浙江省台州市天台县始丰中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题

浙江省台州市天台县始丰中学2020-2021学年九年级上学期
第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．
211
20x x
+-= B ．5x 2﹣6y-3=0 C ．x 2－x=0 D ．x 2+2x= x 2-1
2．若y=（a+2）x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≠0
B ．a ＞0
C ．a ＞2
D ．a≠－2
3．下列抛物线中，开口向下且开口最大的是（ ）
A ．y=－x 2
B ．y=－
23
x 2
C ．y=
13
x 2 D ．y=x 2
4．若二次函数2y ax =的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点（ ） A ．（2，4）
B ．（－2，－4）
C ．（－4，2）
D ．（4，－2）
5．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( ) A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
6．若代数式x 2+kx+9是完全平方式，则k 的值为（ ） A ．6
B ．-6
C ．±6
D ．±9
7．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则a-b+c 的值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．1
D ．2
8．若三角形三边的长均能使代数式x 2－9x+18的值为零，则此三角形的周长是（ ） A ．9或18 B ．12或15
C ．9或15或18
D ．9或12或15或
18
9．已知二次函数222(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，则实数b 的取值
范围是（ ）． A ．5
4
b ≥
B ．1b ≥或1b ≤-
C ．2b ≥
D ．12b ≤≤
10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列代数式：ab ，ac ，a+b+c ，a-b+c, 2a+b ，2a-b 中，其值为正的代数式的个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．4个以上
二、填空题
11．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， 则m 的取值范
围是
12．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点为（-12,0）和（-4,0），则它的对称轴是直线________.
13．二次函数y=x 2-2x+5的 图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式为________.
14．将二次函数y=2x 2+4x+7的图象绕原点旋转180°得到的图象的函数解析式为________.
15．已知x 1，x 2是方程x 2
+6x+3＝0的两实数根，则
21
12
x x x x +的值为_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，y 轴上一点A （0,2），在x 轴上有一动点B ，连结AB ，过B 点作直线l ⊥x 轴，交AB 的垂直平分线于点P(x,y)，在B 点运动过程中，P 点的运动轨迹是________,y 关于x 的函数解析式是________.
三、解答题 17．解下列方程： （1）3x 2+5x-2=0 （2）x （x-2）=3（x-2）
18．已知关于x 的一元二次方程m x 2－2m x ＋m －2＝0. (1)若方程有两个实数根，求m 的取值范围；
(2)设方程的两实根为x 1，x 2，且|x 1－x 2|＝1，求m 的值． 19．先化简，再求值：
2
221111a a a a a --⎛⎫
÷-- ⎪-+⎝⎭
，其中a 是方程x²－x=2019的解． 20．某种药品原价为36元/盒，经过连续二次降价后售价为25元/盒，求平均每次降价的百分率.
21．扎西的爷爷用一段长30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
22．如图，已知平面直角坐标系
（1）请在图中用描点法画出二次函数y=－1
2
x2+2x+1的图象；
（2）计算图象与坐标轴的交点，顶点坐标，写出对称轴；
（3）指出当x≤－3时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减少；
23．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,2),B(0,-2)其对称轴为直线x=5
2
，
C(0, 1
2
)为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点F使△ADF是直角三角形，如果存在，求出点F 的坐标，如果不存在，请说明理由.
