微分几何彭家贵课后题答案

习题一（P13）
2.设()a t 是向量值函数，证明：
（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

（1）证明：a =常数⇔2
a =常数⇔(),()a t a t <>=常数
⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=
⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。

（2）注意到：()0a t ≠，所以
()a t 的方向不变⇔单位向量()
()()
a t e t a t =
=常向量。

若单位向量()
()()
a t e t a t =
=常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。

反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。

由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。

从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫
'⇒=⇒=⎬'⊥⎭
常向量。

所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()
()()
a t e t a t =
=常向量 ⇔()()1
()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭
(
)()2111()()()()()0()()
()
d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔
∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。

即
()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

补充：
定理 ()r t 平行于固定平面π的充要条件是()(),(),()0r t r t r t '''≡。

证明：""⇒：若()r t 平行于固定平面π，设n 是平面π的法向量，为一常向量。

于是，(),0(),0,(),0r t n r t n r t n '''<>=⇒<>=<>=
(),(),()(),(),()0r t r t r t r t r t r t ''''''⇒⇔<>≡共面。

""⇐：若()(),(),()0r t r t r t '''≡，则(),(),()r t r t r t '''共面。

若()()0r t r t '∧≡
则()r t 方向固定，从而平行于固定平面π。

若()()0r t r t '∧≠，则()()()r t r t r t λμ'''=+。

令()()(),n t r t r t '=∧则
()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()0()0()()()n t r t r t r t r t r t r t r t t r t t r t t r t r t t n t n t n t n t n t n t r t λμμμ'''''=∧+∧'''=∧=∧+'=∧='⇒∧=≠⇒⊥，又有固定的方向，又
⇒()r t 平行于固定平面。

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设11232123312323123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v v w w w ===∧=，则
()2
33
11
2231
231232
33112
1
2
3,,,,i
j k
y
y y y y y v v y y y w w w z z z z z z z z z ⎛⎫
∧=== ⎪⎝⎭
()
1233223113312212
3
3
1121231
232
33
1
1
21
2
3233231131221212213311332332112211311,,,=(),,,,[][],[][],[w y z y z w y z y z w y z y z i
j k
x x x x x x v v v x x x w w w w w w w w w x w x w x w x w x w x w x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z ⇒=-=-=-⎛⎫⇒∧∧== ⎪⎝⎭
=---=-------左()()()()322332223312233133112331121122311223223313311211223223313311211223223311][][][],[][],[][][],[],[][],[],[][x y z y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x z x z y x z x z y x y x y z x y x y z x y x y z x z x z x z --=+-++-++-+=+++-+++=++()
()()()133112221122333223311133112221122333112233123223311123132123],[],[][],[],[][],,[],,,,y x z x z x z y x z x z x z y x y x y x y z x y x y x y z x y x y x y z x z x z x z y y y x y x y x y z z z v v v v v v ++++-++++++=++-++=<>-<>=右
（2）证明：设1123212331234123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v w w w ====，则
()()2
33
11
2121
23123233112
1
231233223113312212
33
11
2341
23123233
11
2
1
2
3
1233223113312,,,,,,.
,,,,,,i
j k
x x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y i
j k
z z z z z z v v z z z Y Y Y w w w w w w w w w Y z w z w Y z w z w Y z w ⎛⎫
∧=== ⎪⎝⎭
⇒=-=-=-⎛⎫
∧=== ⎪⎝⎭
⇒=-=-=211234112233
2332233231133113122112212233223311331133112211222233223311331133.=,()()()()()()[][z w v v v v X Y X Y X Y x y x y z w z w x y x y z w z w x y x y z w z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x w y z y z x w y z x w x z y w -⇒<∧∧>=++=--+--+--=+++++-++++左113311221122111122223333223322331133113311221122111122223333223322331133113311221122]
[()][()](x w y z x w y z y z x w x y z w x y z w x y z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x y z w x y z w x y z w x w y z y z x w y z x w x w y z x w y z y z x w x ++=++++++++-++++++++=11223311223311223311223313241423)()()()=,,z x z x z y w y w y w x w x w x w y z y z y z v v v v v v v v ++++-++++<><∧>-<><∧>=右
（3）证明：设112321233123(,,),(,,),(,,),v x x x v y y y v z z z ===，则
()()2
33
11
2121
23123233112
123
12332231133122131231211223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(i
j k
x x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y v v v v v v z X z X z X z x y x y z x y x y z x y x y z x y y z x x y z ⎛⎫
∧===
⎪⎝⎭
⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++3123123123)()
z y x x z y y x z -++
同理，
()()2
33
11
2311
2312323311
2123
12332231133122123123111223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()
(i
j k
z z z z z z v v z z z Y Y Y x x x x x x x x x Y z x z x Y z x z x Y z x z x v v v v v v y Y y Y y Y y z x z x y z x z x y z x z x z x y y z x x y z ⎛⎫
∧===
⎪⎝⎭
⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++()
3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=
()()2
33
11
2231
231232
3311
212312332231133122112312311223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()
(i
j k
y y y y y y v v y y y Z Z Z z z z z z z z z z Z y z y z Z y z y z Z y z y z v v v v v v x Z x Z x Z x y z y z x y z y z x y z y z z x y y z x x y z ⎛⎫
∧===
⎪⎝⎭
⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++()
3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=
所以，()()()123312231,,,,,,v v v v v v v v v ==。

