关于二阶偏微分线性方程的化简
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（ ｙ 一 ｘｙ ｘ ＋ ， １ ＋ ｘ ２ ＋ ） － ａ
Ａ在某 区域 内连续可微 ， 则 （） 自变量的适当范围 内， ｉ在 存在矩阵 Ａ到规范形的相合
解 这个方程 的二阶项系数矩阵为
ｌ ｒ１
—
变换矩 阵 Ｐ （ｏ， － ＝ ｐ） 即其 使得
ｐ ｐ ＝ｄａ （ ， ａ ｒ ｉ ｇ Ｉ
（ １ ）
：
●
砂２ ２ 一
ｒ ．—ｃ ． ｙ 。ｙ
（） ６
其中二阶项系数矩阵 Ａ＝（ 为非零对称矩阵；上 ， ） ６， ｆ ｃ
均为自 变量的已知函数： 向量 ６ ６，２ ｂ） 称为一阶项 ＝（。 ， ｎ‘ ６ …，
系数 向量 ． 形式为
证 （） ｉ由代 数学即知 。（ｉ由定义 即知 。（ｉ 由（） ｉ ） ｉ） ５ 及链 导 ｉ
正则变换．
含 ｎ个 自变量 １也 ……， 的二阶偏微分线性方程的一般 ， 形式为
ｎ
（ ｉ用由（ ） ｉ） ｉ ｉ 确定的变换（ ） ｉ ３ 可将方程 （） １化为标准ห้องสมุดไป่ตู้（） ２。
其 中一 阶 项 系数 向量 为
Ｉ—ｃ Ｙｌ
缶 ０ ＋ Ｏ＋ ， ｎ ２ ｕ ＝ ＂ １ ｄ
合 变 换矩 阵 ．分 别 如 下 ，
ｆ ０ 、 ， Ｏ １
ｃｄ （ ｌ一） １ｏ ＝ｉ１ ， １卢Ｉ ａ’ ｇ ， ｌ ・ Ｙ１ ｊ
分 别用 ‘的各行为系数作下列方程组 ，
咖 ：
‘ 一 ｆ 主
，Ｉ ＋
／
１
（ ９ ）
ｄ ｅ＝ｄ ，ｒ＝ ｄ ＋ ｙｄ ｘｄ／ ｘ ｘ ｄ ，ｅ＝ｘ ｘ ｄ ｚ ｄ ＋ｙｙ＋ｄ ．
。 。
胁
＋ ｃｓ ｌｓ ａ
砂。
：
＝
２
＝
的行列式不等于零， 则称其为从
ａ． ｙ
２
＝
＋
喜 （ 击 斟 ＊Ｅ 耋Ｉ ） 一Ｉ ， ｌ骞 ’ Ｊ 喜— ＩＩ （ 喜 辔 ］
ｘ， ｌ ……， 到 ） ， …，＾ ，… １ ｙ 的正则变换 。 由此知 可逆线性变换是正则变换。 由隐函数存在性定理
知 正则 变 换 必有 逆 变 换 。 定理 １ 如 果 二 阶偏 微 分 线性 方 程 （）的 二阶 项 系 数 矩 阵 １
鲁 砉 ＋ ａ 善 一 。 ＋ 崭 ８一 ｄ＝ ． ｙ ｕ ｔ － …
０ ． …
例 ｌ 将下面二阶偏微分线性方程用正则变换化为标准形 Ⅳ ２ｕ ２ （ １ ＋ １ － ｘ ＋ ｘ ） （＋ ｙ－ ｕ ４ Ｘ－ 一 ＇ （２ Ｙ ＋ ＂ ２
二阶偏微分线性方程 的化简是研究数 学物理方程的重要 内容 。对于系数为变数情形，人 们仅 找出了在一点处将其化
将 其 化 简 的一 个 充 分 条 件 。
（） ｉ 如果上述矩 阵 Ｐ ） ｉ ＝ 连续可微 ， 且使方程
ｄ， ｙ ＝ｐａ ￣ ＋… ＋ｐ 西 ａ， ｈ （） ５
ｊ ， …， 卢 ，…，月，则由其确 定的变换 （ ） ） ３ 是 为标准形的方法 ， 显然是不够 的． 文给 出在一点的邻域 内 这 本 有解 ＝ （。 ）（ １
法则， 得
ｐ ＝
ａ言 ＋ ＋＝ ／ 砉 厂 ， 一
的二阶偏微分线性方程称为标准形。 ｌ正则变换化简定理
设变换
碧 毒喜音 ｔ＝
（ 、， ， … ， ） ｆ ＝ｌ ．
将其代入方程 （ ）并用乘积矩阵 Ｐ Ｐ 的（， 元为 １， Ａ ｆｍ）
＝
｛＝ ｉ ， ｆ ， ） …
定理 ２ 对于二阶偏微分线性方程（） 如果其二阶项系数 １， 矩 阵 Ａ为常数矩 阵， 则存在可逆数字矩 阵 Ｐ使得式 （） ４ 成立． 将方程（ ） １ 做可逆线性变换
崭 一 ＋ 丢 ＝ 一 崭
ａ ｕ
＝
一… ， － ．
当＋ 咖． 、 ’ 。 ２
＝ Ｐ一 （ ＝ ）， （） 或
关于二 阶偏微分线性 方程的化简
口 郭 时光
（ 四川理 工学院理学院数 学系 四川 ・自贡 ６３０ ） ４ ００
摘
