《如何改编习题 提高复习效率》论文

如何改编习题提高复习效率
吉安市永丰县恩江中学邓武高
依“标”据“本”是搞好中考数学复习的要求和方向，在此前提下如何提高课堂复习效果，这是每位九年级教师最关心的事，对于复习课怎样上？每人都有自己的“模式”，就是同一人对不同内容也会有不同的方法，真可谓是有法而无定法，但不论你使用什么方法，复习课总离不开“题”，因为“题”是数学知识和数学思想方法的载体，学生对知识与方法的掌握,能力与思维层次的提高，都是在老师引导下，通过多次析题，解题的过程进行提炼、概括、感悟才获得的.换句话来说，要想提高复习效果，必须从“题”的角度去想办法、找出路.笔者在多年的教学实践中，经过实验对比认为以“题组”形式复习不失为一种好方法.
一．题组的意义与要求
我说的“题组”是将一个已有的习题（下称起点题）进行系列改编或变式，形成一组题或一个题链.这样的题组或题链决不是简单机械的重复训练题，它与题海式训练题截然不同.而是有一定系统性、针对性，有明确的考查目标和培养方向，她有利于多方面地促使学生对知识本质的认识，有利于对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.
二．题组编制方法与策略
题组复习模式，要真正能促使学生对知识融会贯通，解题能力有着质的飞跃，很大程度上决定老师改编的题组的质量高低，那么改编习题有哪些方法呢？我认为首先要结合复习内容，有针对性地选好起点题，这个起点题可以是课本上的例、习题，也可以是往年的中考题.只要题的基础好，有它的发展的空间，就可以将它进行拓展、引申,即变式或改编.改编的方法很多，例如，改换或置换题设与结论，强化或弱化条件；改变或转换考查目标与题型，纵向挖掘，横向发展，以及改换试题背景，改变命题的呈现形式（如开放、探索式），改换图形（如由等腰直角三角形改为等边三角形或直角三角形或一般等腰三角形）等.同一起点题需要进行多方面、多角度进行改编，在控制难度的前提下，达到题组所要发挥的功效.
三．题组的功能与效果
由于改编起点题实质上是一个不断变更问题的过程，只要先把起点题弄懂了，对解答相应的变式题的情境就熟悉了，解题的突破口也易找到，这比解一个一个不太相干题要省时间.更主要的是题组能把分散的知识点串成一条线，学生可以将知识前后联系，从整体上去掌握知识，同时也能打破学生的思维定势，领悟知识与方法的内在联系，拓展思路，发展智力，创新意识的培养也就寓于其中了.又由于在题组中，题与题之间有着“形散而神不散”的本质联系，其解题规律也自然得到呈现，在这样的题组教学中，不仅能增强学生举一反三，触类旁通的应变能力，也能有效地训练学生思维的广阔性和灵活性.
四．改编与复习例举
1．改换题设拓展知识深度和广度
对习题的题设或结论进行变换、增加或者题设与结论置换.这是改
编习题最基本的形式.它能将一个问题从多个角度或反向来研究，同时
加深学生对知识的系统理解,增强学生解题的应变能力，培养学生思维
的灵活性和想象力.
【起点题】（北师版，九年级上册9P ）如图1，∠CAE 是△ABC 的外角，A D ∥BC ，且∠1=∠2，求证：AB=AC.
说明：本题是通过平行的性质，结合等角对等边来证明结论.
改编1、如图1，∠CAE 是△ABC 的外角，AB=AC ，且∠1=∠2，求证： A D ∥BC.
说明：本题将起点题中条件（A D ∥BC ）与结论（AB=AC ）置
换，实际上就是变换条件和结论，其功能就本题来说也是考查一
般的推理论证过程，不过所考查的知识点发生了改变（等边对等
角，三角形外角性质和平行线的判定），又是互逆定理放在上、下
题来思考，对学生思维也应产生一定的激发作用，对知识的认识
自然深刻的多.
改编2. 如图2，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且∠1=∠
2，AF 为△ABC 的中线，求证：AF ⊥AD.
说明：此题增加了条件“AF 为△ABC 的中线”，结论变为“AF
⊥AD ”此时实质上是拓展，引申了起点题，将复习内容予以拓
宽（即增加了等腰三角形的“三线合一”的性质的考查）.
改编3. 如图3，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且∠1=
∠2，过AC 的中点H 作AD 的垂线交AE 于G ，求证:AG=12
AB. 说明：改编3增加了题设“过AC 的中点H 作AD 的垂线交
AE 于G ”，结论变为“AG=12
AB ”，这样改的目的是为了加强对等腰三角形“三线合一”逆向思维，同时增加了等腰三角形与三角形全等等知识的综合运用.
改编4. 如图4，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且∠1=∠2，
过C 作CG ⊥AD 于G ，F 为BC 的中点，连结FG.
（1）AC 与FG 有何数量关系？并说明理由；
（2）当AC ⊥FG 时，△ABC 应为什么三角形？
说明：此题是从知识点相对单一的习题向有一定综合度方向进
行改编，改编后不仅所考查的知识内容有所拓展，思维量也大幅度
增加，能力要求也提高到较高的层次.其表现在对结论的猜想与验
证，同时又要对产生某个结论的条件进行探索.
改编5. 如图5，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且∠1=∠2，
过C 作CD ∥AB 交AD 于D ，那么当△ABC 增加什么条件时，BD ⊥AC ，
并说明其理由.
说明：本题与改编4具有同样的能力要求，但在知识点的考查
方面却选择另一个角度（补充等边三角形判定的考查），这样有利于
培养学生思维的广阔性.
本题组是对起点题的五种变式，主要是从题设、结论改变或拓
展，知识内容涉及到等腰三角形的性质、判定为主线展开；能力方面是从简单的推理论证逐步向具有一定综合运用知识的能力发展.本题组若仅对等腰三角形问题的复习，最多只能用 到“改编5”为止，若要变成综合题，还可以纵深挖掘，如把起点题图置于圆中，顶点在圆上运动，试题综合性将大大增加.
【起点题】如图6，四边形ABCD是一张矩形纸片，请你
用它折出四个等腰三角形，并在图中画出虚线折痕.
说明：本题折叠要求比较简单，但方法不唯一.
实际上就是矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形.
改编1、如图7，四边形ABCD是一张正方形纸片，请你
按上题方式折叠，试问图中还是四个等腰三角形吗？这些等腰三角形有
什么变化？
说明：本题相对起点题条件特殊，主要是问结论是否也特殊了？其
目的是加强直觉思维的培养以及对等腰三角形判定和对图形的识别。