24．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0）和点C，与y 轴交于点B．
（1）求抛物线解析式和点B坐标；
（2）在x轴上有一动点P（m，0）过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线与点M，当点M位于第一象限图象上，连接AM，BM，求△ABM面积的最大值及此时M 点的坐标；
（3）如图2，点B关于x轴的对称点为D，连接AD，BC．
①填空：点P是线段AC上一点（不与点A、C重合），点Q是线段AB上一点（不与点
A、B重合），则两条线段之和PQ+BP的最小值为；
②填空：将△ABC绕点A逆时针旋转a（0°＜α＜180°），当点C的对应点C′落在△ABD 的边所在直线上时，则此时点B的对应点B′的坐标为．
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的概念逐项判断即可. 【详解】 解：A 、
211
20x x
+-=是分式方程，不符合题意； B 、5x 2﹣6y －3=0 是二元二次方程，不符合题意； C 、x 2－x =0 是一元二次方程，符合题意；
D 、x 2+2x = x 2－1，即2x +1=0，是一元一次方程，不符合题意. 故选：C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，属于应知应会题型，熟知一元二次方程的概念是关键. 2．D 【分析】
根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a 的不等式，解不等式即得答案. 【详解】
解：由题意得： a +2 ≠0，则a ≠－2. 故选：D. 【点睛】
本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键. 3．B 【分析】
抛物线的开口向下，说明二次项系数小于0，再根据二次项系数的绝对值越小，开口越大解答即可. 【详解】
解：∵抛物线的开口向下，∴a <0，
∵213-
<-<，∴在开口向下的抛物线中y =－2
3
x 2的开口最大. 故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的二次项系数的特征是解答的关键. 4．A 【解析】
根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P （－2，4）代入2y ax =，得
()2
4a 2a 1=-⇒=，
∴二次函数解析式为2y x =．
∴所给四点中，只有（2，4）满足2y x =．故选A ． 5．A 【解析】
设方程的另一个实数根为x ，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x ＋1=－1，解得x=－2． 故选A ． 6．C 【分析】
根据完全平方式的结构特征解答即可. 【详解】
解：由题意得：x 2+kx +9 =(x ±3)2= x 2±6x +9，∴k =±6. 故选：C. 【点睛】
本题考查了完全平方式的知识，熟知完全平方式的结构特征是解题关键. 7．A 【解析】
试题分析：因为对称轴x=1且经过点P （3，0） 所以抛物线与x 轴的另一个交点是（-1，0） 代入抛物线解析式y=ax 2+bx+c 中，得a-b+c=0． 故选A ．
考点：二次函数的图象． 8．C 【分析】
先求出一元二次方程的解，再结合三角形的三边关系分情况讨论求解即可. 【详解】
解：由题意知：三角形的三边长是方程x 2－9x +18 =0的根，解这个方程，得x =6或x =3， 由于3+3=6<0，故3、3、6不符合，
∴三条边为：3、3、3；或3、6、6；或6、6、6； ∴此三角形的周长为：9或15或18 . 故选：C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 9．A 【分析】
当△≤0，抛物线在x 轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y ＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b 无解． 【详解】
解：∵二次函数22
2(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，
∴当△≤0，抛物线在x 轴下方无点，此时满足题意， ∴(
)
2
2
4(2)410△---≤=b x b ， 解得：54
b ≥
， 当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y ＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意， ∴(
)
2
2
4(2)410△＞---=b x b ， 解得：54
＜
b ， 当x=0时，2
1
0＞=-y b ，
解得：b ＞1或b ＜-1， 对称轴20＞=-x b ， 解得：b ＞2， ∴b 无解， 综上，54
b ≥， 故选A. 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 10．A 【分析】
根据抛物线的开口向下可判断a 的符号，根据抛物线对称轴的位置可判断ab 的符号，根据抛物线与y 轴的交点可判断c 的符号，进而可判断ac 的符号；
由于x =1时，y=a+b+c ，x =－1时，y=a －b+c ，结合图象即可判断a+b+c 与a －b+c 的符号； 由对称轴为直线12b
x
a
<并结合a 的符号可判断2a +b 的符号，由a 、b 的符号即可判断2a －b 的符号，从而可得答案. 【详解】
解：∵图象的开口向下，∴a <0，∵图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴c <0，∴ac >0； ∵对称轴在y 轴右侧，∴02b
a
-
>，∴ab <0； 由图可知，当x =1时，y =a+b+c >0，当x =－1时，y=a －b+c <0； ∵12b
a
-
<，a <0，∴－b >2a ，∴2a +b <0； ∵a <0，b >0，∴2a －b <0. 综上，其值为正的代数式有2个. 故选：A. 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质和二次函数与其系数之间的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想方法是解答的关键. 11．m<1 【解析】
本题考查的是一元二次方程的解与系数的关系．有两个相等的实数根则△=＞0，代入解得m<1．
12．x=-8.