性质1.2
证明：（1）()(,,)i
j k f f f f x y z x
y z f f f x y z
∂∂∂∂
∂∂∇∧∇=∇∧=
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222,,,,(0,0,0)0.f f f f f f y z z y z x x z x y y x f f f f f f y z z y z x x z x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫∂∂∂∂∂∂=---== ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
证明：（2）,,
i
j k
F x y z P Q
R
∂∂
∂
<∇∇∧>=<∇>∂∂∂,,,R Q P R Q P y z z x x y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂=<∇---> ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 2
2
2
2
2
2
0.R Q P R Q P x y z y z x z x y R Q P R Q P
x y x z y z y x z x z y
⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪
⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂∂=
-+-+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
4.设{}123;,,O e e e 是正交标架，σ是{}1,2,3的一个置换，证明： （1）{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ是正交标架；
（2）{}123;,,O e e e 与{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ定向相同当且仅当σ是一个偶置换。

（1）证明：当i j ≠时，()()i j σσ≠⇒()(),0i j e e σσ<>=；
当i j =时，()()i j σσ=⇒()(),1i j e e σσ<>=，
所以，{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ是正交标架。

（2）证明：
A)当(12)(1)2,(2)1,(3)3σσσσ=⇒===⇒
()()()(1)(2)(3)213123010010,,,,,,100,det 1001;001001e e e e e e e e e σσσ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B)当(13)(1)3,(2)2,(3)1σσσσ=⇒===⇒
()()()(1)(2)(3)321123001001,,,,,,010,det 0101;100101e e e e e e e e e σσσ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C)当(23)(2)3,(3)2,(1)1σσσσ=⇒===⇒
()()()(1)(2)(3)132123100100,,,,,,001,det 0011;010010e e e e e e e e e σσσ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D) 当(1)(12)(12)σ==，此时，{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ={}123;,,O e e e ； E) 当(123)(12)(13)(1)2,(2)3,(3)1,σσσσ==⇒===
()()()(1)(2)(3)231123001001,,,,,,100,det 1001;010010e e e e e e e e e σσσ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
F) 当(132)(13)(12)(1)3,(3)2,(2)1,σσσσ==⇒===
()()()(1)(2)(3)312123010001,,,,,,001,det 100 1.100010e e e e e e e e e σσσ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以，{}123;,,O e e e 与{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ定向相同当且仅当σ是一个偶置换。

习题二（P28）
1. 求下列曲线的弧长与曲率： （1）2
y ax =
解：2
()(,)()(1,2)r x x ax r x ax '=⇒
=0
()()x
x
l x r t dt '⇒=
=⎰
2||tan sec a t θθ==令，则
3
11=
sec 22||
d I a a θθ=⎰ 3
2
sec (sec tan
sec )I
d d θθθθθθ
=+⎰⎰3tan sec sec tan sec sec sec d d d d θθθθθθθθθθ=+=-+⎰⎰⎰tan sec sec I d θθθθ=-+⎰1
[tan sec ln |sec tan |]2
I C θθθθ⇒=+++
(1
2||ln 2||2
a a t C =++ 所以，
(3
111=
sec 2||ln 2||22||4||
d I a a t C a a a θθ==++⎰
(0
1
()()2||ln 2||4||
x
x
l x r t dt a a x a '∴===
⎰ 2. 设曲线()((),())r t x t y t =，证明它的曲率为 {}
32
22
()()()()
().()
()
x t y t x t y t t x y κ''''''-=
''+
证明：()((),())()((),())()((),())r t x t y t r t x t y t r t x t y t '''''''''=⇒=⇒=
2
2222
2
22()()((),())()((),())
()()()()()()()
()()()((),())
()dr dt dt s r t x t y t ds ds ds
dt
n s y t x t ds d r d dt dt d t s r t r t r t ds ds ds ds ds s s n s dt d t dt r t r t s y t x t ds ds ds d x t t t t κκ'''⇒=
==''⇒=-⎛⎫⎛
⎫''''⇒===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒=⎛
⎫'''''⇒+=- ⎪⎝⎭''⇒2
222
22()()()()()()()t d t dt x t s y t ds ds ds dt d t dt y t y t s x t ds ds ds κκ⎧⎛⎫''+=-⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪''''+= ⎪⎪⎝⎭⎩
{}{}22
2222
2
2
2222()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()|()|
dt d t dt d t x t x t y t y t ds ds ds ds s dt dt y t x t ds ds dt dt x t y t x t y t x t y t x t y t ds ds dt
ds
y x y x ds dt
ds
r t dt
κ⎛⎫⎛
⎫''''''++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒=-=''⎛⎫⎛⎫
''''''- ⎪ ⎪
''''''-⎝⎭⎝⎭=
=''''++'==由{}{}
3
222
32
22
()()()()
(),()()()()()()
()()
()
x t y t x t y t s y x x t y t x t y t t y x κκ''''''-⇒=''+''''''-=
''+即。