（答：8个，都是等腰直角三角形）.
改编2.你用起点题中的矩形纸片折出一个等边三角形（要求：矩形
的四顶点中，只能一个为等边三角形的顶点），并在图中画出虚线折痕.
说明：本题是从改变折出的图形的要求来构题的，由此折叠过程肯定有所不同，相应考查角度也有所改变，起点题是根据等腰三角形定义来寻找折叠方法，而本题则是从等腰三角形“三线合一”的性质思考.
【答】：
改编3、请用改编1中的正方形纸片折出一个等边三角形（要求：正方形的四个顶点中，必须有二个是等边三角形的顶点），并画出虚线折痕.
说明：本题是为了改变改编2的解答思路，即另辟蹊径寻找其他折叠方法，这样有利于对等腰三角形问题的深刻认识.
【答：】
以上两个题组是运用题组复习等腰三角形的一个例举，题组1偏重基本知识和基本技能的层面上复习，题组2则以实验操作提高学生解题能力的层面上复习,同时加深了轴对称与折叠之间的关系的理解,对空间观念的发展也起了一定的作用.
2、改变图形，追求知识本质的理解
题组3.
【起点题】（2007年，江西）如图8，已知∠AOB，OA=OB，
点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在
图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
说明：本题是运用矩形对角互相平分，且交点在等腰△AOB的
顶角平分线上来解决问题.
改编1、如图9，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图
中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
改编2.如图10，已知∠AOB，E、F分别在OA、OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
改编3.如图11，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
本题组是将起点题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，虽然大家都能很快找到解决办法，但它们各自却用,不同知识解决同一问题,使学生的思维得以发散.
题组4.
P）如图12，有一个圆柱，它的高为12厘米，底面【起点题】（北师大版八年级上册
13
半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面对面与A点相对的B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（ 取3）
说明：本题在理解圆柱的展开图后，运用勾股定理求出AB.
改编1、如图13，一只蚂蚁，它想从A点出发，沿正方体表面把食物搬运到B处，它需要爬行的最短路程是多少？
改编2、如图14，在一个长方体中，AC=3cm，CD=5cm，DB=6cm，求在长方体表面从A到B的最短距离.
改编3、如图15是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？
本题组是将圆柱改成正方体、长方体和台阶，图形发生变化，也可以说是情境（即空间感）有所变化，虽然考查的都是转化思想(由立体转化成平面)，运用的知识都是勾股定理，但转化的过程却有所不同.如改编1是沿CD摊开成矩形求对角线，改编2既可沿EF摊开，
又可沿CE摊开，求出各自矩形的对角线长后进行比较才可确定，改编3应把台阶看成是纸片折成的，拉平（没高度）成一张矩形（长为3×3+2×3=15，宽为20）的纸.由此可看出在解决此题组时，思维方式是有所不同的,但本质却是一样.
题组5.
P）
【起点题】（人教实验版教师用书九年级上册
227
如图16,AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，若OB=5，则BC等于 .
说明：本题主要是考查直径所对的圆周角是直角和含30°的直角三角形的相关性质。

