考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷32(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷32(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设则F(x)在x=0处( )
A．极限存在但不连续。

B．连续但不可导。

C．可导。

D．可导性与a有关。

正确答案：D
解析：即F(x)在x=0处的可导性与a有关。

所以选D。

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2．设f(x)=∫0xf(t)dt则( )
A．F(x)在x=0处不连续。

B．F(x)在(一∞，+∞)内连续，但在x=0处不可导。

C．F(x)在(一∞，+∞)内可导，且满足F’(x)=f(x)。

D．F(x)在(一∞，+∞)内可导，但不一定满足，F’(x)=f(x)。

正确答案：B
解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外的其他点都连续，且x=c为f(x)的跳跃间断点。

又设F(x)=∫cxf(t)dt，则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]且x≠c时，F’(x)=f(x)；
③F’(C)必不存在，且F+’?=f(c+)，F-’(C)=f(c-)。

直接利用上述结论(本题中的c=0)，可知选项B正确。

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3．设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )
A．∫0x[f(t)一f(一t)]dt
B．∫0xt[f(t)+f(一t)dt
C．∫0xf(t2)dt
D．∫0xf(t)2dt
正确答案：B
解析：取f(x)=x，则相应的均为奇函数，故不选A、C、D。

应选B。

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4．如图1-3-1，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周。

设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：结合定积分的几何意义，可知知识模块：一元函数积分学
5．设函数若反常积分∫0+∞f(x)dt收敛，则( )
A．α＜一2
B．α＞2
C．一2＜α＜0
D．0＜α＜2
正确答案：D
解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为知识模块：一元函数积分学
6．设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )
A．仅与m的取值有关。

B．仅与n的取值有关。

C．与m，n的取值都有关。

D．与m，n的取值都无关。

正确答案：D
解析：显然x=0，x=1是该积分的两个瑕点，因此有对于等价于．因为m，n均为正整数，有收敛。

对于的瑕点x=1，当时而积分显然收敛，因此积分也是收敛的。

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7．曲线y=e-xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( )
A．一∫03πe-xsinxdx
B．∫03πe-xsindx
C．∫0πe-xxsinx－∫π2πe-xsinxdx+∫2π3πe-xsinxdx
D．∫02πe-xsindx一∫2π3πe-xsindx
正确答案：C
解析：当0≤x≤π或2，π≤x≤3π时y≥0，当π≤x≤2π时y≤0.所以y=e-xfsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积为∫0πe-xsinxdx－∫π2πe-xsinxdx+∫2π3πe-xsinxdx。

故选C。

知识模块：一元函数积分学8．曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的平面图形的面积可表示为( ) A．一∫02x(x一1)(2一x)dx。

B．∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dx。

C．一∫01x(x-1)(2－x)dx+∫12x(x-1)(2－x)dx。

D．∫02x(x一1)(2一x)dx。

正确答案：C
解析：由于所求平面图形在x轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查B、C选项中的每一部分是否均为正即可，显然C正确。

事实上，S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01x(x一1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x一1)(2一x)｜ax=一∫01z(x-1)(2－x)dx+∫12x(x-1)(2－x)dx。

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9．如图1-3_2，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf’(x)dx等于( )
A．曲边梯形ABOD面积。

B．梯形ABOD面积。

C．曲边三角形ACD面积。

D．三角形ACD面积。

正确答案：C
解析：因为∫0axf’(x)dx=∫0axdf(x)=xf(x)｜a－∫0af(x)dx=af(A)一∫0af(x)dx，其中af(A)是矩形ABOC的面积，∫0af(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以上∫0axf’(x)dx为曲边三角形ACD的面积。

知识模块：一元函数积分学
10．由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得故选B。

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11．由曲线y=1一(x一1)2及直线y=0围成图形(如图1—3—3)绕y轴旋转一周而成的立体体积V是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：按选项，要把曲线表示成x=x(y)，于是要分成两部分则V是以下两个旋转体的体积之差：知识模块：一元函数积分学
12．曲线r=aebθ的(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为( ) A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选A。

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13．半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1。

若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为( ) A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：如图1—3一7所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相应的小横条所受压力微元知识模块：一元函数积分学
填空题
14．=__________。

正确答案：
解析：知识模块：一元函数积分学
15．当a＞0时，=__________。

正确答案：
解析：知识模块：一元函数积分学
16．=__________。

正确答案：
解析：令x=tant，则dx=sec2tdt，于是知识模块：一元函数积分学
17．已知曲线y=f(x)过点，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=________。

正确答案：
解析：知识模块：一元函数积分学
18．=__________。

正确答案：一4π
解析：知识模块：一元函数积分学
19．=__________。

正确答案：
解析：令x一1=sint，则知识模块：一元函数积分学
20．=__________。

正确答案：0
解析：知识模块：一元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．计算
正确答案：使用分部积分法和换元积分法。

涉及知识点：一元函数积分学
22．设f(x)=∫-12e-y2dy，计算I=∫13f(x)dx。

正确答案：f’(x)=一e-(x-1)2，由分部积分公式可得涉及知识点：一元函数积分学
23．设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx。

