人教版数学高二备课资料含绝对值不等式的解法

浅议解含双绝对值不等式的策略 解含双绝对值不等式问题的基本途径是去绝对值符号。

去绝对值符号的方法一般有以下几种，一是按绝对值的定义去绝对值符号；二是利用定理b a b a b a +≤±≤-；三是平方；四是考虑数形结合，如利用绝对值的几何意义，或利用函数图象。

题：解不等式1053<-++x x
分析1：利用绝对值的定义讨论，一般可考虑采用零点分段讨论法。

3+x 和5-x 的零点分别为-3和5，因此可分（1）3-<x ；（2）53<≤-x ；（3）5≥x 三种情况进行讨论。

原不等式等价为
⎩⎨⎧<--+--<10)5()3(3x x x 或⎩⎨⎧<--+<≤-10)5(353x x x 或⎩
⎨⎧<-++≥10535x x x 解得34-<<-x 或65<≤x
综上，原不等式的解集为{}64<<-x x
评注：在分段解不等式时，必须将分段区间和每类的结果求交集，然后再求在不同区间上所得解集的并集，从而得出原不等式的解集。

分析2：本题还可以运用绝对值的几何意义求解。

由绝对值的几何意义可知， 53-++x x 表示数轴上任一点到数-3和5表示的两点的距离之和，而当4-=x 及6=x 时距离之和恰好等于10，故原不等式的解集为{}
64<<-x x
分析3：利用函数图像
原不等式等价为5103--<+x x
由图易知故原不等式的解集为{}
64<<-x x
变形1：10523<-++x x
分析：若两个绝对值里x 的系数不同，一般用零点分段法或将一个绝对值移到另一边，利用函数图象，数形结合。

解略。

变形2：解不等式853<-++x x 分析：8)5()3(53=--+≥-++x x x x 则853<-++x x 不成立
故原不等式的解集是φ
评注：利用定理b a b a b a +≤±≤-，避免了不必要的讨论，简化了计算，优化了解题过程。

变形3：若不等式a x x <-++53的解集为φ，求a 的取值范围。

分析：不等式a x x <-++53的解集为φ等价于a x x ≥-++53的解集为R 即对任意的R x ∈，a x x ≥-++53恒成立
法1：设=)(x f 53-++x x
)(x f a ≤恒成立⇔min )(x f a ≤
又=)(x f 53-++x x 8)5()3(=--+≥x x
故8≤a
法2：利用绝对值的几何意义，53-++x x 表示数轴上任一点到数-3和5表示的两点的距离之和，且通过数轴表示可知距离的最小值为-3与5这两个定点之间的距离。

则8≤a 推广：若a x x >--+53解集为R ，求a 的取值范围。

分析：这种题型一般用绝对值的几何意义，53--+x x 表示数轴上任一点x 到数-3与5表示的两点的距离之差，可得到53--+x x 的范围为[]8,8-，故8-<a
评注：这类题型一般以小题形式出现，通常都可用绝对值的几何意义去解。

变形5：53-<-x x 分析：这是例题的退化形式，不难发现，不等式的两边非负，联想到2
2b a b a <⇔<， 若平方，两个绝对值可同时去掉。

原不等式等价于22)5()3(-<-x x
25109622+-<+-x x x x 则4<x 故不等式的解集为{}
4<x x。