2014年01月16日江苏省苏州市2013～2014学年度第一学期期末考试高二数学试题及参考答案与解析

2013-2014学年江苏省苏州市高二上学期期末数学
试卷
一.填空题
1.直线x﹣y+3=0的倾斜角为_________.
2.抛物线y2=4x的准线方程是_________.
3.若直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y+4=0平行,则m=_________.
4.已知f(x)=xcosx,则f′(x)=_________.
5.平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为_________.
6.函数f(x)=x﹣2e x的单调减区间是_________.
7.若直线y=﹣3x+b是曲线y=x3﹣3x2+2的一条切线,则实数b的值是_________.
8.若圆x2+y2=m2(m＞0)与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交,则实数m的取值范围是_________.
9.已知α,β是不重合的平面,m,n是不重合的直线,下列命题正确的序号为_________
①m∥n,n∥α⇒m∥α；
②m⊥α,m⊥β⇒α∥β；
③α∩β=n,m∥α,m∥β⇒m∥n；
④α⊥β,m⊥α,n⊥β⇒m⊥n.
10.双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,焦距为16,一条渐近线方程为,则双曲线方程为_________.
11.设P,A,B,C是球O表面上的四点,满足PA,PB,PC两两相互垂直,且PA=PB=1,PC=2,则球O的表面积是_________. 12．点P是椭圆上的动点,F1为椭圆的左焦点,定点M(6,4),则PM+PF1的最大值为_________.
13．13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在区间[﹣1,0]上是单调减函数,则a2+b2的最小值为
_________.
14.已知函数,当x＞1时,不等式k(x﹣1)＜xf(x)+2g′(x)+3恒成立,则整数k的最大值为_________.
二.解答题
15.圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A(1,﹣1),B(3,5)；
(I)求圆C的方程
(II)若过点M(﹣2,0)的直线与圆C有且只有一个公共点,求直线l的方程.
16.在三棱锥P﹣ABC中,已知PA=PB,∠ABC为直角,点D,E分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)求证：AD⊥平面PBC；
(Ⅱ)若F在线段AC上,且,求证：AD∥平面PEF.
17.已知一种圆锥型金属铸件的高为h,底面半径为a,现要将它切割为圆柱体模型(如图所示),并要求圆柱的体积最大,求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高.
18.如图,在矩形ABCD中,已知AB=3AD,E,F为AB的两个三等分点,AC,DF交于点G；
(I)建立适当的平面直角坐标系,证明：EG⊥DF；
(II)设点E关于直线AC的对称点为E',问点E'是否在直线DF上,并说明理由.
19.已知椭圆过点A(﹣1,1),离心率为
(I)求椭圆C的方程
(II)设点B是点A关于原点的对称点,P是椭圆C上的动点(不同于A,B),直线AP,BP分别与直线x=3交于点M,N,问是否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等,若存在,求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
20.函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R)
(I)求函数f(x)的极值；
(II)若a＜0,对于任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有,求实数a的取值范围.
三、理科附加题(每题10分)
21.(10分)求曲线y=2sin3x在处的切线方程.
22.(10分)在平面直角坐标系中,已知A(﹣1,0),B(1,0),求满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的坐标.
23.(10分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2A1A=4,点D是BC的中点；
(I)求异面直线A1B,AC1所成角的余弦值；
(II)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值.
24.(10分)如图,设抛物线x2=2py(p＞0),M为直线y=﹣2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列.
2013-2014学年江苏省苏州市高二上学期期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1.(3分)直线x﹣y+3=0的倾斜角为45°.
考点：直线的倾斜角.
专题：计算题.
分析：求出直线的斜率,即可得到直线的倾斜角.
解答：解：直线x﹣y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°.
故答案为45°.
点评：本题考查直线的有关概念,直线的斜率与直线的倾斜角的关系,考查计算能力.
2.(3分)(2014•陕西)抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1.
考点：抛物线的简单性质.
专题：计算题.