【分析】
根据抛物线与x轴的两个交点关于其对称轴对称求解即可.
【详解】
解：由题意得：抛物线的对称轴为直线：
()
124
8
2
x
-+-
==-.
故答案为：x=－8.
【点睛】
本题考查了抛物线的对称性，属于基本题型，熟知抛物线与x的两个交点关于其对称轴对称是解答的关键.
13．y= x2+2x+2.
【分析】
先将抛物线转化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可. 【详解】
解：由题意得：y= x2－2x+5=(x－1)2+4，
∴将二次函数向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数解析式为：y=(x－1+2)2+4－3=(x+1)2+1=x2+2x+2.
故答案为：y= x2+2x+2.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移和抛物线的顶点式与一般式的转化，属于基础题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解答的关键.
14．y=-2x2+4x-7.
【分析】
先把二次函数转化为顶点式，再确定旋转后的抛物线的a的值和顶点坐标，即可得出结果. 【详解】
解：∵y= 2x2+4x+7 =2(x+1)2+5，∴原抛物线的顶点为（－1，5），
由题意得：旋转后的图象和原图象关于原点对称，开口方向相反，∴新图象的顶点为（1，
－5），a =－2，
∴所得的图象的解析式为：y =－2(x －1)2－5，即y =－2x 2+4x －7. 故答案为：y =－2x 2+4x －7. 【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征和确定二次函数的解析式，属于基本题型，掌握求解的方法是解题关键. 15．10． 【解析】
试题分析：∵1x ，2x 是方程
的两实数根，∴由韦达定理，知126x x +=-，
123x x =，∴2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=2(6)233--⨯=10，即21
1
2x x x x +的值是10．故答案为10．
考点：根与系数的关系． 16．抛物线 y=14
x 2
+1 【分析】
当点B 在x 轴的正半轴上时，如图1，连接P A ，作AC ⊥PB 于点C ， 则四边形AOBC 是矩形，由 P 在AB 的垂直平分线上可得P A=PB ，进而可用y 的代数式表示出PC 、AP ，在Rt △APC 中根据勾股定理即可得出y 与x 的关系式；当点B 在x 轴的负半轴上时，用同样的方法求解即可. 【详解】
解：当点B 在x 轴的正半轴上时，如图1，连接P A ，作AC ⊥PB 于点C ， 则四边形AOBC 是矩形，
∴AC=OB=x ，BC=OA =2，
∵P 在AB 的垂直平分线上，∴P A=PB=y ，
在Rt △APC 中，AC 2+PC 2=AP 2，∴x 2+(y −2)2=y 2，整理得y =
14
x 2
+1； 当点B 在x 轴的负半轴上时，如图2，同理可得y ，x 满足的关系式是：y =14
x 2
+1， ∴y ，x 满足的关系式是：y =
14
x 2
+1.
故答案为：抛物线、y =
14
x 2
+1.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系式，难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键. 17．（1）x 1=-2，x 2=1
3
；（2）x 1=2，x 2=3. 【分析】
（1）根据公式法求解即可； （2）移项后用提公因式法求解. 【详解】
解：（1）在这个方程中：a =3，b =5，c =－2，∴576
x -±==
， ∴x 1=－2，x 2=
13
. （2）移项，得x （x －2）－3（x －2）=0， 即(x －2)(x －3)=0，∴x －2=0或x －3=0， ∴x 1=2，x 2=3. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键.
