2022-2023学年山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、
N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．1
2．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根
3．若
32
x y
=，则下列等式一定成立的是（ ） A ．32x y =
B ．6xy =
C ．
23
x y = D ．
23
y x = 4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ） A ．抽101次也可能没有抽到一等奖 B ．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C ．抽一次不可能抽到一等奖
D ．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
5．若一个圆锥的底面积为24cm π，圆锥的高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A．40︒B．80︒C．120︒D．150︒
6．如图，转盘的红色扇形圆心角为120°．让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率是（）
A．1
2
B．
1
3
C．
4
9
D．
5
9
7．顺次连接四边形ABCD各边的中点，所得四边形是（）
A．平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形
D．菱形
8．若关于x的一元二次方程20
x x m
-+=的一个根是1
x=，则m的值是( ) A．1 B．0 C．－1 D．2
9．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2D．m＜﹣2
10．反比例函数
6
y
x
=-的图象位于（）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限11．某药品原价为100元，连续两次降价%
a后，售价为64元，则a的值为（）A．10 B．20 C．23 D．36
12．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，点
A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）
A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下：
x
… －3 －2 －1 0 … y
…
－3
－4
－3
…
则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是______.
14．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为2570m ，道路的宽为_______m
15．将一块弧长为2π的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（接头处忽略不计），则围成的圆锥的高为____．
16．一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示．当01x 时，y 关于x 的函数解析式为60y x =，那么当12x <时，y 关于x 的函数解析式为________．
17．如图，从
O 外一点P 引O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA 8cm =，C 是弧AB 上的一个
动点（点C 与A 、B 两点不重合）
，过点C 作O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，
则PED 的周长是________cm ．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：BE ＝2：1，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则
AG
GC
的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求∠OAM的正弦值．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
22．（10分）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
221y mx mx m =--+与x 轴交于点A ，B .
（1）若2AB =，求m 的值；
（2）过点(0,2)P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2MN ≥时，求m 的取值范围. 24．（10分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 的图象经过（1，0），（0，3）两点． （1）求b ，c 的值；
（2）写出当y ＞0时，x 的取值范围．
25．（12分）如图，AB 是
O 的直径，42AB =M 为弧AB 的中点，正方形OCGD 绕点O 旋转与AMB ∆的两
边分别交于E 、F （点E 、F 与点A 、B 、M 均不重合），与O 分别交于P 、Q 两点.
（1）求证：AMB ∆为等腰直角三角形； （2）求证：OE OF =；
（3）连接EF ，试探究：在正方形OCGD 绕点O 旋转的过程中，EMF ∆的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.
26．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，AC⊥AD，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】由已知条件可以得到△BPQ∽△DKM∽△CNH，然后得到△BPQ与△DKM的相似比为1
2
，△BPQ与△CNH
的相似比为1
3
，由相似三角形的性质求出1S，从而求出2S.
【详解】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ， ∴BE ∥DF ∥CG ，
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，
∴△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ， ∴
12AB BQ AD DM ==，1
3BQ AB CH AC ==， ∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ， ∵
12BQ MD =，1
3BQ CH =， ∴
1214S S =，1319
S S =， ∴214S S =，319S S =， ∵1320S S +=， ∴12S =， ∴2148S S ==； 故选：B. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S =，319S S =，从而求出答案. 2、A
【详解】解:∵a=2，b=-5，c=3， ∴△=b 2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A ． 【点睛】
本题考查根的判别式，熟记公式正确计算是解题关键，难度不大． 3、D
【分析】根据比例的性质
a c
b d
=，则ad=bc ，逐个判断可得答案． 【详解】解：由32
x y
=可得：2x=3y
A. 32x y =，此选项不符合题意
B. 6xy =，此选项不符合题意
C.
2
3
x y =，则3x=2y ，此选项不符合题意 D.
2
3
y x =，则2x=3y ，正确 故选：D 【点睛】
本题考查比例的性质，解题关键在于掌握a c
b d
=，则ad=bc. 4、A
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖． 故选：A ． 【点睛】
本题考查概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现． 5、C
【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm 2， ∴圆锥的底面半径为2cm ， ∴底面周长为4π，
圆锥的高为cm ，
∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm ， 设侧面展开图的圆心角是n °， 根据题意得：6180
n π
=4π， 解得：n=1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6、C
【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【详解】解：由图得：红色扇形圆心角为120，白色扇形的圆心角为240°，
∴红色扇形的面积：白色扇形的面积＝1
2
，
画出树状图如图，共有9个等可能的结果，让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的结果有4个，
∴让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率为4
9
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了树状图和概率计算公式，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握树状图的画法步骤.
7、A
【解析】试题分析：连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解：如图，根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选A．
考点：中点四边形．
8、B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】把x=1代入x2-x+m=1得1-1+m=1，
解得m=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
9、A
【解析】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A．
考点：抛物线与x轴的交点．
10、B
【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限，k<0，位于二、四象限．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数-6<0，∴函数图象过二、四象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键．
11、B
【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-%
a）²=64，即可解出此题.