要 ： 对于系数为变数的二阶偏微分线性方程 ， ｆ 找出 了在一点处将其化简成为标准形 的方法 ， 显然 Ａｔ仅 ｌ 这
正则变换 可逆线性变换 标准形 最筒形
是不够的。本文给 出在 一点的邻域 内将其化简成为标准形及最简形 的方法的一个 充分条件 ． 关键 词 ：二阶偏微分线性方程 中图分类号 ：０１ ４ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ －９ ３（ ０ ０ ０ －７—２ ０ ７３ ７ ２ １ ） ５０ ２０
．
∑∑ ， 式（ ， Ｐ 一 ４ 得 Ｐ及 ）
闰 ２
（） ３
Ｉ ＝ ｎ ， ） Ｙ …，
在某 点的邻域 内， 于变换（）如果二阶偏导数 对 ３，
， 喜 ＋． ＋ ＝ 台 Ｏ 喜 ｕ
＋ ｋ ｌｒ＝ ＝ １ ａ
挚，ｌ， 存且续 耶比阵 （＝ 在连， 可矩 ｆ ，） …均 且
解之 ， 得所需正则变换
＝ Ｘ ＋
善
．
ｚ
…
， ＝ ７
＝ ｘ ２＋１ ２
熹于 ＋ ， 一 喜 ｃ ｄ ２
ａ』＝（ｙ ｙ ～ ａ
，
方程 （ ） ７ 作此变换， 得标准形
＋Ⅳ 一 ｆ＋（ 卯 ｆ ２＋ ｆ＋“ 吁＝０
一 Ｖ ． ２ Ｊ，
， ・
Ｄ） ＝ｃ ・
（） ４
１ ＋ ｘ ｘ 一 ｙＹ ｙ — —
一 １ 一 一 ｌ Ｙ 一 ｙ ＋ ＼ 碡 ＋
其中，、 ， ， 分别是 Ｐ、ｒ Ｐ阶单位矩阵。 —
— —
用代数方法，可求得其规范形 Ｃ以及从Ｑ到 Ｃ的一个相
斟协论坛 ・２ １ ０ ０年第 ５ 下 ）—— 期【
（ ８ ）
骞谤＋ 十 ｕ － ＝ ＋ ． 静 一
：
其中、 １ ２…， ） 、， ），２…， ｘ＝ ， ， Ｊ＝（ｌ ， Ｊ ） ， ， ，
量依次为ｃ 、 ｒＴ （ ｌ 。 Ｐ ＝ ｄ ，ｄ ，…， ） 其 中 ｂ为方程（） ， １的 （２。 １）
Ａ在某 区域 内连续可微 ， 则 （） 自变量的适当范围 内， ｉ在 存在矩阵 Ａ到规范形的相合
解 这个方程 的二阶项系数矩阵为
ｌ ｒ１
—
变换矩 阵 Ｐ （ｏ， － ＝ ｐ） 即其 使得
ｐ ｐ ＝ｄａ （ ， ａ ｒ ｉ ｇ Ｉ
（ １ ）
：
●
砂２ ２ 一
ｒ ．—ｃ ． ｙ 。ｙ
（） ６
其中二阶项系数矩阵 Ａ＝（ 为非零对称矩阵；上 ， ） ６， ｆ ｃ
均为自 变量的已知函数： 向量 ６ ６，２ ｂ） 称为一阶项 ＝（。 ， ｎ‘ ６ …，
系数 向量 ． 形式为
证 （） ｉ由代 数学即知 。（ｉ由定义 即知 。（ｉ 由（） ｉ ） ｉ） ５ 及链 导 ｉ
正则变换．
含 ｎ个 自变量 １也 ……， 的二阶偏微分线性方程的一般 ， 形式为
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（ ｉ用由（ ） ｉ） ｉ ｉ 确定的变换（ ） ｉ ３ 可将方程 （） １化为标准ห้องสมุดไป่ตู้（） ２。
其 中一 阶 项 系数 向量 为
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合 变 换矩 阵 ．分 别 如 下 ，
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分 别用 ‘的各行为系数作下列方程组 ，
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。 。
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ｘ， ｌ ……， 到 ） ， …，＾ ，… １ ｙ 的正则变换 。 由此知 可逆线性变换是正则变换。 由隐函数存在性定理
知 正则 变 换 必有 逆 变 换 。 定理 １ 如 果 二 阶偏 微 分 线性 方 程 （）的 二阶 项 系 数 矩 阵 １