18．（1）m >0；（2）m ＝8. 【分析】
（1）根据关于x 的一元二次方程mx 2-2mx+m-2=0有两个实数根，得出m≠0且（-2m ）2-4•m•（m-2）≥0，求出m 的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x 1，x 2，求出x 1+x 2和x 1•x 2的值，再根据|x 1-x 2|=1，得出（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，再把x 1+x 2和x 1•x 2的值代入计算即可． 【详解】
解：(1)∵关于x 的一元二次方程m x 2－2m x ＋m －2＝0有两个实数根，
∴m≠0且Δ≥0，即(－2m)2－4m(m －2)≥0，解得m≥0， ∴m 的取值范围为m>0. (2)∵方程的两实根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝. ∵|x 1－x 2|＝1， ∴(x 1－x 2)2＝1， ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1， 即22－4×
＝1，解得m ＝8， 经检验m ＝8符合题意，∴m 的值为8. 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 19．
2
1a a -，1
2019
. 【分析】
原式括号中先进行分式的减法运算，再把除法转化为乘法，然后进行约分即可得到最简结果，根据题意可得a ²－a =2019，再整体代入化简后的式子即得答案. 【详解】
解：221a a --÷2111a a a -⎛
⎫-- ⎪+⎝⎭=
()()22121111a a a a a a ⎛⎫---+÷ ⎪+-+⎝⎭
=()()222111--÷+-+a a a a a a =()()()21112a a a a a a -++--⨯=()11a a -=2
1-a a ，
∵a 是方程x ²－x =2019的解，∴ a ²－a =2019，∴原式=1
2019
. 【点睛】
本题考查了分式的化简与求值、一元二次的解的概念和整体的思想方法，熟练掌握分式的混合运算法则和整体的思想是解题关键.
20．每次降价的百分率约为16.7%. 【分析】
根据等量关系：36×(1－降价的百分率)2=25即可列出方程，解方程即可求出结果. 【详解】
解：设每次降价的百分率为x ，根据题意，得： 36(1－x )2=25，解得：x =
16或x =－11
6
（舍），∴16.7%.x ≈ 答：平均每次降价的百分率约为16.7%. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用之增长降低率问题，解此类题的一般思路是：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的等量关系为：()2
1a x b ±=. 21．当矩形的长为15m ，宽为7.5m 时，矩形菜园的面积最大，最大面积为112.5m 2 【解析】
试题分析：设菜园宽为x ，则长为36-2x ，由面积公式写出y 与x 的函数关系式，然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积，及取得最大面积时矩形的长和宽． 设长为x 米，宽为(30-x)/2米-,面积为y 米2
当x=15时，y 最大=112.5 答：最大面积是112.5米2． 考点：本题主要考查二次函数的应用
点评：关键在于找出等量关系列出方程求解，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
22．（1）见解析；（2）图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（，0），与y 轴的交点坐标为（0，1），顶点坐标为（2，3），对称轴为直线x =2；（3）当x ≤－3时， y 随x 的增大而增大. 【分析】
（1）先把抛物线转化为顶点式，再按照画函数图象的一般步骤解答即可；
（2）分别令y =0、x =0即可求出抛物线与x 、y 轴的交点坐标，根据抛物线的顶点式即可写
出顶点坐标和对称轴；
（3）根据抛物线的性质解答即可. 【详解】 解：（1）y =－1x 2+2x +1=－1
(x －2)2+3，列表如下：
描点、连线如图所示，
（2）解：令y =－
12x 2+2x +1=0，得x 2－4x －2=0，2x ∴==±
∴图象与x 轴的交点坐标为（2，0），（，0）， 令x =0，得y =1，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，1）； ∵y =－
12x 2+2x +1= y =－1
2
(x －2)2+3， ∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2,3）；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线x =2，且抛物线开口向下，∴x >2时，y 随x 的增大而减小，x <2时y 随x 的增大而增大， ∴当x ≤－3时， y 随x 的增大而增大. 【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线与坐标轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键. 23．（1）y=
16x 2-56x-2 ;（2）存在.F 点坐标为（52 ，13）,（52
2）或（52，
-2
）,（
5
2
，-7）. 【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再和抛物线的解析式联立组成方程组求出点D 的坐标，设F （
5
2
，m ），然后根据两点间的距离公式分别表示出AD 2、AF 2、DF 2，再分三种情况根据勾股定理列出方程，解方程即可求得结果. 【详解】
解：（1）由题意得：93225
22a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=
⎩，解得16562a b c ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪=-⎪⎪
⎩
，
∴抛物线的解析式为y =
16
x 2－5
6x －2 ；
（2）存在点F 使△ADF 是直角三角形.