3. 设曲线C 在极坐标下的表示为()r f θ=，证明曲线C 的曲率表达式为
2
22
2
32
2
2()2()().()df d f
f f d d df f d θθθθκθθθ⎛⎫
+-
⎪⎝⎭=
⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬
⎪⎝⎭
⎪⎪⎩
⎭
证明：cos ()cos ,sin ()sin x r f y r f θθθθθθ====
()(()cos ,()sin )r f f θθθθθ⇒=
()(()cos ()sin ,()sin ()cos )r f f f f θθθθθθθθθ'''⇒=-+
()(()cos ()sin ,()sin ()cos )r f f f f θθθθθθθθθ''''=-+
(()cos 2()sin ()cos ,()sin 2()cos ()sin )
f f f f f f θθθθθθθθθθθθ''''''=--+-所以，()cos ()sin x f f θθθθ''=-；()sin ()cos y f f θθθθ''=+； ()cos 2()sin ()cos x f f f θθθθθθ'''''=--；
()sin 2()cos ()sin y f f f θθθθθθ'''''=+-。

因此，
()()
()()()2
2()cos ()sin ()sin 2()cos ()sin ()sin ()cos ()cos 2()sin ()cos ()2()()()
x y x y f f f f f f f f f f f f f f θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ''''''''''-=-+-''''-+--'''=+- ()()
()()
22
222
2
()()()cos ()sin ()sin ()cos ()()y x f f f f f f θθθθθθθθθθ''''+=-++'=+
{}2
22
2
33
22222
2()2()()()()()().()()()df d f f f x y x y d d x y df f d θθθθθθθθκθθθ⎛⎫+- ⎪''''''-⎝⎭∴==''⎧⎫+⎪⎪⎛⎫+⎨⎬
⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
4. 求下列曲线的曲率与挠率： （4
）()(ln ,)(0)a
r t at t a t
=>
解：23426()(),()(0,),())a a a r t a r t r t t t t
''''''=-==-；
2232
3
2()(),20i j k
a a r t r t a
t t a t
t '''⇒∧=-=-⎝⎭-
()224()()1r t r t t t '''⇒∧===+
()2
2()1a r t t t
'==+
(
)2223
43234626,,(,,),(0,,)a a r r r t t t t t t
''''''=<--->=。

所以，
()(
)()(
)()2222
244333223226211()()()()111t t r t r t t t t a r t a a t t t t t κ++'''∧===='⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
；
(
)
)
2
22
2
,,()1()()
1r r r t t r t r t a t τ''''''⎫==+=⎪'''∧+⎭
5. 证明：3E 的正则曲线()r t 的曲率与挠率分别为
3
()()()()
r t r t t r t κ'''∧=
'，()2
,,()r r r t r r τ''''''=
'''
∧。

