2019届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三12月月考数学(文)试题含答案

成都经开区实验中学2019届高三上学期12月月考试题
数学（文科）
全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I卷（选择题, 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1. 已知集合，则的子集共有（）
A. 2个
B. 4个
C. 5个
D. 8个
2．已知与均为单位向量，它们的夹角为60° =（）A．B．C．D．4
3. 已知，则的值等于（）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（ ）
A. (4π+
B. (6π+
C. (8π+
D. (12π+
6. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是
（ ）
A. 线性回归直线一定过点
B. 产品的生产能耗与产量呈正相关
B. C.的取值是
D. 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加
吨
7. 若不等式组
所表示的平面区域内存在点，使成立，则
实数的取值范围是（ ）．
A. [-1，+∞）
B. (-∞,-1]
C. (-∞,1]
D. [1, +∞) 8. 执行如图所示的算法，则输出的结果是
A. B. C. D.
9.已知函数，则的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
10.平面过正方体
的顶点
平面 ,平面 平面
，则
所成角的正切值为( )
A. B. C. D. 11.函数
对任意的实数都有
，若
的图像关于
对称，且
，则
（ ）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
12.若是双曲线的右焦点，过作该双曲线一条渐近线的垂线于两条
渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分。

13. 已知,a b +∈R
____________．
14. 已知圆22
:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，则实数m =_________.
15.春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额（单位：万元）与当天的平均气温（单位：）有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的与的数据列于下表：
平均气温（
根据以上数据，求得与之间的线性回归方程的系数，则________．16.已知函数在R上单调递减，且关于x的方程
恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________.
三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
（一）必答题：共60分.
17.（本题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）若，求的面积；
（2）若的面积为，求，.
18. （本题满分12分）对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
（1）)根据以上统计数据填写下面列联表,并回答是否有的把握认为月收入以百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？
（2）若从月收入在的被调查对象中随机选取人进行调查,求至少有一人赞成“楼市限购政策”的概率.
（参考公式：，其中）
参考值表：
19.（本题满分12分） 如图：高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝AB ＝1，M 为AB 的三等分点．现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB 、AC ． （1）在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC? （2）当点P 为AB 边中点时，求点B 到平面MPC 的距离．
20. （本题满分12分）已知抛物线：，，是抛物线上的两点，是坐标原点，
且.
（1）若，求
的面积；
（2）设是线段上一点，若
与
的面积相等，求的轨迹方程.
21．（本题满分12分）已知函数()()2
2ln 0f x x x a x a =-+≠，0x 是函数()f x 的极值点．
（1）若4a =-，求函数()f x 的最小值；
（2）若()f x 不是单调函数，且无最小值，证明：()00f x <．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆的参数方程为
（为参数），以为极点，轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集.
（1）求；
（2）证明：当时，.
成都经开区实验中学2019届高三上学期12月月考试题
数学（文科）参考答案
1.【答案】A
【解析】，则子集为，共2个。

故选A。

2.【答案】C
3.【答案】A
【解析】
因为,所以.
，故选A.
4.【答案】B
【解析】对于A,，则或n⊂，假命题；
对于B, 若,根据线面垂直的性质,可得m∥n，真命题；
对于C, 若，则n与α位置关系不确定，假命题；
对于D, 若,则或n⊂，假命题，故选B.
5.【答案】D
【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，
且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，
=
∴该几何体的表面积S=π×22+2π×2×2+ππ，故选：D.
6.【答案】C
【解析】
试题分析：因,故A正确；又由线性
回归的知识可知D，B是正确的,故应选C.
7.【答案】B
【解析】
作出不等式，可行域如图：
∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，
∴直线x+ay+2=0与可行域有交点，
解方程组得B（0，2）．
∴点B在直线x+ay+2=0下方．可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．
故答案为：B
8.【答案】A
【解析】
根据题意，，
利用对数运算法则，求得，所以当时，满足，故选A.
9.【答案】A
【解析】
因为，所以函数为奇函数，排除B选项，
求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，
令，则，故排除D.
故选A.
10.【答案】A
【解析】
平面 ,平面平面，可知：
是正三角形．即可得出．
【详解】如图：平面 ,平面平面，可知：
∵是正三角形．所成角就是则所成角的正切值为．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】
分析：先根据对称得为偶函数，再根据，解得=0，利用周期性质可得，即得结果.
详解：因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即为偶函数，
因为，所以,所以=0，，
因此，,选B.
12.【答案】C
【解析】
如图所示：设，，所以
，所以的面积为
，解得，所以该双曲线的离心率。