分析：先根据抛物线的标准方程形式求出p,再根据开口方向,写出其准线方程.
解答：解：∵2p=4,
∴p=2,开口向右,
∴准线方程是x=﹣1.
故答案为x=﹣1.
点评：
根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程,一定要先化为标准形式,求出的值,再确定开口方向,否
则,极易出现错误.
3.(3分)若直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y+4=0平行,则m=﹣3.
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系.
专题：计算题；直线与圆.
分析：
由题意可得,解之即可得到答案.
解答：解：∵直线2x+(m+1)x+4=0与直线mx+3y+4=0平行,
∴,
由,
解得m=﹣3,或2,
又1,∴m≠2,
∴m=﹣3,
故答案为：﹣3.
点评：本题考查两直线平行的关系,当两直线方程为一般式时,可根据系数关系列不等式组解决.
4.(3分)已知f(x)=xcosx,则f′(x)=cosx﹣xsinx..
考点：导数的运算.
专题：导数的综合应用.
分析：利用导数的运算法则即可得出.
解答：解：f′(x)=cosx﹣xsinx.
故答案为：cosx﹣xsinx.
点评：本题考查了导数的运算法则,属于基础题.
5.(3分)平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为
5.
考点：棱柱的结构特征.
专题：数形结合.
分析：有两条平行直线确定一个平面,和两条相交直线确定一个平面可知,有BC,DC,BB1,AA1,D1C1, 解答：解：如图,满足条件的有BC,DC,BB1,AA1,D1C1,
故答案为 5
点评：本题考查确定立体几何的公理三,及其三条推论,是对基本概念的应用
6.(3分)函数f(x)=x﹣2e x的单调减区间是(ln,+∞).
考点：利用导数研究函数的单调性.
专题：导数的综合应用.
分析：由y′=1﹣2e x≤0,解得x的取值范围即可.
解答：
解：由y′=1﹣2e x＜0,解得x＞ln.
∴函数f(x)=x﹣2e x的单调递减区间是(ln,+∞).
故答案为：(ln,+∞).
点评：熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键.
7.(3分)若直线y=﹣3x+b是曲线y=x3﹣3x2+2的一条切线,则实数b的值是3.
考点：圆的切线方程.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：利用导数运算法则可得切线的斜率,进而得到切点.
解答：解：∵y=x3﹣3x2+2,
∴y′=3x2﹣6x.
设切点为M(m,n),则切线的斜率k=3m2﹣6m=﹣3,解得m=1.
∴n=﹣1﹣3+2=0.
得到切点M(1,0),代入直线可得0=﹣3+b,解得b=3.
故答案为：3.
点评：本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程,属于基础题.
8.(3分)若圆x2+y2=m2(m＞0)与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交,则实数m的取值范围是(1,11).
考点：直线与圆的位置关系.
专题：直线与圆.
分析：利用相交两圆的充要条件：R﹣r＜|O1O2|＜R+r,(R＞r＞0分别为两圆的半径,|O1O2|为两圆的圆心距离)即可得出.
解答：解：由圆x2+y2=m2(m＞0)可得圆心M(0,0),半径r=m；
由圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0化为(x+3)2+(y﹣4)2=36,
得到圆心N(﹣3,4),半径r=6.
∴|MN|==5.
由于圆x2+y2=m2(m＞0)与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交,
∴|m﹣6|＜5＜6+m,
解得1＜m＜11.
∴实数m的取值范围是(1,11).
故答案为：(1,11).
点评：本题考查了相交两圆的充要条件,属于基础题.
9.(3分)已知α,β是不重合的平面,m,n是不重合的直线,下列命题正确的序号为②③④
①m∥n,n∥α⇒m∥α；
②m⊥α,m⊥β⇒α∥β；
③α∩β=n,m∥α,m∥β⇒m∥n；
④α⊥β,m⊥α,n⊥β⇒m⊥n.
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系.
专题：空间位置关系与距离.