证明：
()()()dr dr dt dt
t s r s r t ds dt ds ds
'=⇒== 2
22
3
2
3
23()()()()()3()()dt d t t s r t r t ds ds dt dt d t d t t s r t r t r t ds ds ds ds ⎛
⎫'''⇒=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫''''''⇒=++ ⎪⎝⎭
根据弗雷内特标架运动方程
0000t t d n n ds b b κ
κττ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，得：
()11()()()()()()()()()()((t s s n s n s t s b s t s n s t s t s s s
κκκ=⇒=
⇒=∧=∧ 2
221()()()()dt dt d t r t r t r t s ds ds ds κ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=∧+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
()3
1()()()dt r t r t s ds κ⎛⎫
'''=∧ ⎪⎝⎭
()()()
3
33
3
11()()()()()()()()()()()
dt r t r t s ds r t r t r t r t dt s r t r t ds ds r t dt κκ⎛⎫
'''⇒=∧ ⎪
⎝⎭'''∧'''∧⎛⎫'''⇒=∧=
=
⎪
'⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎝⎭
()2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),()()()
t s s n s t s s n s s n s n(s =(s)t(s)s b s t s s n s s (s)t(s)s b s s n s s t(s)s s b s t s b s s s κκκκτκκκτκκκτκτ=⇒=+-+⇒
=+-+=-+⇒<>=由）
()()33
232
36
1(),()()3()(),()()()1=,,()dt dt d t d t dt t s b s r t r t r t r t r t ds ds ds ds s ds dt r r r s ds κκ⎛
⎫⎛⎫'''''''''<>=<++∧> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫
'''''' ⎪⎝⎭
因为所以，()()()6
6
2
2,,,,1()()=,,()=()()r r r r r r dt dt s s r r r s s ds s ds r r κττκκ''''''''''''⎛⎫
⎛⎫''''''⇒= ⎪ ⎪'''
⎝⎭⎝⎭∧。

6．证明：曲线
3322(1)(1)(),(11)33s s r s s ⎛⎫+-
=-<< ⎝ 以s 为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet 标架。

证明：1
）1122(1)(1)(),(11)22s s r s s ⎛⎫+- '=--<< ⎝
所以，()1(11)r s s '=
=-<<⇒该曲线以s 为弧长参数。

11
22
2(1)(1)
()(),,0(11)
441
()8(1)
s s t s r s s s s κ--⎛⎫+- ⎪''==-<< ⎪ ⎪⎝⎭
⇒==
- 11
22()()()2(1)(1),2(1)(1),0n s t s s
s s s s κ⎛⎫
⇒==-++- ⎪⎝⎭
112
2
112
2
(1)
(1)()()()2
22(1)(1)2(1)(1
)i
j s
s b s t s n s s s s s +-⇒=∧=
-
-++- 111
222
2
)(1))(1)
,4(1)s s s s s ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭
由()n s ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
及
111
2
222())(1))(1),4(1)b s s s s s s ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭
得
111
2
2221122
1
11222222
()(),(),)(1))(1),4(1))(1))(1)3)(1)3)(1))
s n s b s s s s s s s s s s s s s s s τ=<>
⎛⎫⎛⎫=<+--+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-+-+=+-+--=-
所以，
2）21(),8(1)
s s κ=
-(11)s -<<
；1
22
())s s τ==-，(11)s -<<。

3）所求Frenet 标架是{}();(),(),()r s t s n s b s ，其中
11
22(1)(1)(),22s s t s ⎛⎫+- =- ⎝(11)s -<<， 1122()2(1)(1),2(1)(1),0n s s s s s ⎛⎫
=-++- ⎪⎝⎭
(11)s -<<，
111222
2())(1))(1),4(1)b s s s s s s ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭
(11)s -<<。

10.设()X XT P =+是3E 中的一个合同变换，det 1T =-。

()r t 是3
E 中的正则曲线。

求曲线r r =
与曲线r 的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。

解：（1）0
00
()
()
()()()()()t
t
t
t t
d r d rT P S t r d d d r T d r d S t d d τττττττττ
τ+'''=====⎰⎰
⎰
⎰⎰
可见，r r =与曲线r 除相差一个常数外，有相同的弧长参数。

（2）3
3
()()()()()()
()r t r t r t T r t T
t r t r t T
κ''''''∧∧=
=
''
()3
3
sgn(det )()()()()()()
()
T r t r t T
r t r t t r t r t κ'''∧'''∧=
=
=''
可见，r r =
与曲线r 有相同的曲率。

（3）()
()
2
2
2
,,,,,()()()
()()()()
r r r r T r T r T r T r T r T t r t r t r t T r t T
r t r t τ''''''''''''''''''<∧>
=
=
=
'''''''''∧∧∧ ()
22
22
,sgn(det )(),sgn(det )()sgn(det )()()()()
,(),()sgn(det )sgn(det )()()()(),,sgn(det )
()()
r T T r r T r T T r r T T r t r t r t r t r T r r T r r r T T r t r t r t r t r r r T r t r t ''''''''''''<∧><∧>
=
=''''''∧∧''''''''''''<∧><∧>
==''''''∧∧''''''='''∧()
2
2
,,()
()()
r r r t r t r t τ''''''=-
=-'''∧
可见，r r =
与曲线r 的曲率相差一个符号。

