学案1：11.1.1 空间几何体与斜二测画法

11.1.1空间几何体与斜二测画法
导学聚焦
问题导学
预习教材的内容，思考以下问题：
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
新知初探
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝(或)，它们确定的平面表示．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行
于或的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度为原来的．
2．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
名师点拨
(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
自我检测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．()
(3)相等的角在直观图中仍相等．()
2.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为()
A．90°，90°B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
3.下列关于直观图的说法不正确的是()
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
4.利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的()
5.如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为__________．
探究案·讲练互动
探究点1 画水平放置的平面图形的直观图
例1.画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
反思感悟
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．
(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．
跟踪训练1.用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD 的直观图．(其中O ，E 分别为线段AB ，DC 的中点)
探究点2 画简单几何体的直观图
例2.知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图． 规律方法
画空间图形的直观图的原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．
(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12
. 跟踪训练2.由如图所示几何体的三视图画出直观图．
探究点3 直观图的还原与计算
例3.如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2
3
C 1
D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
规律方法
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝
2
4
S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
跟踪训练3.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )
A.
3
4a2 B.
3
8a2
C.
6
8a2 D.
6
16a2
测评案·达标反馈
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是() A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()
3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为()
A．2S B.2S
C．22S D.3S
4．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成() A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
5．画一个正四棱锥(底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定)．
参考答案
新知初探
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1) 45° 135° 水平面 (2) x ′轴 y ′轴
(3)保持原长度不变 一半 2．空间几何体直观图的画法
(4)虚线 自我检测
1.【答案】(1)× (2)√ (3)×
2.【解析】根据斜二测画法的规则，∠x ′O ′y ′的度数应为45°或135°，∠x ′O ′z ′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°. 【答案】D
3.【解析】平行于y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A 错． 【答案】A
4.【解析】正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C 项． 【答案】C
5.【答案】6 探究案·讲练互动
探究点1 画水平放置的平面图形的直观图
例1. 解：(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于 OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
(2)画相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝1
2OD ，
过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图．如图③.
跟踪训练1.解：(1)画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝1
2
OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′
轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图．探究点2 画简单几何体的直观图
例2. 解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．
跟踪训练2. 解：(1)画轴．如图①，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′，如图①.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图②.
①②
探究点3 直观图的还原与计算
例3.解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，
OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x
轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.
所以面积为S ＝2＋3
2
×2＝5.
跟踪训练3.【解析】如图①②所示为实际图形和直观图．
由②可知，B ′C ′＝BC ＝a ，O ′A ′＝12OA ＝34a ，在图②中作A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′，则A ′D ′＝2
2O ′A ′
＝
68a .所以S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′D ′＝12×a ×68a ＝6
16
a 2. 【答案】D 测评案·达标反馈 1．【答案】B
2．【解析】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y ′轴，故选C. 【答案】C
3．【解析】法一：设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h ，C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .过C ′作C ′D ′⊥O ′A ′于点D ′(图略)，
则C ′D ′＝
2
2
h .由题意知 12C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S ，即2
4h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为
S ′＝12·2h (CB ＋OA )＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S
2＝22S .
所以梯形OABC 的面积为22S .故选C. 法二：由S 直观图＝2
4S 原图
， 可得S 梯形OABC ＝4S
2
＝22S ，故选C. 【答案】C
4．【解析】平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
【答案】A
5．解：步骤：
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．
(4)画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S­ABCD的直观图，如图②所示．。