+∞U ，关于原点对称．
()()333
log log log 333
m
m m x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+Q ，
因此，函数()y f x =为奇函数； （2）由题意知，()3log log 103m m f πππ-=>=+，且3
013
ππ-<<+，01m ∴<<. 令()3636
1333
x x u x x x +--=
==-
+++在()3,+∞上为增函数， 而函数log m y u =为减函数，所以，函数()y f x =在()3,+∞上为减函数， 假设存在3βα>>，使得题意成立，则函数()y f x =在[],αβ上为减函数，
则有()()1log 1log m m f f ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
，即()()
3log log 33log log 3m m m m m m αααβββ-⎧=⎪+⎪⎨-⎪=+⎪⎩，3
3
33m m αααβββ-⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪=+⎪⎩
所以α、β是方程
3
3
x mx x -=+的两正根， 整理得()2
3130mx m x +-+=在()3,+∞有2个不等根α和β，由韦达定理得
39m αβ=
>，则103
m <<. 令()()2
313h x mx m x =+-+，则函数()y h x =在()3,+∞有2个零点，
则()()
2
10331120133
23180m m m m m
h m ⎧<<⎪⎪⎪∆=-->⎨-⎪>⎪⎪=>⎩
，解得303m -<<
. 因此，实数m
的取值范围是30,3⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考查化归与转化思想，属于中等题.
19．1．（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-． 【解析】 【详解】
试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数
1
2
1()log 1ax g x x -=-在区间9
[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1
116()()4()4
2
4
x
x
x
a --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．
试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，
所以()()g x g x -=-，即1
122
11log log 11ax ax x x +-=----， 即1111ax x x ax
+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：1
21()log 1x g x x +=-， 而1122
12()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数12
1()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数1
21()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7
上的所有上界构成集合为[3,)+∞．
（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， 5()5f x -≤≤，1116()()4()424
x x x a --≤≤-． ∴
1162()42()22x x x x
a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立 ∴max min 11[62()][42()]22x x x x a -⋅-≤≤⋅-
设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t =-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥．
易知()P t 在[1,)+∞上递增，
设121t t ≤<，21121212
()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=
>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =，
．
所以实数a的取值范围为[7,3]
考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】
本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大。