分析：根据线面平行的判定定理来判断①是否正确；
根据垂直于同一直线的两个平面平行来判断②是否正确；
借助图形,如图过m作两个相交平面,分别与α,β相交于直线a,b,可证a∥b,从而可证a∥n,进而可证
m∥n,由此判断③是否正确；
取直线m、n的方向向量,,根据α⊥β,则,可判断④是否正确.
解答：解：对①,缺少条件m⊄α,∴①错误；
对②,根据垂直于同一直线的两个平面平行,∴②正确；
对③,如图过m作两个相交平面,分别与α,β相交于直线a,b,可证m∥a,m∥b,∴a∥b,
可证a∥β,α∩β=n,∴a∥n,∴m∥n,故③正确；
对④,∵m⊥α,n⊥β,α⊥β,∴,∴m⊥n,故④正确.
故答案是②③④.
点评：本题考查了线线,线面平行、垂直关系的判断,熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键.
10.(3分)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,焦距为16,一条渐近线方程为,则双曲线方程为.
考点：双曲线的标准方程.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
由题意可设双曲线的方程为：.(a＞0,b＞0).焦距为2c.由于焦距为16,一条渐近线方程为,可得2c=16,,再利用c2=a2+b2,即可得出.
解答：
解：由题意可设双曲线的方程为：.(a＞0,b＞0).焦距为2c.
∵焦距为16,一条渐近线方程为,
∴2c=16,,
又c2=a2+b2,
联立解得a=6,b=.
所求的双曲线方程为：.
故答案为：.
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.
11.(3分)设P,A,B,C是球O表面上的四点,满足PA,PB,PC两两相互垂直,且PA=PB=1,PC=2,则球O的表面积是6π.
考点：球的体积和表面积.
专题：计算题.
分析：根据PA,PB,PC两两相互垂直,且PA=PB=1,PC=2,构造一个以PA,PB,PC为棱的长方体,则长方体的体对角线等于球的直径,建立方程关系即可求解球的表面积.
解答：解：∵PA,PB,PC两两相互垂直,
∴构造一个以PA,PB,PC为棱的长方体.
∵P,A,B,C是球O表面上的四点,
∴长方体的体对角线等于球的直径,
设球半径为R,长方体的体对角线为l,
∵PA=PB=1,PC=2,
∴l=,
则l=2R=,
解得R=,
∴球O的表面积是4=6π.
故答案为：6π.
点评：本题主要考查球的表面积的计算,根据点P,A,B,C的位置关系构成长方体是解决本题的关键,要正确利用球的直径与长方体的体对角线长度之间的关系.
12.(3分)点P是椭圆上的动点,F1为椭圆的左焦点,定点M(6,4),则PM+PF1的最大值为15.
考点：椭圆的简单性质；函数的最值及其几何意义.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
如图所示,由椭圆可得：a2=25,b2=16,.由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|,
当且仅当三点M、F2、P共线时取等号.
解答：解：如图所示,
由椭圆可得：a2=25,b2=16.
∴a=5,b=4,.
∴F2(3,0),=5.
∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15,
当且仅当三点M、F2、P共线时取等号.
故答案为：15.
点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系,属于难题.
13.(3分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在区间[﹣1,0]上是单调减函数,则a2+b2的最小值为.
考点：函数的单调性与导数的关系.
专题：计算题.
分析：由函数在区间[﹣1,0]上是单调递减,得到导函数小于等于0恒成立即f′(﹣1)≤0且f′(0)≤0代入得到一个不等式组,可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方,则由点到直
线的距离公式求出即可得到最小值；
解答：解：(1)依题意,f′(x)=3x2+2ax+b≤0,在[﹣1,0]上恒成立.
只需要即可,也即,而a2+b2可视为平面区域内的
点到原点的距离的平方,
由点到直线的距离公式得d2=()2=,
∴a2+b2的最小值为.
故答案为：.
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力,理解点到直线的距离公式,理解二元一次不等式组与平面区域的关系.