13.（1）求曲率22
()a
s a s κ=+（s 是弧长参数）的平面曲线()r s 。

解：设所求平面曲线()()(),()r s x s y s =因为s 是弧长参数，所以
()()22
|()|1()()1r s x s
y s '''=⇒+=⇒
可设()cos ,()sin x s x s θθ''==，由曲率的定义，知
22222
2()arctan d a a a s s d ds ds ds a s a s a s a
θκθθ==⇒=⇒==+++⎰
()cos(arctan ),()sin(arctan )
s s
x s x s
a a
''⇒=
=
()cos(arctan )s
x s ds a
==⎰
ln(a a s ===
()sin(arctan )s y s ds a ======⎰
所以，所求平面曲线()
()ln(r s a s =。

20.证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =-与曲线
()(2cos ,2sin ,)22
t t
r t t =-是合同的。

证明：1）对曲线:C ()r r t =作参数变换2t u =，则(2cos ,2sin ,2)r u u u =-。

可知
C 是圆柱螺线(2,2a b ==-)，它的曲率和挠率分别为14κ=，14τ=-。

因此，只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=-，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。

2）下面计算曲线C 的曲率κ与挠率τ。

由()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+-
⇒|()|r t '=
进而()(,2cos ,sin )r t t t t ''=-⇒
()()2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''∧=---
2(1,2sin cos )t t t =--
+
|()()|r t r t '''⨯=1
4
κ=。

()(,2sin ,cos )r t t t t '''=-⇒()8(),(),()r t r t r t ''''''=-⇒1
4
τ=-。

21.证明：定理4.4
定理4.4 设()0s κ>是连续可微函数，则
（1） 存在平面2E 的曲线()r s ，它以s 为弧长参数，()s κ为曲率； （2） 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。

证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组
1122
1()(1.1)()()()()dr
e s ds de
s e s ds de s e s ds κκ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩
给定初值00012,,r e e ，其中{}00
12,e e 是2E 中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及
0(,)s a b ∈，则由微分方程组理论得，(1.1)有唯一一组解{}
12();(),()r s e s e s 满足初
始条件：
{}{}0
000
1
2
12();(),()|
;,s s r s e s e s r e e ==。

若()r s 为所求曲线，则{}
12(),()e s e s 必是它的Frenet 标架。

因此，我们首先证明
{}
1
2
(),()(,)e s e s s a b ∀∈
均是与自然定向相同的正交标架。

将微分方程组(1.1)改写成
2
1
(1.2)(),1,2i
ij j j de a e s i ds ===∑
其中
()
22
0()()0ij s a s κκ⨯⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。

是一个反对称矩阵，即0,1,2.ij ji a a i j +==令
(1.3)
()(),()()
,1,2.ij i j ij g s e s e s g i j =<>==
对(1.3)求导，并利用(1.2)有：
2
122
112
2
11
2
1
(1.4)
()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()ij i j i j i j k j i jk k k ik k j jk i k k k ik k j jk k i k k ik
k k d d d d
g s e s e s e s e s e s e s ds ds ds ds e s e s e s a e s a e s e s a e s e s a e s e s a e s e s a
g =======<>=<>+<>=<>+<>
=<>+<>
=<>+<>
=∑∑∑∑∑∑
()
()(),1,2.
j jk ki s a g s i j +=
(1.4)表明{},1,2()ij i j g s =是微分方程组(1.5) ()
21
(1.5)
()()(),1,2.ij ik
kj jk ki k d
f s a
f s a f s i j ds ==+=∑
的解。

定义1,;
1,2.0,.ij i j i i j δ⎧===⎨
≠⎩则
0,,1,2.ij d
i j ds
δ==且
()2
1111111112
222222222
1
2
1
1221122112211221121
()0,1()0,2()0,1,2()0,2,1k k k k k k k k k k ik kj jk ki k k k k k k k k k k k a a a a i j a a a a i j a a a a a a i j a a a a i j δδδδδδδδδδ=====⎧+=+===⎪⎪⎪+=+===⎪⎪+=⎨⎪+=+===⎪⎪⎪+=+===⎪⎩∑∑∑
∑∑
即 ()2
1
,
,1,2.ij ik
kj
jk ki k d
a a i j ds δδ
δ==+=∑
所以，,1,2.ij i δ=是微分方程组(1.5)的解。

注意到：{}{}0,1,2,1,2()ij ij i j i j g s δ===，所以{},1,2()ij i j g s =是微分方程组(1.5) 满足初始条件{}{}0,1,2,1,2()ij ij i j i j g s δ===的唯一解。

