四川省攀枝花市2020年高二第二学期数学期末达标检测试题含解析

四川省攀枝花市2020年高二第二学期数学期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2(),x f x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】
分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.
详解：因为()2
x
f x e x =+，所以()()f x f x -=,()
f x 为偶函数， 因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a f
a ->-，即
321a a ->-，2223
912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>
或12
a <， 选A.
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
2．设函数()ln f x x x =，()2
12
g x x =
，给定下列命题： ①若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1
(,0)k e
∈-；
②若方程()2
kf x x =恰好只有一个实数根，则k 0<；
③若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥； ④若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数1
(0,)2
a ∈. 则正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题. 【详解】
对于①，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>有ln 1x >-即1
x e >
，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e
∞（，）单调递增，
min 11
()()()f x f x f e e
===-极小值，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，
从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点， 所以1(,0)k e
∈-，故①正确
对于②，易知1x =不是该方程的根，
当1x ≠时，()0f x ≠，方程2
()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和
ln x
y x
=
只有一个交点，2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，
令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln x
y x
=在0,1（）和1e （，）单减， 在+e ∞（，）上单增，1x =是一条渐近线，极小值为e ． 由ln x
y x
=
大致图像可知k 0<或=k e ，故②错 对于③ 当120x x >>时，
[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，
等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，
即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，
即ln 1
x m x
+≥
在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1
()x r x x +=，则2
ln ()x r x x -'=，
令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，
从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==， 于是m 1≥，故③正确.
对于④ 2
()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，
即方程ln 1
2x a x
+=
有两个不同的正根， 由③可知，021a <<，即1
02
a <<，则④正确. 故正确命题个数为3，故选C . 【点睛】
本题考查利用导数研究函数有关性质，属于基础题目．解题时注意利用数形结合，通过函数图象得到结论． 3．甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为2
3
，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A ．
12
B ．1
C ．
56
D ．
1112
【答案】D 【解析】 【分析】
记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】
记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()
321114312
P A ⎛
⎫⎛⎫=-
-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()
111
111212
P A P A ∴=-=-
=，故选D. 【点睛】
本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题. 4．6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C ．60 D ．-60
【答案】C 【解析】
试题分析：依题意有()2
24
426260C x y x y -=，故系数为60.
考点：二项式．
5．在空间给出下列四个命题：
①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；
②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；
④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
本题考查空间线面关系的判定和性质．
解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理． 命题②不正确，缺少a α⊄条件．
命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件． 命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．
6．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．283
π-
B ．483
π-
C ．8π-
D ．1689
π
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。

【详解】
根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为：3414
828.383
ππ-⨯⨯=- 故答案为：B. 【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，
根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 7．为了得到cos 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移
34π
个单位 B ．向右平移
38π
个单位 C ．向左平移34
π
个单位 D ．向左平移
38
π
个单位 【答案】D 【解析】 【分析】
先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】
将函数sin2cos 22y x x π⎛
⎫
==-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
38
π
个单位，可 得3cos 2cos 2424y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的图象， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
8．将曲线22132x y
+=按1
3:12x x y y ϕ⎧=⎪⎪⎨
⎪='⎩
'⎪变换后的曲线的参数方程为（ ） A ．3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
B
．x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩
C ．1cos 31sin 2x y θθ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
D
．cos 3
2
x y θθ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
【答案】D 【解析】
由变换ϕ：1',31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得：3',2'x x y y =⎧⎨=⎩,代入曲线22132x y +=可得：()()2232132x y ''+=，
即为：22321,x y +=
令,2
x y sin θθ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
(θ为参数)即可得出参数方程．
故选D.
9．命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是（） A ．32
0000,0x x x ∃>+≤ B ．32
0000,0x x x ∃≤+≤ C ．320,0x x x ∃>+≤ D ．320,0x x x ∃≤+≤
【答案】A 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定形式书写. 【详解】
根据全称命题的否定形式可知“32
0,0x x x ∀>+>”的否定是“3200,0x x x ∃>+≤”.