故选C
13.【答案】(1
(2,1)
P到直线20
ax by
+=的距离d，由于直线斜率小于零，
因此d的最大值为OP=d大于点(2,1)
P到x轴距离1，因此所求取值范围为
(1.
14.【答案】1
-
【解析】因为圆22
:2410
C x y x y
+--+=的圆心为()
1,2，且圆上存在两点关于直线
:10
l x my
++=对称，所以直线过()
1,2
G，即1210
m
++=，1
m=-，故答案为1-.
15.【答案】
【解析】
【详解】由题意可得：，
∴．
16.【答案】
【解析】
试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程
恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
17.【答案】(1)；(2)，.
【解析】
（1）由题意结合余弦定理角化边可得.结合勾股定理可得，.则
.
（2）由题意结合三角形面积公式可得.结合三角函数的平方关系得到关于a的方程，解方程可得，从而.
【详解】（1）∵，
∴.
又∵，∴.∴，∴，.
∴.（2）∵，
则.∵，，
∴，化简得，∴，从而.
18.【答案】（1）有的把握认为月收入以百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异.
（2）.
【解析】
（1）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算的值，根据临界值表，即可得到结论；
（2）由题意设此组五人A,B,a,b,c表示不赞同者，分别写出从中选取两人的所有情形及其中至少一人赞同的情形，利用概率的公式进行求解即可得结果.
【详解】（1）由题意得列联表：
根据列联表中的数据得的观测值
，
所以有的把握认为月收入以百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异.
（2）设月收入在的人为，，，，，其中，表示赞成者，，，表示不赞成者.
从人中选取人的情况有：，，，，，，，，，，共种，
其中至少有一人赞成的有，，，，，，，共种，
故所求概率为.
19.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】【试题分析】（1）依据题设运用线面平行的判定定理分析推证；（2）借助题设条件
运用三棱锥的体积公式建立方程分析探求：
（Ⅰ）证明：当时，有平面．理由如下：
连接交于，连接．
梯形中，，，∵中，，∴．
∵平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵平面平面，平面平面，
平面中，，∴平面．
∴．
中，，，，
∴，
∴点到平面的距离．
20.【答案】(1)16(2)
【解析】分析：边相等，根据抛物线的对称性解决；与的面积相等，所以为
的中点，利用消参法求出轨迹方程
详解：设，，
（1）因为，
又由抛物线的对称性可知，关于轴对称， 所以，，
因为
，所以
，故
，则
，又
，
解得或（舍），所以，于是的面积为
.
（2）直线的斜率存在，设直线
的方程为
， 代入，得，，
且
，
，因为
，所以
，
故，则，所以或（舍），
因为与的面积相等，所以为的中点，则点的横坐标为，纵
坐标为，故点的轨迹方程为.
21.【答案】（1）()f x 的最小值为()24ln 2f =-；（2）见解析． 【解析】（1）解：()2
24ln f x x x x =--，其定义域是{}|0x x >．
()422f x x x
-'=-()()2212224x x x x x x +---=
=． 令()0f x '=，得2x =，·······2分
所以，()f x 在区间()02，
单调递减，在()2+∞，上单调递增． 所以()f x 的最小值为()24ln 2f =-．·······5分 （2）解：函数()f x 的定义域是{}|0x x >，
对()f x 求导数，得()22222a x x a
f x x x x
='-+=-+，
显然，方程()2
0220f x x x a '=⇔-+=（0x >），
因为()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根，
102a <<，·······7分 设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <，
所以()()()212222x x x x x x a f x x x
-=
'--+=， 列表分析如下：
所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，()()12f x f x >，·······9分 故只需证明()10f x <，由120x x <<，且121x x +=，得11
02
x <<， 因为102a <<，11
02
x <<，所以()()11112ln 0f x x x a x =-+<， 从而
()00f x <．·······12分
22.【答案】（1）（2）1
【解析】 分析：（1）利用
消去即可.
（2）先求出的极坐标方程为，在直线和的极坐标方程中分别令得到两点的极径，它们的差的绝对值就是线段的长.
详解：（1）∵圆的参数方程为（为参数)
∴圆的普通方程为
（2）化圆的普通方程为极坐标方程得
设，则由得
设，则由得
∴.
23.【答案】(1) (2)见解析
【解析】分析：（1）对取绝对值，然后解不等式；（2）算出ab的范围，进行分类讨论详解：（1）解：当时，成立；
当时，，∴；
当时，，不成立.综上，.
（2）证明：根据题意，得，∴或，
要证成立，即证成立，
即证成立，
，
当时，，；当时，，，
故，所以式成立.。