从而
(),,1,2.ij ij g s i j δ≡=
所以，{}
12(),()
(,)e s e s s a b ∀∈
均是正交标架。

由于()
1212()(),(),()()(,)F s e s e s e s e s s a b =∧∀∈是关于s 的连续函数，且
()1-1F s =或。

故由
()010201020()(),(),()()=1F s e s e s e s e s =∧知，
()1212()(),(),()()=1(,)F s e s e s e s e s s a b =∧∀∈，。

可见，{}
12(),()
(,)e s e s s a b ∀∈
均是与自然定向相同的正交标架。

于是由微分方程组(1.1)有：
1()=1dr e s ds =，这表明s 为弧长参数。

从而由1()dr
e s ds
=推出1()()t s e s =是单位切向量。

由
1
2()()de s e s ds
κ=推出1()()de s t s ds κ==是曲线()r s 的曲率，从而由
1
2()()de s e s ds
κ=推出由1211()()()()()de n s t s e s s s ds κκ=
==，即2()e s 是单位正法向量。

可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：
{}{}0
000
1
2
12();(),()|
;,s s r s e s e s r e e ==
唯一一组{}12();(),()r s e s e s 的确表明：存在平面2E 的曲线()r s ，它以s 为弧长参数，
()s κ为曲率，当()s κ是连续可微函数时。

再证明（2）：设1()r s 与2()r s 是平面2E 中两条以s 为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(,)a b 上，12()()0
(,)s s s a b κκ=>∀∈。

则存在刚体运动 ()X XT P =+把曲线2()r s 变为1()r s ，即12r r =。

证明开始：设0(,)a b ∈，考虑两条曲线在0s =处的Frenet 标架
{}1
1
1
(0);(0),(0)r t n 与{}2
2
2
(0);(0),(0)r t n 。

则存在平面2E 中一个刚体运动
把第二个标架变为第一个标架，即1r 与2r 在0s =处
的Frenet 标架重合。

因此我们只须证明当曲线2()r s 与1()r s 在0s =处的Frenet 标架重合
时，21r r =。

曲线Frenet 标架的标架运动方程为
()(1.6)()()()()dr
t s ds dt s n s ds dn
s t s ds κκ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩
这是一个关于向量值函数,,r t n 的常微分方程。

曲线2()r s 的Frenet 标架与1()r s 的
Frenet 标架都是微分方程组(1.6)的解。

它们在0s =处重合就意味着这两组解在0
s =的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到21r r =。

定理证明完成。

习题三（P68）
2（1）()(,)(),(),4r u v a u v b u v uv =+-是什么曲面？
解：2222()
()4x a u v x y y b u v z a b z uv
=+⎧⎪
=-⇒-=⇒⎨⎪=⎩
马鞍面
4.证明：曲面(,)0y z F x x
=的切平面过原点。

证明：无妨假定方程(,)0y z F x x
=确定一个(,)z f x y =的隐函数，于是
121222211221()[()]0(,)011()()0x
x y y
yF zF y f f F F f xF y z x x x F F x x F F f f x x F ⎧+⎧=⋅-+⋅-+=⎪⎪⎪⎪=⇒⇒⎨⎨
⎪⎪⋅+⋅==-⎪⎪⎩⎩ 设()(,),,(,)r x y x y f x y =，则
()()122121212221122
1,0,1,0,10,,10,1,0,1,01x x x y
y y yF zF i j k
r f xF yF zF yF zF F r r xF xF F F r f F F F ⎫⎛⎫+==⎪
⎪⎛⎫++⎝
⎭⎪⇒∧==-⎬ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪==- ⎪⎪⎝⎭⎭- 所以，(,,)P x y z 处的切平面为
12122
:()()()0yF zF F
X x Y y Z z xF F π+-
-+-+-=
易见，当(,,)(0,0,0)X Y Z =时，有：
1211212
2222
=(0)(0)(0)-=0=yF zF F yF zF yF zF x y z xF F F F +++-
-+-+-=左右
所以结论为真。

6. 证明：曲面S 在P 点的切平面P T S 等于曲面上过P 点的曲线在P 点的切向量的全体。

证明：设曲面S 的参数方程为(,),(,)r r u v u v D =∈，0000(,),(,)P
r u v u v D ∈。

令
((),())u t v t 为参数区域D 中过00(,)u v 则的参数曲线，()((),())r t r u t v t =为曲面上过P 点
的曲线。

于是
0000(,)
(,)
P
u P v P
dr du dv r u v r u v dt
dt
dt
=+
这表明曲线()((),())r t r u t v t =过P 点的切向量P
dr dt
都可由00(,)u r u v 与00(,)v r u v 线性表
出。