正确答案：由题意涉及知识点：一元函数积分学
24．已知f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫02f’’(2x)dx。

正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
25．设f(x)连续可导，F(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt。

证明：F(2a)一2F(A)=f2(A)-f(0)f(2a)。

正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
26．设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明
正确答案：连续利用分部积分法有涉及知识点：一元函数积分学
27．设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。

正确答案：证明：必要性：设φ(A)=∫aa+1f(x)dx一∫01(x)dx，由题设φ’(A)=f(a+l)一f(A)=0，则φ(A)=c(常数)。

设a=0，则c=φ(0)=0，那么上∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。

充分性：在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(0)=0，故f(x)以l为周期。

涉及知识点：一元函数积分学
28．计算
正确答案：利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是涉及知识点：一元函数积分学
计算下列反常积分(广义积分)。

29．
正确答案：由于x2—2x=(x一1)2—1，因此为去掉被积函数中的根号，可令x一1=sect则有涉及知识点：一元函数积分学
30．
正确答案：采用分解法与分部积分法，由于，故可将被积函数分解，并用分部积分法有涉及知识点：一元函数积分学
31．设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosdx=0。

试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。

又因为0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在±∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx 恒为正或恒为仍．与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时，sinπ≠0，故F(ξ)=0。

由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。

涉及知识点：一元函数积分学
32．设f(x)在[0，+∞]连续，且证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。

正确答案：作函数F(x)=f(x)+x，有所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(A)＜0，即F(A)＜0。

又因为所以，由极限的保号性，存在b＞a，使，即F(B)＞0。

因此，由介值定理，至少存在一个ξ∈[a，b]c(0，+
∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。

涉及知识点：一元函数积分学
33．设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
正确答案：由已知∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x一a)=[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x 一a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则m(a一x)≤(a—x)f’(x)≤M(a一x)，故，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得涉及知识点：一元函数积分学
34．设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足，证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ).tanξ。

正确答案：由f(x)在区间[a，b]上可导，知f(x)在区间[a，b]上连续，从而F(x)=f(x).cosx在上连续，由积分中值定理，知存在一点使得在[c，b]上，由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(c，b)c(a，b)，使F’(ξ)=f’(ξ)cosξ一f(ξ)sinξ=0，即得f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。

涉及知识点：一元函数积分学
35．证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a);
正确答案：设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即m ≤f(x)≤M，x∈[a，b]。

根据定积分性质，有m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b一a)，即根据连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得即∫abf(x)dx=f(η)(b一a)。

涉及知识点：一元函数积分学
36．若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。

正确答案：由(I)的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)，又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。

对φ(x)在[1，2]，[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)可得在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有涉及知识点：一元函数积分学
设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。

37．试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；
正确答案：本题可转化为证明x0f(x0)=∫01f(x)x。

令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即φ’(x0)=x0f(x0)
一∫01f(t)dt=0。

也就是x0f(x0)=∫01f(x)dx。

涉及知识点：一元函数积分学
38．又设f(x)在区间(0，1)内可导，且证明中的x0是唯一的。

正确答案：令F(x)=xf(x)一∫01f(t)dt，且由有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即r(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此(I)中的点x0是唯一的。

涉及知识点：一元函数积分学
39．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。

证明∫abf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

正确答案：令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫0xF(t)dt，由题设C(x)≥0，x∈[a，b]，且G(A)=G(B)=0，G’(x)=F(x)。

从而∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)∫ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。

由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。

因此可得∫abxfdx≤∫abxg(x)dx 涉及知识点：一元函数积分学
40．设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。

证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(A)g(1)。

正确答案：设F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]，由于x∈[0，1]时,f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。

注意到F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(1)g(1)，而又因为∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)∫01f(t)g’(t)dt=f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt，故F(1)=0。

因此x∈[0，1]时，F(x)≥F(1)=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(A)g(1)。

涉及知识点：一元函数积分学
41．设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
42．设证明曲线y=f(x)在区间(ln2，+∞)上与x轴围成的区域有面积存在，并求此面积。

正确答案：考虑广义积分的收敛性。

因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。

取变换ex=sect，则x=ln(sect)，exdx=secttantdt，涉及知识点：一元函数积分学
43．设f(x)=∫-12t｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与戈轴所围封闭图形的面积。

正确答案：因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数f(x)=∫-10t｜t｜dt=∫-10t｜
t｜dt+∫0xt｜t｜dt为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。

又由f’(x)=x｜x｜，可知x＜0时f’(x)＜0，故f(x)单调减少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。

当x＞0时f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。

综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。

所以封闭曲线所围面积涉及知识点：一元函数积分学
44．椭球面S2是椭圆绕戈轴旋转一周而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕x轴旋转一周而成。

(I)求S1及S2的方程；(Ⅱ)求S1与S2之间的立体体积。

正确答案：(I)由题意得S1的方程为涉及知识点：一元函数积分学。