设直线AC 的解析式为：y kx t =+，把A (－3，2)、C (0，12)代入，得32
1
2k t t -+=⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得：12
1
2
k t ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为：1122y x =-+， 联立方程组21122
15266y x y x x ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，解得：1132x y =-⎧⎨=⎩，2252x y =⎧⎨=-⎩，∴点D 坐标为（5，－2），
设F （
52，m ），AD 2=(5+3)2+(－2－2)2=80，AF 2=(52+3)2+(m －2)2，DF 2=(5－52
)2+(m +2)2， 当AD 2+DF 2=AF 2时，△ADF 是直角三角形，则80+(5－
52)2+(m+2)2=(5
2
+3)2+(m －2)2， 解得m =－7，此时F 点坐标为（
5
2
，－7）； 当DF 2+AF 2=AD 2时，△ADF 是直角三角形，则(5－
52)2+(m+2)2+(5
2
+3)2+(m －2)2=80，
解得m ，∴F 点坐标为（52）或（52）；
当AD 2+AF 2=DF 2时，△ADF 也是直角三角形，则80+(
52+3)2+(m －2)2=(5－5
2
)2+(m+2)2， 解得：m=13，∴F 点坐标为（
5
2
，13）. 综上，在抛物线的对称轴上存在点F ，使△ADF 是直角三角形，且F 点坐标为（
5
2
，13）或
（
52）或（52）或（52，－7）. 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式、勾股定理、一元二次方程的解法、抛物线上的点的坐标特点和两点间的距离等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解答的关键. 24．（1）抛物线解析式为y ＝12
-
x 2+3
2x +2，B （0，2）；（2）S △ABM 的最大值＝4，（2，3）；
（3）24,55⎛⎫
-- ⎪⎝⎭或(4-或⎝⎭
． 【解析】 【分析】
(1)将A(4，0)代入y ＝ax 2+(a+2)x+2，可求出a 的值，将a 的值代入即得到抛物线解析式，令x ＝0，求y ，得点B 坐标；
(2)待定系数法求直线AB 的解析式，设点P(m ，0)，将S △ABM 表示成m 的二次函数，配
方成顶点式即可求得△ABM 面积的最大值及此时M 点的坐标；
(3)①求PQ+BP 的最小值利用对称进行转化，应用“两点之间线段最短”及“垂线段最短”可以得到“PQ+BP 的最小值”即为点D 到直线AB 的距离；.