可见过P 点的切向量
P
dr dt
都在过P 点的切平面上。

另一方面，对于任意切向量
0000(,)(,)u v P w r u v r u v T S λμ=+∈，
在参数区域D 中取过00(,)u v 且方向为(,)l λμ=的参数曲线
00((),())(,)
u t v t u t v t λμ=++
则此时，00()((),())(,)r t r u t v t r u t v t λμ==++ 从而
0000(,)(,)P
u v dr r u v r u v w dt
λμ=+=。

这表明：在P 点的切平面P T S 中每一个向量都是过P 点的某一曲线的位于P 点的切向量。

于是：曲面S 在P 点的切平面P T S 等于曲面上过P 点的曲线在P 点的切向量的全体。

25. 求双曲抛物面()(,)(),(),4r u v a u v b u v uv =+-的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向. 解： 由(,,4)u r a b v =，(,,4)v r a b u =-⇒
22216E a b v =++，2216F a b uv =-+，22216G a b u =++。

()22(),2(),u v r r b u v a u v ab ∧=+---
，)2(),2(),n b u v a u v ab =+---， 其中 22222228[2()2()]EG F b u v a u v a b -=++-+。

由0uu r =，(0,0,4)uv r =，0vv r =
⇒0,L N M ===
于是Gauss 曲率K ：
()22222
222
2222222642()2()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--⎡⎤++-+-⎣⎦
，
平均曲率H ：
22223/2223/22222228(16)(16)()4()4()2MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--⎡⎤++-+⎣⎦。

因为0M <，所以
()()
222222
2222()()0M F LN M EG F M EG H K EG F EG F ----==>⇒-
-=， 所以主曲率1κ：
12
223/2222222
((16).4()4()2M F H EG F ab a b uv b u v a u v a b κ-=+=
-⎡-+⎣⎦=⎡⎤++-+⎣⎦
对应的主方向为
1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--， 其中
112
.
F M F E
G F κ-==
-==-.
所以
:du dv ==
同理，另一个主曲率2κ：
22
223/2222222((16)4()4()2M F H EG F ab a b uv b u v a u v a b κ--==
-⎡-+⎣
⎦=⎡⎤++-+⎣⎦
，
对应的主方向为
:u v δδ==
注：设:P P W T S T S →为外恩格尔登变换，则
()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,,,;,,,u u u v u v u v v v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v W r n ar br a c W r W r r r b d W r n cr dr du W r du r dv duW r dvW r W r W r dv a c du r r b d dv du W r du r dv r du r dv r r dv a c du du r r r r b d dv d κκκ=-=+⎫⎡⎤⎪
⇒=⎬⎢⎥=-=+⎣⎦⎪⎭
⎛⎫
+=+= ⎪
⎝⎭⎡⎤⎛⎫
= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
⎛⎫+=+= ⎪
⎝⎭
⎡⎤⎛⎫∴= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭a c du du v b d dv dv κ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭
00a c du du a c du b d dv dv b d dv κκκ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⇒=⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢
⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎝⎭⎝⎭
2222
00LG MF
MG NF du EG F EG F ME LF NE MF dv EG F EG F κκ--⎡⎤
-⎢⎥⎛⎫⎛⎫
--⎢
⎥⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭-⎢
⎥--⎣⎦
22
0()()0()du LG MF EG F MG NF
dv ME LF NE MF EG F κκ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫⎢
⎥⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
()()0()()0L E G F M F MG NF du ME LF N G E F M F dv κκκκ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⇔= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥----⎣⎦⎝⎭⎝⎭
21
0001
000G
F L E M F du F E M F N
G dv G F L E M F du EG F F E M F N G dv E F L E
M F du F G M F N G dv κκκκκκκκκκκκ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⇔= ⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭
---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⇔= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎝⎭⎝⎭
00E L
F M du F M
G N dv κκκκ--⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⇔= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎝⎭
()()()():::du dv F M E L G N F M κκκκ⇔=---=---。

补充：定理
（1）函数λ是主曲率的充要条件是
0E L F M
F M
G N
λλλλ--=--。

（2）方向 d = d u :d v 是主方向的充要条件是
0()Edu Fdv Ldu Mdv
WW Fdu Gdv Mdu Ndv
++=++。

证明：（1）设:du dv 是对应的主方向，则有()W dr dr λ=，即
()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+。