【详解】依题意列出方程100（1-%
a）²=64，
解得a=20，（a=180100
>,舍去）
故选B.
【点睛】
此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.
12、A
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，
∴
1
3 AD
BG
=，
∵BG＝12，
∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，
∴△OAD ∽△OBG ， ∴13OA OB = ∴0A 14OA 3=+ 解得：OA ＝2，
∴OB ＝6，
∴C 点坐标为：（6，4），
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO 的长是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、13x =-，21x =
【分析】首先根据x 与函数y 的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.
【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得
34930c a b c a b c =-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩
解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
∴二次函数解析式为2
23y x x =+-
∴方程为2230x x +-= ()()130x x -+=
∴方程的解为13x =-，21x =
故答案为13x =-，21x =.
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
14、1
【分析】设道路宽为x 米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设道路宽为x 米，
根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：
23220322022570x x ，
解得：x 1=1，x 2=1．
∵1＞20，
∴x=1舍去．
答：道路宽为1米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．
15、3
【分析】根据侧面展开图，求出圆锥的底面半径和母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】如下图，为圆锥的侧面展开图草图：
∵侧面展开图是弧长为2π的半圆形
∴2π=122
l π，其中l 表示圆锥的母线长 解得：2l =
圆锥侧面展开图的弧长对应圆锥底面圆的周长
∴2π=2πr ，其中r 表示圆锥底面圆半径
解得：r=1
∴根据勾股定理，22213-
3【点睛】
本题考查圆锥侧面展开图，公式比较多，建议通过绘制侧面展开图的草图来分析得出公式．
16、10040y x =-
【分析】将x=1代入60y x =得出此时y 的值，然后设当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，再利用待定
系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：∵当时0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为y=1x ，
∴当x=1时，y=1．
又∵当x=2时，y=11，
设当1＜x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，将（1，1），（2，11）分别代入解析式得，
602160k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10040k b =⎧⎨=-⎩
， 所以，当12x <时，y 关于x 的函数解析式为y=100x-2．
故答案为：y=100x-2．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，比较简单． 17、16
【解析】由切线长定理得CD=AD ，CE=BE ，PA=PB,表示出△PED 的周长即可解题.
【详解】解：由切线长定理得CD=AD ，CE=BE ，PA=PB ；
所以△PED 的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm ．
【点睛】
本题考查了圆的切线,属于简单题,熟悉圆的切线长定理是解题关键.
18、25
【分析】设2x AE =则BE x =，根据ABCD 是平行四边形，可得//AB CP ，即=AEF DPF ∠∠，EAF PDF =∠∠和EAG PCG =∠∠，可得AEG CPG △∽△，由于F 是AD 的中点，可得AF DF =，因此AEF DPF △≌△，=2x AE DP =，5x CP DP DC DP AE BE =+=++=，再通过
AG AE GC CP =便可得出2=5AG GC ． 【详解】解：∵2AE BE =：：1
∴设2x AE =，BE x =，则3x AB =
∵ABCD 是平行四边形
∴//AB CP ，3x DC AB ==
∴=AEF DPF ∠∠，EAF PDF =∠∠，EAG PCG =∠∠
∴AEG CPG △∽△ ∴AG AE GC CP
= 又∵F 是AD 的中点
∴AF DF =
∴()AEF DPF AAS △≌△
∴=2x DP AE =
∴2x+3x 5x CP DP DC =+== ∴2x 2==5x 5
AG AE GC CP = 故答案为：
25 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求证两个三角形相似，再通过比值等量代换表示出边的数量关系是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）．
【解析】（1）把A 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；
（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x 轴的交点B 坐标，根据题意得到三角形AMB 为直角三角形，由MB 与AB 的长，利用勾股定理求出AM 的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【详解】解：（1）由题意，得1＋b ﹣3＝0，
解这个方程，得，b ＝2，
所以，这个抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x ﹣3，
所以y ＝（x ＋1）2
﹣4，
则顶点M 的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，
设直线x ＝-1与x 轴的交点为点B ，
则点B 的坐标为（﹣1，0），且∠MBA ＝90°，
在Rt △ABM 中，MB ＝4，AB ＝2，
由勾股定理得：AM 2＝MB 2＋AB 2＝16＋4＝20，即AM ＝2
， 所以sin ∠OAM ＝＝． 【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20、（1）相切，证明见解析；（2）62.
