江西省南昌市十所省重点中学命制高三数学第二次模拟突破冲刺试题(九)理

南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（09）
高三数学（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}x
B x =>，则A B =I （ ）
A ．(1,0)-
B ．(1,1)-
C ．)
21
,0( D ．(0,1) 2．复数1
1i -（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．1
B ．i
C ．12
D ．1
2i
3．下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化； （2）在回归直线
$12y x
=+中，x 增加1个单位时，y 一定减少2个单位；
（3）若p q 且为假命题，则,p q 均为假命题；
（4）命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++≥；
（5）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若0(1)P P ξ>=，则
01
(10)2P P ξ-<<=
-；
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π
，0），则sin α＋cos α＝（ ）
A ．－15
B ．1
5 C ．－75 D ．75
5．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是7
4,则（ ）
A ．3a =
B ．4a =
C ．5a =
D ．6a =
6．若从区间(0,)e 内随机取两个数，则这两个数之积不小于e 的概率为（ ） A ．
1
1e -
B ．21e -
C ．1e
D ．2e
7．函数
()sin()(0,)
3f x x π
ωϕωϕ=+>≤的最小正周期是π，若其图象向右 平移3π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x （ ）
A．关于点
,0
12
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭对称B．关于点
5
,0
12
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭对称
C．关于直线
5
12
x
π
=
对称D．关于直线12
x
π
=
对称
8
图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球
的表面积是( )
A．πB．3πC．4πD．6π
9．已知双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>
的左、右焦点分别1
(,0)
F c-
，2
(,0)
F c
，若双曲线上
存在点P，使得1221
sin sin0
c PF F a PF F
∠=∠≠
，则该曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1B．
(
C．
(1⎤
⎦D．1)
10．对于函数
()
y f x
=，部分x与y的对应关系如下表：
数列
{}
n
x
满足：1
1
x=
，且对于任意*
n N
∈，点1
(,)
n n
x x
+都在函数
()
y f x
=的图像上，则122015
x x x
+++=
L
( )
A．7554 B．7549 C．7546 D．7539
11．设椭圆方程为
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
，右焦点(,0)(0)
F c c>,方程20
ax bx c
+-=的两实根分
别为12
,x x，则
12
(,)
P x x必在（）
A．圆
222
x y
+=内B．圆222
x y
+=外
C．圆
221
x y
+=上D．圆221
x y
+=与圆222
x y
+=形成的圆环之间
12．已知函数
()
)
()()
ln10
x
f x
x x
≥
=
⎪--<
⎩，若函数()()
F x f x kx
=-
有且只有两个零点，则
k的取值范围为（）
(第8题图)
A ．()0,1
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1,+∞
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设526
0126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = ．
14．已知实数x ，y 满足220
220130
x y x y x y --≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩ ，则z xy =的最大值为 ．
15．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若22
425a b a b +=+-，且
222a b c =+bc -，则ABC S ∆=________．
16．如图所示，在圆O 中，AB 与CD 是夹角为60°的两条直径，,E F
分别是圆O 与直径CD 上的动点，若0OE BF OA OC λ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则λ
的取值范围是________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知数列{
}
n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠．若123,,,,,n b b b b a a a a L L
成等比数列，且
11b =，22b =， 35b =.
（1）求数列{}n b 的通项公式n b ；
（2）设
3(21)n n c log b =-，求和
12233445212221
n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+⋅⋅⋅+-.
18．（本小题满分12分）
A
B
C
D
O E
F
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分） 如图，在四棱柱
1111
ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，
2AB =,1BC CD ==,顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．
(Ⅰ)求证：
1AD BC
⊥；
(Ⅱ)若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π
,求平面11
ABC D 与
平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C
,A B l 倾斜角是45o
时，AB 的中垂线交y 轴于点(0,5)Q .
（1）求p 的值；
（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点,M N ，记劣弧MN 的长度为S ，
当直线l 绕F 旋转时，求S AB
的最大值.
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
21．（本小题满分12分）
设函数
x a x a x x f ln )2()(2
---=． (I)求函数)(x f 的单调区间；
(II)若方程c x f =)( )(R c ∈,有两个不相等的实数根1x 、2x ，求证：
0)2(
'2
1>+x x f .
选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上相应位置做好标志．多答按所答的首题进行评分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，
BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2．
（Ⅰ）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长． 23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.
坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ=+⎧⎨
=⎩为参数).以O 为极
点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；
(Ⅱ)射线:4OM π
θ=
与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标.
24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.