14.(3分)已知函数,当x＞1时,不等式k(x﹣1)＜xf(x)+2g′(x)+3恒成立,则整数k的最大值为4.
考点：利用导数研究函数的单调性.
专题：导数的综合应用.
分析：k(x﹣1)＜xf(x)+2g′(x)+3恒成立,等价于k(x﹣1)＜xlnx+2(x﹣2)+3对一切x∈(1,+∞)恒成立,分离参数,从而可转化为求函数的最小值问题,利用导数即可求得,即可求实数a的取值范围.
解答：解：因为当x＞1时,不等式k(x﹣1)＜xf(x)+2g′(x)+3恒成立,
即k(x﹣1)＜xlnx+2(x﹣2)+3对一切x∈(1,+∞)恒成立,
亦即k＜=对一切x∈(1,+∞)恒成立,
所以不等式转化为k＜对任意x＞1恒成立.
设p(x)=,则p′(x)=,
令r(x)=x﹣lnx﹣2(x＞1),则r′(x)=1﹣=＞0
所以r(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为r(3)=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0,r(4)=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0,
所以r(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4),
当1＜x＜x0时,r(x)＜0,即p′(x)＜0；
当x＞x0时,r(x)＞0,即p′(x)＞0.
所以函数p(x)=在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
又r(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,所以lnx0=x0﹣2.
所以[p(x)]min=p(x0)===x0﹣1+2∈(4,5),
所以k＜[p(x)]min=x0﹣1+2∈(4,5)
故整数k的最大值是4.
故答案为：4
点评：本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
二.解答题
15.(14分)圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A(1,﹣1),B(3,5)；
(I)求圆C的方程
(II)若过点M(﹣2,0)的直线与圆C有且只有一个公共点,求直线l的方程.
考点：直线和圆的方程的应用.
专题：直线与圆.
分析：(I)求出圆心坐标与半径,可得圆C的方程
(II)直线与圆C有且只有一个公共点,可得圆心到直线的距离等于半径,由此可求直线l的方程.
解答：
解：(I)由题意,圆心C(2,2),圆的直径为AB==2,
所以圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=10；
(II)显然直线l不可能垂直x轴,设直线l的方程为y=k(x+2),
因为直线l与圆C有且只有一个公共点,
所以圆心到直线的距离d==,
解得k=3或k=﹣,
所以直线l的方程为3x﹣y+6=0或x+3y+2=0.
点评：本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
16.(14分)在三棱锥P﹣ABC中,已知PA=PB,PA⊥BC,∠ABC为直角,点D,E分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)求证：AD⊥平面PBC；
(Ⅱ)若F在线段AC上,且,求证：AD∥平面PEF.
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.
专题：空间位置关系与距离.
分析：(Ⅰ)因为∠ABC为直角,即AB⊥BC.再利用线面垂直判定定理,即可证出AD⊥平面PBC；
(Ⅱ)连结DC,交PE于点G,利用线线平行的性质定理,证出AD∥FG即可得到AD∥平面PEF.
解答：解：(Ⅰ)∵∠ABC为直角,即AB⊥BC,
又PA⊥BC,
∴BC⊥平面PAB,
∵AD⊂平面PAB
∴AD⊥BC
∵PA=PB,点D为BC的中点
∴AD⊥PB
又∵PB∩BC=B,∴AD⊥平面PBC.
(Ⅱ)如图,连结DC,交PE于点G,
∵点D,E分别为PB,BC的中点,
∴G为△PBC的重心,∴
又,∴AD∥FG,
又AD⊄平面PEF,FG⊂平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
点评：本题着重考查了线面垂直的定义与判定、线面平行性质定理等知识,属于中档题.
17.(14分)已知一种圆锥型金属铸件的高为h,底面半径为a,现要将它切割为圆柱体模型(如图所示),并要求圆柱的体积最大,求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高.