（BC=5）改编1、如图17, AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AC交AC 于点B，连结BD，若OB=5，求BD的长.
说明：本题是把“OB⊥AD”改为“OB⊥AC”, 求BC改为求BD,这样一改增加了对垂径
定理和含勾股定理的考查，试题思维量增多了，题也活了。

（BD=
改编2、如图18,是一块含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB 位置,在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.
(1) 当旋转7.5秒时,连结BE,求证:BE=CE；
(2) 当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少?
(3). 设旋转x秒后,E点处的读数为y度,求y与x的函数式.
说明：由于△ACD是一个含30°的直角三角形，AD把圆分成两半，如果拿掉图16中AC、DC，此图就可看成一个30°角的三角板与一块量角器的拼图，若再添一条绕点C 旋转的射线，试题的设问也自然就产生了.本题从考查的知识点来看添加内心、外心概念、圆心角的性质、圆心角与圆周角的关系、量角器度数的识别，而且试题呈现的形式精彩,考查角度有所创新.运用函数思想刻画是动态过程，最成功的一点还是逆用了“直径所对圆周角是直角”，有利于培养和发展学生求异思维、逆向思维.( 答：∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°, BE=EC; E处的读数为120、 90 ；y=180-4x)
本题组由于图形改变，产生了不同的结果，三个题下来将圆的前大部分知识串成一线，并用不同形式，不同角度对圆的最本质东西进行了考查.因此本题组无论是对知识点的复习还是对学生的思维品质培养及解题能力的提高都将是恰到好处.
3．改换题型，增强思维的灵活性和深刻性
改换题型有两种情况，一种是仅在形式上的变换，如填空题改选择题，这种变换在复习过程中发挥不了多大的作用，另一种是会影响解答过程和思维方式的变化，才对复习效果的
提高起一定作用，如封闭性试题改开放探索题，静态题改为动态题等.由此可知题型的改换，既可将有关知识重心复习，又能活跃思维、强化思想方法的掌握.
p第4题）
题组6、【起点题】（人教大纲版初三几何
159
如图19，正五边形的对角线AC和BE相交于点M. 求证：（1）ME=AB；
ME=B E·BM.
（2）2
说明：本题由正五边形性质可找到许多等角、等边、平行线段或全等、相似的等腰三角形，因此对推理论证其结果并不困难。