(Ⅰ)设函数
1
()=||||(0)
f x x x a a
a
-++>
.证明：
()2
f x≥；
(Ⅱ)若实数
z
y
x,
,满足222
43
x y z
++=,求证:23
x y z
++≤
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） DCABA BCBDA DC
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．30 14．169
4 15
．8 16
．[-
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
17．（12分）
解：(1) 2
22152
(1)1(14)
12142=0a a a d d d d d d d =⋅⇒+=⨯+++=+⇒=或（舍去）
1211, 3.3
b b a a a q ===∴=
11(1)22113n n b n n a b b -=+-⨯=-=⨯ , 131
2
n n b -+∴=……………6分
(2)3(21)n n c log b =-1
n =-
21343565722121()()()()
n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-+-+⋅⋅⋅+-
2422()n c c c =-++⋅⋅⋅+2
2[135(21)]2n n =-+++⋅⋅⋅+-=- ……………12分
18．(12分)
解：（Ⅰ）
250.550a =
=， 15
0.350b ==，………………………2分
依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率0.5p =， 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨，则(5,0.5)Y B :，
2235(2)0.5(10.5)0.3125
P Y C ==⨯⨯-=．…………5分
（Ⅱ）X 的可能取值为4,5,6,7,8，………………7分
则：
2(4)0.20.04P X ===， (5)20.20.50.2P X ==⨯⨯=， 2(6)0.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=, (7)20.30.50.3P X ==⨯⨯=, 2(8)0.30.09P X ===，
所以X 的分布列为：
………10分
X 的数学期望()40.0450.260.3770.380.09 6.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分
19．(12分) 解：(Ⅰ)证明：连接
1D C
,则
1D C ⊥
平面ABCD ，∴
1D C ⊥BC
在等腰梯形ABCD 中，连接AC
∵2AB =，1BC CD ==，AB ∥CD
∴BC AC ⊥ 又
1AC D C C
=I ∴BC ⊥平面
1AD C
∴
1AD BC
⊥ ………………6分
(Ⅱ)解法一：∵AB ∥CD ∴13D DC π
∠=
∵1CD =
∴
1
DC =在底面ABCD
中作CM AB ⊥,连接1D M ,则1D M AB
⊥,
所以
1D MC
∠为平面
11
ABC D 与平面ABCD 所成角的一个平面角
在
1Rt D CM
∆中,
CM =
, 1
DC = ∴
1D M ==
∴1cos D CM ∠=
即平面11
ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦函数值为 ……………12分
解法二：由(Ⅰ)知
AC 、BC 、
1D C
两俩垂直，
∵AB
∥CD ∴
13D DC
π
∠=
∴ 1
DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD =
=AB 所以AC =
则
A ，(0,1,0)
B ，1D 1
设平面
11
ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r
由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r
得0
0y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
可得平面
11
ABC D
的一个法向量n =r
．
又
1CD =uuu r
为平面ABCD 的一个法向量．
因此
111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==
uuu r r
uuu r r uuu r r
所以平面11
ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)
的余弦值为.
20．（12分）
解：（1）
(0,)2p F 当l 的倾斜角为45o 时，l 的方程为2p
y x =+
设1122(,),(,)A x y B x y 222p y x x py ⎧
=+⎪
⎨
⎪=⎩得
2220x px p --= 1212122,3x x p y y x x p p
+=+=++= 得AB 中点为
3
(,
)2D p p
AB 中垂线为
3()2y p x p -
=-- 0x =代入得552y p == 2p ∴= (5)
分
（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=
212122()444
AB y y k x x k =++=++=+ AB 中点为2
(2,21)D k k +
令2MDN ∠=α 122S AB AB =α⋅=α⋅ S AB ∴=α
∵D 到x 轴的距离221DE k =+
∴2
22
211
cos 1122222DE k k k AB +α===-++ 当2
0k =时，cos α取最小值12，α的最大值
为3π
故
S AB
的最大值为3π
. …………………12分
21．（12分）
解：(I) f ′(x)＝2x －(a －2)－22221
a x a x a x a x x x x －（－）－（－)(＋）＝＝
(x>0)．
当a≤0时， f ′(x)﹥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
当a ﹥0时，由f ′(x)﹥0，得x ﹥2a ；由f ′(x)﹤0，得0<x<2a
.
所以函数f(x)的单调增区间为,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝
⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………4分 (II)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0. 不妨设0<x1<x2，则2
1x －(a －2)x1－alnx1＝c ，
22
x －(a －2)x2－alnx2＝c.
两式相减得2
1x －(a －2)x1－alnx1－2
2
x ＋(a －2)·x2＋alnx2＝0，
即
2
1x ＋2x1－
2
2
x －2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．
所以a ＝22
1122112222ln ln x x x x x x x x ＋－－＋－－.因为f ′2a ⎛⎫
⎪⎝⎭＝0，
当x ∈0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f ′(x)<0， 当x ∈
,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭时，f ′(x)>0， 故只要证
122x x ⎛⎫ ⎪
⎝⎭＋> 2a
即可，即证明x1＋x2> 22
1122112222ln ln x x x x x x x x ＋－－＋－－， 即证明
2
1x －
22
x ＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)<
2
1x ＋2x1－
22
x －2x2，
即证明ln 12x x <121
222x x x x －＋.设t ＝12x x (0<t<1)．
令g(t)＝lnt －221t t －＋，则g ′(t)＝
2
2
214111t t t t t （－）－＝（＋）（＋）. 因为t>0，所以g ′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．
又g(1)＝0，所以当t ∈(0，1)时，g(t)<0总成立．所以原题得证 ………………12分
选做题：在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分．
22．（10分）
解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠
∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠ ……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠
∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴
ED EP EF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分
（Ⅱ）∵
EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ∴ 29=
EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE
由（1）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………7分 ∴415=
-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2 ∴
)29427(4152+⨯=
PA ，解得4315=PA ． ……………………………………10分
23．（10分）
解：(Ⅰ)圆C 的普通方程是
221y 1x -+=()，又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ= ………………………5分
(Ⅱ)因为射线:4OM πθ=
的普通方程为,0y x x =≥
联立方程组22,01y 1y x x x =≥⎧⎨-+=⎩()消去y 并整理得20x x -=
解得1x =或0x =，所以P 点的坐标为(1,1)
所以P
点的极坐标为)
4π
………………………10分
解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=
得2cos 4π
ρ==所以P
点的极坐标为)
4π
………………………10分
24．（10分）证明:(Ⅰ)由0a >， 有111()=|||||)()|2
f x x x a x x a a
a a a -++≥--+=+≥(
所以()2f x ≥ ………………………5分 (Ⅱ)22243x y z ++=Q ,由柯西不等式得:
2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++
(当且仅当2111x y z ==即63
55x z y ===
，时取“=”号)
整理得:9)2(2≤++z y x ,即32≤++z y x ……………………10分。