考点：旋转体(圆柱、圆锥、圆台)；棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题：导数的综合应用.
分析：根据条件求出圆柱的体积,利用导数研究函数的最值即可.
解答：解：设圆柱的半径为r,高为x,体积为V,
则由题意可得,
∴x=,
∴圆柱的体积为V(r)=,
即V(r)=,
则V'(r)=,
由V'(r)==0,得r=.
列表如下：
r
(0,) . (,a)
V'(r) + 0 ﹣
V(r) 递增极大值递减
∴圆柱的最大体积为,此时r=,x=.
点评：本题主要考查导数在生活中的优化问题,利用条件建立体积函数是解决本题的关键,考查导数的应用.
18.(16分)如图,在矩形ABCD中,已知AB=3AD,E,F为AB的两个三等分点,AC,DF交于点G；
(I)建立适当的平面直角坐标系,证明：EG⊥DF；
(II)设点E关于直线AC的对称点为E',问点E'是否在直线DF上,并说明理由.
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系.
专题：直线与圆.
分析：(I)建立适当的平面直角坐标系,求出直线EG和DF的方程,利用斜率之间的关系证明：EG⊥DF；
(II)求出点E关于直线AC的对称点为E'的坐标,判断E'的坐标是否满足DF的方程即可证明.
解答：解：(I)以AB所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图,设AD的长度为1,
则A(0,0),D(0,1),E(1,0),F(2,0),C(3,1),
∴直线AC的方程为,①
直线DF的方程为,②
由①②解得交点坐标G(),
∴EG的斜率k EG=2,DF的斜率,
∴﹣,
即EG⊥DF；
(II)设点E'的坐标为(x1,y1),
则EE'的中点M(),
由题意得,
即,
∴E'(),
∵,
∴E'在直线DF上.
点评：本题主要考查直线方程的求法,建立平面之间坐标系是解决本题的关键,考查学生的运算能力.
19.(16分)已知椭圆过点A(﹣1,1),离心率为
(I)求椭圆C的方程
(II)设点B是点A关于原点的对称点,P是椭圆C上的动点(不同于A,B),直线AP,BP分别与直线x=3交于点M,N,问是
否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等,若存在,求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题.
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析：
(Ⅰ)由已知条件推导出,由此能求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)B点坐标为(1,﹣1),假设存在这样的点P(x0,y0),设出直线AP的方程和直线BP的方程,由直线AP,BP
分别与直线x=3交于点M,N,得△PMN的面积=,△PAB的面积=|x0+y0|,由此能
确定存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等,并能求出点P坐标.
解答：
解：(Ⅰ)∵椭圆过点A(﹣1,1),离心率为,
∴,解得a2=4,b2=,
∴椭圆C的方程为.
(Ⅱ)如图,B点坐标为(1,﹣1),假设存在这样的点P(x0,y0),
则直线AP的方程为y﹣1=,
直线BP的方程为y+1=,
∵直线AP,BP分别与直线x=3交于点M,N,
∴令x=3,得,,
∴△PMN的面积|y M﹣y N|(3﹣x0)
=,
又∵AB=2,直线AB的方程为x+y=0,
∴点P到直线AB的距离d=,
∴△PAB的面积S△PAB==|x0+y0|,
∵点P不同于A,B,
∴|x0+y0|=0,
∴(3﹣x0)2=||,
解得,从而y0=±,
∴存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等,点P坐标为(,).
点评：本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点是否存在的确定,综合性强,难度大,具有一定的确定
20.(16分)函数f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R)
(I)求函数f(x)的极值；
(II)若a＜0,对于任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有,求实数a的取值范围.
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值.
专题：综合题；导数的综合应用.
分析：(I)求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求函数f(x)的极值；
(II),即f(x2)+4×≤f(x1)+4×,设h(x)=f(x)+=x﹣1﹣alnx+,
则,等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数,求导函数,即使x2
﹣ax﹣4≤0在(0,1]上恒成立,然后利用分离法将a分离出来,从而求出a的范围.