鲁 砉 ＋ ａ 善 一 。 ＋ 崭 ８一 ｄ＝ ． ｙ ｕ ｔ － …
０ ． …
例 ｌ 将下面二阶偏微分线性方程用正则变换化为标准形 Ⅳ ２ｕ ２ （ １ ＋ １ － ｘ ＋ ｘ ） （＋ ｙ－ ｕ ４ Ｘ－ 一 ＇ （２ Ｙ ＋ ＂ ２
二阶偏微分线性方程 的化简是研究数 学物理方程的重要 内容 。对于系数为变数情形，人 们仅 找出了在一点处将其化
将 其 化 简 的一 个 充 分 条 件 。
（） ｉ 如果上述矩 阵 Ｐ ） ｉ ＝ 连续可微 ， 且使方程
ｄ， ｙ ＝ｐａ ￣ ＋… ＋ｐ 西 ａ， ｈ （） ５
ｊ ， …， 卢 ，…，月，则由其确 定的变换 （ ） ） ３ 是 为标准形的方法 ， 显然是不够 的． 文给 出在一点的邻域 内 这 本 有解 ＝ （。 ）（ １
法则， 得
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的二阶偏微分线性方程称为标准形。 ｌ正则变换化简定理
设变换
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（ 、， ， … ， ） ｆ ＝ｌ ．
将其代入方程 （ ）并用乘积矩阵 Ｐ Ｐ 的（， 元为 １， Ａ ｆｍ）
＝
｛＝ ｉ ， ｆ ， ） …
定理 ２ 对于二阶偏微分线性方程（） 如果其二阶项系数 １， 矩 阵 Ａ为常数矩 阵， 则存在可逆数字矩 阵 Ｐ使得式 （） ４ 成立． 将方程（ ） １ 做可逆线性变换
崭 一 ＋ 丢 ＝ 一 崭
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关于二 阶偏微分线性 方程的化简
口 郭 时光
（ 四川理 工学院理学院数 学系 四川 ・自贡 ６３０ ） ４ ００
摘
要 ： 对于系数为变数的二阶偏微分线性方程 ， ｆ 找出 了在一点处将其化简成为标准形 的方法 ， 显然 Ａｔ仅 ｌ 这
正则变换 可逆线性变换 标准形 最筒形
是不够的。本文给 出在 一点的邻域 内将其化简成为标准形及最简形 的方法的一个 充分条件 ． 关键 词 ：二阶偏微分线性方程 中图分类号 ：０１ ４ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ －９ ３（ ０ ０ ０ －７—２ ０ ７３ ７ ２ １ ） ５０ ２０
．
∑∑ ， 式（ ， Ｐ 一 ４ 得 Ｐ及 ）
闰 ２
（） ３
Ｉ ＝ ｎ ， ） Ｙ …，
在某 点的邻域 内， 于变换（）如果二阶偏导数 对 ３，
， 喜 ＋． ＋ ＝ 台 Ｏ 喜 ｕ
＋ ｋ ｌｒ＝ ＝ １ ａ
挚，ｌ， 存且续 耶比阵 （＝ 在连， 可矩 ｆ ，） …均 且
解之 ， 得所需正则变换
＝ Ｘ ＋
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方程 （ ） ７ 作此变换， 得标准形
＋Ⅳ 一 ｆ＋（ 卯 ｆ ２＋ ｆ＋“ 吁＝０
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（） ４
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一 １ 一 一 ｌ Ｙ 一 ｙ ＋ ＼ 碡 ＋
其中，、 ， ， 分别是 Ｐ、ｒ Ｐ阶单位矩阵。 —
— —
用代数方法，可求得其规范形 Ｃ以及从Ｑ到 Ｃ的一个相
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骞谤＋ 十 ｕ － ＝ ＋ ． 静 一
：
其中、 １ ２…， ） 、， ），２…， ｘ＝ ， ， Ｊ＝（ｌ ， Ｊ ） ， ， ，
量依次为ｃ 、 ｒＴ （ ｌ 。 Ｐ ＝ ｄ ，ｄ ，…， ） 其 中 ｂ为方程（） ， １的 （２。 １）