故选A. 【点睛】
本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型.
10．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种 B ．150种 C ．96种 D ．114种
【答案】D 【解析】
分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.
详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：
①三个路口人数情况3，1，1，共有33
5360C A =种情况；
②三个路口人数情况2，2，1，共有223
5332
2
90C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有23
4336
C A =种，
故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.
点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.
11．复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】
2(1)1z i i i i i =+=+=-+，故对应的点在第二象限.
12．若()2100112100
2a a x a x a x x +++=+-，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．10
B ．-10
C ．1014
D ．1034
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】
()
2100112100
2a a x a x a x x +++=+-
取10.002x a =⇒=
对等式两边求导12319029
23110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=
取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C 【点睛】
本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题
13．数列{a n }满足2
12n n n a a a +=-，若{a n }单调递增，则首项a 1的范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【解析】 【分析】
先表示出1n n a a +-，结合{a n }单调递增可求首项a 1的范围. 【详解】
因为2
12n n n a a a +=-，所以2130n n n n a a a a +-=->，
解得3n a >或0n a <，则有13a >或10a <
由于22112a a a =-，所以21123a a ->或2
1120a a -<
解得13a >或11a <-， 故答案为：()(),13,-∞-+∞.
【点睛】
本题主要考查数列的单调性，数列的单调性一般通过相邻两项差的符号来确定，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
14．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．
）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为
10
4
，则线段BD 的长为_______．
【答案】2【解析】 【分析】
以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD. 【详解】
以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．
31
(0,0,0),(
,2),(0,1,0),(0,,2)(11)2
E F B D t t --≤≤ 31
(
,,2),(0,1,2)22
EF BD t ==+ 2(1)
4
102cos 5(1)4
t EF BD EF BD t θ++⋅===
⋅++ 解得t=1，所以22BD =，填2．
【点睛】
利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
15．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为2590016000L x x =-+-甲，
3002000L x =-乙 (其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为______
元．
【答案】33000 【解析】 【分析】
设其中一家连锁店销售x 辆，则另一家销售()110x -辆，再列出总利润的表达式，是一个关于x 的二次函数，再利用二次函数的性质求出它的最大值即可． 【详解】
依题意，可设甲这一家销售了x 辆电动车，则乙这家销售了()110x -辆电动车，总 总利润()()2
2
59001600030011020005600150000S x x x x x x =-+-+--=-++≥，
所以，当60x =时，S 取得最大值，且max 33000S =，故答案为33000. 【点睛】
本题考查函数模型的选择与应用，考查二次函数最值等基础知识，解题的关键在于确定函数的解析式，考查学生的应用能力，属于中等题． 16．设121i
z i i
-=
++，则||z =______. 【答案】1. 【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可.
详解：由复数的运算法则有：
()()()()
11122221112i i i
i z i i i i i i i ----=
+=+=+=++-， 则：1z i ==.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，且sin sin b c
B C
+=+
（1）求角A 的大小；
（2）若c =
ABC 的面积．
【答案】（1）4
A π
=或34A π=
；（2． 【解析】 【分析】
()1由已知及正弦定理可得sinA =
()0,A π∈，利用特殊角的三角函数值可求A 的值． ()2由()1利用同角三角函数基本关系式可得cosA ，由余弦定理可求b 的值，进而根据三角形面积公式即
可计算得解． 【详解】 （1）因为sin sin sin a b c
A B C
==，
所以
sin sin sin b c a
B C A +==+
所以
2
sin A
=，
即sin A =
因为0A π<< 所以，4
A π
=
或34
A π=
． （2）因为2222cos a b c bc A =+-， 所以2422b b =+±，
所以2220b b ±-=，解得1b =．
所以1sin 2ABC S bc A =
=
△
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18．已知复数1()z a ai a R =-+∈.