由此正好适合进行题型改编。

改编1.如图19，设正五边形的对角线AC和BE相交于点M.
（1）问四边形EMCD是怎样的四边形？试证明你的结论；
（2）观察图形，提出一个与点M有关的问题（不要求解答）.
说明：由于起点题的结论丰富，发现可以引导学生去探索图中某个三角形或四边形特征，也可由学生去寻找题中不同层次、有价值结论，于是就改成这样一道开放探索题。

改编2、：如图20，五边形ABCDE是圆的内接正五边形AC与BE交于M，现给你一把无刻度的直尺，请你确定正五边形的中心（要求：保留作图痕迹，不证明）.
说明：在改编1的基础上不难发现D、M两点都落在AB的中垂线上，由于存在这个结论，自然发现用无刻度的直尺可以确定五边形的中心位置。

改编3、：某校一次数学兴趣活动中对如图21所示的正五角星进行如下探讨和交流.
A同学:正五角星的五个角都是36
B同学:正五角星是轴对称图形,共有五条对称轴
C同学:在不添加辅助线的情况下,图中共有10个等腰三角形
D同学:连结BC、CD后，与BC或CD有关的等腰三角形有4个
E同学；图中有5点是线段的黄金分割点
（1）问A、B、C、D同学的说法是否全对？请你将不对的
或不全对的说法给予纠正（不证明）；
（2）E同学说的黄金分割点，请指出其中一个点并给出证明.
说明：由于正五角星顶点就是正五边形的顶点，于是将正五边形改成五角星，这样改换下的图形，其本质没有变，图形包含诸多结论仍然存在，前面的改结论或找方法，这题就改成直接呈现结论，由学生辩析、判断，并验证较深层的结论，于是形成了这道辩析性交流题.此题的特点是提供思辩素材，引导学生运用各种思维形式进行讨论，辩析错在何处，不仅培养了学生思维的批判性，而且还提高了学生解开放题能力，养成良好的思维习惯.
本题组是由一道传统的几何证明题改成开放探索题、作图题、交流题。

由于题型的改变
就是思维角度或方式的改变，如改编1需要仔细观察图形后合理猜想、寻找、挖掘与M 点有关的结论;改编题2是限制工具的作图，其思维角度与前两题有着根本的不同，需对正五边形的性质特点从另一角度去探索、寻找到符合要求的求作方法；改编3相对前面三题更全面地理解、分析、归纳图中各种关系。

因此本题组有着激发学生的探索欲，培养学生的自主探索精神，训练学生思维的灵活性和深刻性的功能，是复习过程中进行题型分析教学的好材料。

4．改换角度，理清知识之间相互联系
用改换角度的策略去编制题组，其作用是使学生学会变换角度去认识知识和思考问题.特别是对互相之间联系密切、并经常相互转化的知识内容（如相反数、绝对值、数轴之间的关系），采用改换角度，形成链状的变式题组来复习，将是事半功倍的效果，因为其题组功能把相关知识（包括方法和技能）自然、顺畅、扎实地联系起来，同时还使知识得到深化发展.如下面题组.
题组7.
【起点题】（人教实验版九年级上册46P 第12题）
方程2(3)(2)0x x p ---=总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.
说明：用“2
4b ac -”大于0来说明理由.
改编1.不论p 为何值时抛物线2(3)(2)y x x p =---一定与x 轴有两个交点吗？先回答再说明理由.
说明：由验证一元二次方程根情况改为验证抛物线与x 轴的交点情况。

改编2、当p=0时，画出抛物线2(3)(2)y x x p =---的图象，并根据图象写出不等式 2(3)(2)0x x p ---<的解集.
说明：由抛物线与x 轴的交点问题横向拓展到利用二次函数图象直接看出一元二次不等式的解集。