②题在△ABC 绕A 逆时针旋转过程中，按照依次落在直线BD 、AD 、AB 上分类讨论． 【详解】
(1)将A(4，0)代入y ＝ax 2+(a+2)x+2， 得16a+4(a+2)+2＝0，解得a ＝12
-， ∴抛物线解析式为y ＝12
-x 2+3
2x+2，
令x ＝0，得y ＝2， ∴B(0，2)；
(2)如图1，过点M 作ME ⊥AB 于E ，设P(m ，0)，M(m ，12
-
m 2+3
2m+2)，
设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，将A(4，0)，B(0，2)分别代入，
得402k b b +=⎧⎨=⎩，解得122
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AB 的解析式为y=1
2
-x+2， ∴N(m ，1
2-
m+2)， ∴MN=12-m 2+3
2m+2-(12-m+2)= 12
-m 2+2m ，
∵MN ⊥x 轴， ∴MN ∥y 轴，
∴∠MNE ＝∠ABO ，又∵∠MEN ＝∠AOB ＝90°， ∴△MEN ∽△AOB ， ∴
ME AO
MN AB
=， ∴ME ×AB ＝AO ×MN ， ∴21111422222ABM
S
ME AB AO MN m m ⎛⎫
=
==⨯-+ ⎪⎝⎭
＝﹣(m ﹣2)2+4， ∵﹣1＜0，0＜m ＜4，
∴当m ＝2时，S △ABM 的最大值＝4，
此时，点M 的坐标为(2，3)；
(3)①如图2，连接BP 、DP 、PQ ，则PQ+BP ＝PQ+DP ，只有当D 、P 、Q 三点在同一直线上，且DP ⊥AB 时，PQ+BP 的值最小．
过点D 作DQ ⊥AB 于Q ，交x 轴于P ，OA ＝4，OB ＝2，AB ＝ ∵B 、D 关于x 轴对称， ∴D(0，﹣2)，BD ＝4， ∵BD ×AO ＝DQ ×AB ，
∴DQ ＝
525
BD AO AB ==
，即PQ+BP 的最小值＝5，
； ②如图3，点C ′落在直线BD 上， 在抛物线解析式y ＝12
-
x 2+3
2x+2中，令y ＝0，解得x 1＝4，x 2＝﹣1，
∴C(﹣1，0)，AC ＝5，BC
∵AB 2+BC 222=25=AC 2， ∴∠ABC ＝90°，
由旋转知，AC ′＝AC ＝5，B ′C ′＝BC AB ′＝AB ＝AB ′C ′＝∠ABC ＝90°，
OC ′=3，∴C ′(0，﹣3)，
设AB ′交y 轴于F ，过B ′作B ′G ⊥y 轴于G ， ∵∠AOF ＝∠C ′B ′F ＝90°，∠AFO ＝∠C ′FB ′ ∴△AFO ∽△C ′FB ′，
∴∠FAO ＝∠FC ′B ′，
4B F B C OF AO '''==
，即4B F OF '=，
∴AF=4
AB B F ''-=， ∵AO 2+OF 2＝AF 2，
∴2
22
44OF ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得OF=811，
∴AF=841111
=
， ∵∠C ′GB ′＝∠AOF ＝90°， ∴△C ′GB ′∽△AOF ， ∴
B G OF B
C AF
'=''，即B ′G ×AF ＝OF ×B ′C ′，
∴8
1111
B G '⨯
=25B G '=，
∴
C G OA
B C AF
'=''，即C ′G ×AF ＝OA ×B ′C ′，
∴411
C G '⨯
=115C G '=， ∴24,5
5B ⎛⎫
'--
⎪⎝⎭
； 如图4，点C ′落在直线AD 上，∵∠BAC ＝∠OAD ，
∴点B 的对应点B ′落在x 轴上，由旋转知：△AB ′C ′≌△ABC ，
∴AB ′＝AB ＝OB ′＝，
∴B ′0)；
如图5，点C ′落在直线AB 上，过C ′作C ′B ″⊥x 轴于B ″，作B ′M ⊥x 轴于M ，作DQ ⊥AB 于Q ，
∵∠B ″AC ′＝∠BAC ＝∠B ′AC ′，∠AB ″C ′＝∠AB ′C ′＝∠ABC ＝∠AQD ＝∠AM ′＝90°，AC ′＝AC ＝5，
∴∠BAD ＝∠B ′AB ″，AB ＝AD ＝AB ′＝AB ″， ∴△ADQ ≌△AB ′M ，
∴B ′M ＝DQ ＝
5
，
∴AM =
=
=
，
∴B′(
205+，-5
)，
故答案为24,55⎛⎫
-- ⎪⎝⎭或(4-或⎝⎭
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，利用三角形面积求高，点到直线距离垂线段最短及两点之间线段最短，相似三角形性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.。