（1）若z 是纯虚数，求a ；
（2）若z =，求z .
【答案】（1）1；（2）2i -+或1-2i.
【解析】
分析：（1）根据纯虚数的定义得到100a a -=⎧⎨
≠⎩，解不等式组即得a 的值.(2)由题得
=，解之得a 的值，再求z .
详解：（1）若z 是纯虚数，
则100
a a -=⎧⎨≠⎩， 所以1a =
（2）因为z ==， 所以220a a --=，
所以2a =或1a =-.
当2a =时，12,12z i z i =+=-， 当1a =-时，2,2z i z i =--=-+.
点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.
19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点M 为椭圆上一点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知两条互相垂直的直线1l ，2l 经过椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点F ，与椭圆C 交于,,A B M N 与四点，求四边形AMBN 面积的的取值范围.
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）288[,6]49
【分析】
（1）由题意可得22222
123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l 1，l 2的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．
【详解】
（1）由题意可得22222123314c a a
b a b
c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=； （2）当直线l 1的方程为x ＝1时，此时直线l 2与x 轴重合，
此时|AB|＝3，|MN|＝4，
∴四边形AMBN 面积为S 12
=|AB|•|MN|＝1． 设过点F （1，0）作两条互相垂直的直线l 1：x ＝ky+1，直线l 2：x 1k =-
y+1， 由x ＝ky+1和椭圆22
43
x y +=1，可得（3k 2+4）y 2+1ky ﹣9＝0， 判别式显然大于0，y 1+y 22634k k -=+，y 1y 22934
k =-+， 则
|AB|=
=
•()
2221213434k k k +=++， 把上式中的k 换为1k -，可得|MN|()2
212134k k
+=+ 则有四边形AMBN 面积为S 12=|AB|•|MN|12=•()2212134k k ++•()()()
22222212172(1)343443k k k k k ++=+++， 令1+k 2＝t ，则3+4k 2＝4t ﹣1，3k 2+4＝3t+1，
则S ()()22222727272721111493141121()12()24
t t t t t t t t t ====+-+--++--+， ∴t ＞1，
∴01
t
＜＜1， ∴y ＝﹣（112
t -
）2494+，在（0，12）上单调递增，在（12，1）上单调递减， ∴y ∈（12，494
]， ∴S ∈[28849，1） 故四边形PMQN 面积的取值范围是288649⎡⎤⎢
⎥⎣⎦， 【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于难题．
20．已知集合()()(){}221120A x x a x a a =-++-+≤，51,2B x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭
，若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.
【答案】(]3,5
【解析】
【分析】
化简集合A,B,由A B B ⋃=知A B ⊆，即可求解.
【详解】
由512x ≥-，得702
x x -≤-， (]2,7B ∴=
[]1,2A a a =-+
2712
a a +≤⎧∴⎨->⎩，(]3,5a ∴∈ 【点睛】
本题主要考查了集合的交集，集合的子集，属于中档题.
21．已知且，求，，的值．
【答案】，，.
【解析】
【分析】 先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，并计算出的取值范围，然后利用半角公式计算出和的值，再利用同角三角函数的商数关系计算出的值.
【详解】 ，，. 又，， ，.
【点睛】
本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，
平面PAB ⊥平面ABCD ．
(1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；
(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析； 310. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，结合PA PB ⊥，由线面垂直的判定可得PB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAD ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MAD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A MD B --的余弦值，再由平方关系求得二面角A MD B --的正弦值．
【详解】
（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，
平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，
又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，
PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ，
平面PAD ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，
由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形， 得：()()()
220,2,0,0,2,2,2,0,A D B M ⎫--⎪⎪⎝⎭， 23223222,,1,,,1,1222222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，
由232022232022
m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-； 设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，
由020n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取
1z =，得(),,n x y z =. cos
,10m n m n m n ⋅-∴===⋅⨯． ∴二面角A MD B --的正弦值为
． 【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．。