最新高考数学精练：第一章 计数原理 .5试卷含答案

§5二项式定理
A组
1.(x+2)n的展开式共有12项,则n等于()
A.9
B.10
C.11
D.8
解析:∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,∴n=11.故选C.
答案:C
2.的展开式中x2y3的系数是()
A.-20
B.-5
C.5
D.20
解析:由已知,得T r+1=(-2y)r=·(-2)r x5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),
令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.
故选A.
答案:A
3.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则
f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()
A.45
B.60
C.120
D.210
解析:∵(1+x)6展开式的通项公式为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项公式为T h+1=y h, ∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h.
∴f(m,n)=.
∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.
答案:C
4.已知展开式的第4项等于5,则x等于()
A.B.-C.7 D.-7
解析:T4=x4=-x=-35x=5,所以x=-.
答案:B
5.(2-)8的展开式中不含x4项的系数的和为()
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:采用赋值法,令x=1,得(2-)8的展开式的系数和为1,x4项系数为20(-1)8=1,所以
(2-)8的展开式中不含x4项的系数和为0.
答案:B
6.设a=sin x d x,则二项式的展开式中的常数项等于.
解析:a=sin x d x=(-cos x)=2,二项式展开式的通项为
T r+1=(2=(-1)r·26-r·x3-r,令3-r=0得,r=3,
∴常数项为(-1)3·23·=-160.
答案:-160
7.已知(2x-3)7=a0(x-1)7+a1(x-1)6+…+a6(x-1)+a7.
(1)求a0+a1+a2+…+a7;
(2)求a0-a7.
解(1)令x=2,得a0+a1+a2+…+a7=(4-3)7=1.
(2)令x=1,得a7=(2×1-3)7=-1,
x7的系数a0=27(-3)0=128,
∴a0-a7=129.
8.(1)求(1+2x)7的展开式中第四项的系数;
(2)求的展开式中x3的系数及二项式系数.
解(1)(1+2x)7的展开式的第4项为
T3+1=(2x)3=280x3,
∴(1+2x)7的展开式中第四项的系数是280.
(2)∵的展开式的通项为
T r+1=x9-r=(-1)r·x9-2r.
令9-2r=3,r=3,
∴x3的系数为(-1)3=-84.
x3的二项式系数为=84.
9.在的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
解(1)二项式展开式的通项为T r+1=(2x2)8-r·,所以
T5=·(2x2)8-4··24·,
则第5项的二项式系数是=70,第5项的系数是·24=1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项,T7=·(2x2)8-6·=112x2.
B组
1.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于()
A.45
B.55
C.70
D.80
解析:由二项式定理得
(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4 =41+29,
即a=41,b=29,所以a+b=70.
答案:C
2.(2016·江西临川一中等九校联考)二项式的展开式的第二项的系数为-,则
x2d x的值为()
A. B.3
C.3或
D.3或-
解析:二项展开式的第二项T2=(ax)5×,则由题意有a5=-,解得a=-1,所以
x2d x=x3=-.
答案:A
3.(2016·河南郑州一中联考)若在的展开式中含有常数项,则正整数n取得最小值时的常数项为()
A.-
B.-135
C.
D.135
解析:的展开式的通项为T r+1=·(3x2)n-r3n-r x2n-5r,展开式中含有
常数项需满足2n-5r=0,即n=,r∈N.所以当r=2时,正整数n取得最小值为n=5,此时常数
项为,故选C.
答案:C
4.(x2+2)的展开式中的常数项是()
A.2
B.3
C.-2
D.-3
解析:二项式的展开式的通项为T r+1=(-1)r=(-1)r x2r-10,易知(x2+2)
的展开式中的常数项为·(-1)4+2··(-1)5=3.
答案:B
5.若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.
解析:的展开式的通项为T r+1=(ax2)6-r·a6-r b r x12-3r,
令12-3r=3,得r=3.
由a6-r b r=a3b3=20,得ab=1.
所以a2+b2≥2ab=2×1=2.
答案:2
6.求的展开式中的有理项.
解的展开式的通项为T r+1=)8-r·(r=0,1,2,…,8),为使
为有理项,r必须是4的倍数,所以r=0,4,8,故共有3个有理项,分别是
T1=x4=x4,T5=x=x,T9=x-2=.
7.导学号43944018已知的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a+b展开式中奇数项的二项式系数的和小120,求第一个展开式的第三项.
解(a+b)2n展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1,展开式中偶数项的二项式系数的和为2n-1.依题意,有2n-1=22n-1-120,
即(2n)2-2n-240=0.
解得2n=16,或2n=-15(舍).∴n=4.
于是,第一个展开式中第三项为
T3=)2=6.。