改编3、若p=1时，抛物线2
(3)(2)y x x p =---与直线y=2是否有交点?若有求出交点，若没有请说明理由.
说明：由抛物线与x 轴的交点问题纵向拓展到抛物线与直线y=2的交点问题。

其本质是探究当P=1,y=2时,一元二次方程根的情况.
改编4、若关于x 的方程2(3)(2)(3)x x p p p ---=-有两个不相等的实数根，求p 的取值范围.
说明：本题可以说是由抛物线与平行于x 轴的直线的交点问题又转向到一元二次方程根的情况问题。

本题组分别从一元二次方程的根的情况的判断，抛物线与x 轴的交点是否有交点，以及观察抛物线写出y ＞0（或y ＜0）时，x 的取值范围等这几个角度来改编的，这对搞清它们之间的关系有着“对症下药”的作用.
5、改编情景，训练理解能力和建模能力
对于应用性问题复习，关键是如何引导学生理解题意，建立数学模型，因此我们应选择一些具有代表性的应用题，根据当前课程改革的要求拓展其内涵，赋予时代气息的实际内容，并且可以在同一种建模形式换上不同的实际背景，形成题组训练后感悟到如何建立这类问题的数学模型，起到提高解应用性问题的能力的作用.
题组8.【起点题】（2005年淄博市）
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第-次）共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
说明：本题需分：①当0＜x ≤20，20≤y ≤40；②当0＜x ≤20，y ＞40； ③当20＜x ＜25，则25＜y ＜30， 三种情况来列方程解答.
改编1.（2007年江西）李云是某农村中学的在校住宿生, 开学初父母通过估算为他预存了一个学期的伙食费600元,学校的学生食堂规定一天的伙食标准：早餐每人1元, 中餐、晚餐只能各选一份价格如下表中的饭菜.
(1).请问该校每位住宿生一天的伙食费有几种可能的价格？其金额各是多少元？
(2).若李云只选择（1）中的两种价格，并计划用膳108天，且刚好用完预存款，那么他应该
选择哪两种价格？两种价格各用膳多少天？ 说明:本题将起点题的情景改编成一个活生
生的实际问题由学生自己解决，题中的已知量和
所求量与实际中的用膳问题一一对应，克服了以
往一些应用问题中将明摆着是已知的东西，强把
它设置成未知量与实际相违背的情景.在试题功能方面与起点题一样，同样考查了:①阅读和从表中获取信息的能力；②分类讨论的思想方法 ；③建模能力和解模的基本功.
(5元, 6元或7元, 每天5元的48天，每天6元的60天或每天5元的78天，每天7元的30天)
改编2、今年3月，两次植树劳动前八年级（2）班学生到商店去购买A 牌矿泉水，该商店对A 牌矿泉水的销售方法是：“购买不超过30瓶按零售价销售，每瓶1.5元；多于30瓶但不超过50瓶，按零售价的8折销售；购买多于50瓶，按零售价的6折销售.该班两次共购A 牌矿泉水70瓶（第一次多于第二次），共付出90.6元.
（1）该班分两次购买矿泉水比一次性购买70瓶多花了多少钱；
（2）该班第一次与第二次分别购买矿泉水多少瓶？
说明：所换情景还是贴近学生生活，建立方程组模型时还是要分①不足20瓶，②20瓶到30瓶，③多于30瓶而不少于35瓶三种情况来解决.
本题组各有不同的情景，而建模过程很类似，又都考查了分类讨论的数学思想，
但要正确建模必须对题意理解透彻，并在题组中对各题之间进行比较分析，找出不同之处，这样学生才会对如何建模有所感悟.同时教师对“建模”这个很难见效的教学难点、重点定会有所突破.
通过以上例举，可以说明用题组形式复习是引领学生自我探索和完善知识系统掌握的过程，她不仅改变了学生单一的思维方式，也改变了教学形式的内容的封闭性，活跃了课堂，营造了更好的学习平台，使学生的想象力和创造力得到充分的开掘与发挥，同时也教给了学生掌握知识，探求知识，运用知识的方法.
2008-3-10。