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=OB CD EB DE
=，
推出3
48
CD
=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=OB CD EB DE
=，
∴3
48
CD =，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，2222
6662
AB BC
+=+=
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
21、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，1）．
【解析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA ==1，∴OB ＝1OA ＝1． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到
的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝1，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为
（1，0），（0，1），（﹣1，0），代入解析式为
09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +1；
（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +1，∴对称轴为l 2b a
=-
=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；
②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M
点，∵∠CFE=∠PME=90°
，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13
EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝1ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +1）．
∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +1，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +1＝1（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝1（与t ＜0矛盾，舍去）．
当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×
（﹣2）+1＝1，∴P （﹣2，1）． 综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，1）．
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键
是利用相似三角形的性质得出MP ＝1ME ．
22、4cm
【解析】试题分析：想求得FC ，EF 长，那么就需求出BF 的长，利用直角三角形ABF ，使用勾股定理即可求得BF 长．
试题解析：折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，
所以AF=AD=BC=10厘米（2分）
在Rt △ABF 中，AB=8厘米，AF=10厘米，
由勾股定理，得
AB 2+BF 2=AF 2
∴82+BF 2=102
∴BF=6（厘米）
∴FC=10-6=4（厘米）．
答：FC 长为4厘米．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．
23、（1）12m =；（2）m 的取值范围为13m >或12
m ≤-. 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出A 、B 的坐标，然后把点代入抛物线，即可求出m 的值； （2）根据根的判别式得到m 的范围，再结合2MN ≥，然后分为：①开口向上，②开口向下，两种情况进行分析，即可得到答案.
【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线212m x m
-=-
=. ∴点,A B 关于直线1x =对称，
∵2AB = ∴抛物线与x 轴交于点(0,0),(2,0)，
将(0,0)代入2221y mx mx m =--+中，
得210m -+=， ∴12
m =； （2）抛物线2221y mx mx m =--+与x 轴有两个交点
∴>0∆，即2(2)4(21)0m m m ---+>， 解得：13
m >或0m <；
①若0m >，开口向上，如图，
当2MN ≥时，有212m -+≤， 解得：12m ≥-
； ∵13
m >或0m <， ∴13
m >； ②若0m <，开口向下，如图，
当2MN ≥时，有212m -+≥，
解得：12m ≤-
， ∵13
m >或0m <， ∴12
m ≤-； 综上所述，m 的取值范围为：13m >或12
m ≤-. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题.
24、（1）b=-2,c=3；（2）当y ＞0时，﹣3＜x ＜1．
【分析】（1）由题意求得b 、c 的值；
（2）当y>0时，即图象在第一、二象限的部分，再求出抛物线和x 轴的两个交点坐标，即得x 的取值范围；
【详解】（1）根据题意，将（1，0）、（0，3）代入，得：
103b c c -++=⎧⎨=⎩，
解得：23b c =-⎧⎨=⎩
； （2）由（1）知抛物线的解析式为223y x x =--+，
当y=0时，2230x x --+=，
解得：3x =-或x=1，
则抛物线与x 轴的交点为()()30,10-，
，， ∴当y ＞0时，﹣3＜x ＜1．
【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键.
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，4
【分析】（1）根据圆周角定理由AB 是⊙O 的直径得∠AMB=90°，由M 是弧AB 的中点得MB MA =，于是可判断△AMB 为等腰直角三角形；
（2）连接OM,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM ⊥AB ，AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF ，则可根据“SAS ”判断△OBE ≌△OMF ，所以OE=OF ；
（3）易得△OEF 为等腰直角三角形，则OE ，再由△OBE ≌△OMF 得BE=MF ，所以△EFM 的周长
OE+4，根据垂线段最短得当OE ⊥BM 时，OE 最小，此时OE=
12BM=2，进而求得△EFM 的周长的最小值．
【详解】（1）证明：AB 是O 的直径，
90AMB ︒∴∠=． M 是弧AB 的中点，
∴MB MA =．
MA MB =∴，
AMB ∆∴为等腰直角三角形．
（2）证明：连接OM ，
由（1）得：45,45ABM BAM OMA OMB ∠=∠=︒∠=∠=︒． 22,424OM AB MB AB ⊥===， 90MOE BOE ︒∴∠+∠=．
90COD ︒∠=，
90MOE MOF ︒∴∠+∠=，
BOE MOF ∴∠=∠．
在OBE ∆和OMF ∆中，
OB OM OBE OMF BOE MOF =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
，
()OBE OMF SAS ∴∆∆≌．
OE OF ∴=．
（3）解：EFM ∆的周长有最小值．
OE OF =，
OEF ∴∆为等腰直角三角形，
2EF OE ∴=，
OBE OMF ∆∆≌，
BE MF =∴．
EFM ∴∆的周长EF MF ME =++EF BE ME =++EF MB =+24OE =+． 当OE BM ⊥时，OE 最小，此时114222
OE BM ==⨯=, EFM ∴∆的周长的最小值为224+．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质是解题关键．26、（1）75；43；（2）CD=413．
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=43，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=43，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴
1
3 OD OB
OA OC
==．
又∵AO=33，
∴OD=1
3
AO=3，
∴AD=AO+OD=43．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=43．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵
∴，
∴．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．。