分别用,u v r r 与上式两边作内积，得
()Ldu Mdv Edu Fdv λ+=+，()Mdu Ndv Fdu Gdv λ+=+。

所以主方向:du dv 满足
()()0,()()0.E L du F M dv F M du G N dv λλλλ-+-=⎧⎨-+-=⎩
由于,du dv 不全为零，可得
0E L F M
F M
G N
λλλλ--=--
（2）在脐点，20K H =≥，12H κκ==。

从而由II I H =可知L HE =，
M HF =，N HG =，()WW 中的两个方程成为恒等式。

此时，任何方向都是主
方向。

在非脐点，分别用1λκ=和2λκ=代入
()()0,()()0.E L du F M dv F M du G N dv λλλλ-+-=⎧⎨-+-=⎩
得到相应的主方向
1111:():()():()du dv F M E L G N F M κκκκ=---=---
和
2222:():()():())u v F M E L G N F M δδκκκκ=---=---。

将()()0,()()0.E L du F M dv F M du G N dv λλλλ-+-=⎧⎨-+-=⎩
改写成
()()0,()()0.Ldu Mdv Edu Fdv Mdu Ndv Fdu Gdv λλ+-+=⎧⎨+-+=⎩
由于1,λ-不全为零，有
0Ldu Mdv Edu Fdv
Mdu Ndv Fdu Gdv ++=++。

28．曲面:(,)S r r u v =上的一条曲线C 称为曲率线，如果曲线C 在每一点的切向量都是曲面S 在该点的一个主方向。

证明：曲线:()((),())C r t r u t v t =是曲率线当且仅当沿着C ，dn dt 与dr dt
平行。

证明： 设:P P W T S T S →为外恩格尔登变换，则
u v u v dr dr du dv du dv dn W W r r n n dt dt dt dt dt dt dt λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

所以，曲线:()((),())C r t r u t v t =是曲率线当且仅当沿着C ，dn dt 与dr dt
平行。

29.设(,)r r u v =是曲面S 的一个参数表示，证明：曲面S 的参数曲线u =常数和v =常数 是曲率线的充要条件是0F M ==。

证明：曲面S 的参数曲线u =常数，记0u u =是曲率线等价于曲线0()(,)r v r u v =在每一点的切向量都是曲面S 在该点的一个主方向⇔曲线0()(,)r v r u v =在每一点，
v v dr dr dn W r n dv dv dv λλ⎛⎫==-⇔=- ⎪⎝⎭
同理，曲面S 的参数曲线v =常数，记0v v =是曲率线等价于曲线0()(,)r u r u v =在每一点的切向量都是曲面S 在该点的一个主方向⇔曲线0()(,)r v r u v =在每一点，u u dr dr dn W r n du du du μμ⎛⎫==-⇔=- ⎪⎝⎭
显然，λμ≠（假若λμ=，则0u v r r ∧=矛盾！）。

从而
,00;,,,,0u v v u u u v u u v r r F M r n r n r r r r μμ<>=⇒==-<>=<->=<>=<>=。

所以，曲面S 的参数曲线u =常数和v =常数是曲率线的充要条件是0F M ==。

35.若曲面()()z f x g x =+是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成
1cos ln cos ay z a ax
=， 这个曲面称为Scherk 面。

证明：设曲面的参数方程为(),,()()r x y f x g y =+，则
()(),1,0,()0,1,()y x r r f x g y ''==，()(),(),1y x r r f x g y ''∧=--，
)
(),(),1n f x g y ''=--
(),0,0,0,()0,0,()yy xx xy r r r f x g y ''''===。

因此，221(),()(),1()E f x F f x g y G g y ''''=+==+，
0L M ==，N =。

由21202LG MF NE H EG F
-+=
=-得到0EN GL +=，即 22()()01()1()g y f x f x g y ''''+=''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦。

上式可化为
22()()1()1()f x g y f x g y ''''=-''++ (1) 由于上式左边是x 的函数，右边是y 的函数，故只能是常数，设此常数为a 。

当0a =时，由(1)可知1()f x Ax C =+，2()g y By C =+，其中12,,,A B C C 是常数。

于是该极小曲面是平面z Ax By C =++，其中12C C C =+。

(不是Scherk 曲面)
下面设0a ≠。

由(1)得2(1)f a f '''=+，令arctan f ϕ'=，即tan f ϕ'=。

则有
22sec sec f a ϕϕϕ'''==。

于是()x ax c ϕ=+。

在x 轴方向作一平移，可设0c =，从而()tan()f x ax '=，积分得
1()ln cos f x ax a
=-。

同理，由2()1()g y a g y ''=-'⎡⎤+⎣⎦可得
1()ln cos g y ay a =。

于是
1cos ()()ln cos ay z f x g y a ax =+=。

.。