解答：
解：(I)由题意,x＞0,f′(x)=1﹣.
若a≤0时,f′(x)＞0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,函数f(x)不存在极值；
当a＞0时,∵x＞a时,f′(x)＞0,∴函数f(x)在(a,+∞)上是增函数；0＜x＜a时,f′(x)＜0,所以函数f(x)在(0,a)
上是减函数,
∴x=a时,函数f(x)有极小值f(a)=a﹣1﹣alna；
(II)当a＜0时,由(I)知函数f(x)在(0,1]上是增函数,又函数y=在(0,1]上是减函数
不妨设0＜x1≤x2≤1
则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1),
∴,即f(x2)+4×≤f(x1)+4×
设h(x)=f(x)+=x﹣1﹣alnx+,
则,等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数
∵h'(x)=1﹣﹣=,∴x2﹣ax﹣4≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x﹣在(0,1]上恒成立,即a不小于y=x﹣在(0,1]内的最大值.
而函数y=x﹣在(0,1]是增函数,∴y=x﹣的最大值为﹣3
∴a≥﹣3,
又a＜0,∴a∈[﹣3,0).
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及恒成立问题的应用,同时考查了计算能力,转化与化归的思想,属于中档题.
三、理科附加题(每题10分)
21.(10分)求曲线y=2sin3x在处的切线方程.
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题：导数的综合应用.
分析：求出原函数的导函数,求出切点坐标,直接由点斜式得切线方程.
解答：解：由y=2sin3x,得y′=6cos3x.
∴当时,.
又当时,,切点为.
∴所求直线方程为,即.
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在曲线上某点处的导数即为该点处的切线的斜率,是中档题.
22.(10分)在平面直角坐标系中,已知A(﹣1,0),B(1,0),求满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的坐标.
考点：圆的标准方程.
专题：直线与圆.
分析：先求出满足PA2﹣PB2=4的点P的轨迹方程,再与圆的方程联立,即可取得P的坐标.
解答：解：设P(x,y),
∵PA2﹣PB2=4,
∴(x+1)2+y2﹣x2﹣(y﹣1)2=4,
即x+y﹣2=0.
由,
可得或,
∴所求P的坐标为(0,2)或(2,0).
点评：本题考查点的轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题.
23.(10分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2A1A=4,点D是BC的中点；
(I)求异面直线A1B,AC1所成角的余弦值；
(II)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值.
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角.
专题：空间位置关系与距离.
分析：
(I)以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz,可得和的坐标,可得cos＜,
＞,可得答案；
(II)由(I)知,=(2,0,﹣4),=(1,1,0),设平面C1AD的法向量为=(x,y,z),由可得=(1,﹣
1,),设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ,则sinθ=|cos＜,＞|=,进而可得答案.
解答：
解：(I)以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz,
则可得B(2,0,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),D(1,1,0),
∴=(2,0,﹣4),=(0,2,4),
∴cos＜,＞==
∴异面直线A1B,AC1所成角的余弦值为：；
(II)由(I)知,=(2,0,﹣4),=(1,1,0),
设平面C1AD的法向量为=(x,y,z),
则可得,即,取x=1可得=(1,﹣1,),
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ,则sinθ=|cos＜,＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
点评：本题考查异面直线所成的角,以及直线与平面所成的角,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属中档题.
24.(10分)如图,设抛物线x2=2py(p＞0),M为直线y=﹣2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列.
考点：抛物线的应用.
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：设出A,B的坐标,对抛物线的方程进行求导,求得AM和BM的斜率,因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程,联立求得2x0=x1+x2.判断出三者的横坐标成等差数列.
解答：
证明：由题意,设A(),B()(x1＜x2),M(x0,﹣2p).
由x2=2py得,得y′=,
所以,.
因此直线MA的方程为,直线MB的方程为.
所以,①,②
由①、②得,因此,即2x0=x1+x2.
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力,属于中档题.。