2025年高考数学一轮复习-9.9-直线与圆锥曲线【课件】
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以动点M的轨迹C是以F1,F2为焦点,长轴长为4的椭圆.
2 2
因此轨迹C的方程为 +y =1.
4
考点二与直线斜率有关的定值问题
[例2](2024·梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(- 3,0),且与圆F2:(x- 3)2+y2=16内
切.
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹C上异于A,B的动点,设PB交
21
412 +4 812 +2
所以|AB|+|MN|= 2 + 2 =6,为定值.
2 +1 2 +1
4 212 2
412 −4 412 +4
(− 2 ) −4· 2 = 2 ,
21 +1
21 +1 21 +1
解题技法
定值问题的求解策略
(1)圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少,
或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.
(2)定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参
数,运用推理,到最后必定参数统消,定值显现.
对点训练
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆C2:4x2+y2=1.若M,N分别
是C1,C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
点,直线PF2交C1于M,N两点,证明:|AB|+|MN|为定值.
【解析】(2)由(1)可知F1(- 2,0),F2(
则有a'=
′2 ′2 −′2
2, 2 =
=
2
′
′
2
2
2
2 2
2,0),椭圆C1的离心率e= = ,设椭圆C2的方程为 2 + 2 =1,
2
′ ′
2
,解得b'=1,
[例2](2024·梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(- 3,0),且与圆F2:(x- 3)2+y2=16内
切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
【解析】(1)设动圆的半径为r,由题意得圆F2的圆心为F2( 3,0),半径R=4;
所以|MF1|=r,|MF2|=R-r,
则|MF1|+|MF2|=4>2 3=|F1F2|.
21
则kAP=
,k =k =
= ,而kBP=kBT=
= ,于是m=
,
1 +2 AQ AT 4−(−2) 6
1 −2 2
1 −2
1
1
1
12
所以kAP·kAQ=
× =
×
= 2 ,
1 +2 6 1 +2 3(1 −2) 3(1 −4)
12
2
2 1
又因为 +1 =1,则1 = (4-12 ),
4
4
1
4
(4−12 ) 1
因此kAP·kAQ= 2 =- 为定值.
3(1 −4) 12
解题技法
与直线的斜率有关的定值问题的解题策略
1.选择合适的参数(倾斜角、点的坐标);
2.依据题设条件,求出所求(斜率的或与其有关的)解析式;
直 线 x=4 于 点 T, 连 接 AT 交 轨 迹 C 于 点 Q. 直 线 AP,AQ 的 斜 率 分 别 为 kAP,kAQ. 求
证:kAP·kAQ为定值.
【解析】(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).
由题可知A(-2,0),B(2,0),如图所示:
1
− 0
1
21 +1
21 +1
所以|AB|= 1
+ 12
(1 +
2 ) 2 −41 2 =
1+
12
422 +4
同理可得:|MN|= 2 ,
22 +1
因为k2=-
422 +4
222 +1
1
,所以|MN|=
21
1
4(−2 )2 +4 8 2 +2
1
=
= 12 ,
1 2
2(−
) +1 21 +1
考点一长度或距离为定值
2 2
如图,已知椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为C1上的一个动
点(非左、右顶点),连接AF1并延长交C1于点B,ห้องสมุดไป่ตู้△ABF2的周长为8,△AF1F2面积的
最大值为2.
(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2,且C2与C1的离心率相等,P为AB与C2异于F1的交
9.9-直线与圆锥曲线
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
考点一长度或距离为定值
2 2
[例1](2024·九江模拟)如图,已知椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,点A为C1上的一个动点(非左、右顶点),连接AF1并延长交C1于点B,且△ABF2
的周长为8,△AF1F2面积的最大值为2.
2
2
3
3
【证明】当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|= ,则O到直线MN的距离为 ,
当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx(显然|k|>
1
2 =
,
= ,
4+ 2
由ቊ 2
得൞
2 ,
2
4 + = 1,
2 =
2
4+
1+
所以|ON|2=
2
4+ 2
1+ 2
0 + 2 0 − 2
1
2
2
0
2
02 2 02
( −02 ) 1
=
=- ,
−
−2 2
= 1 ( + 2)
联立方程组ቐ
2
4
+
2
=1
2
,消去y整理,得(21 2 +1)x2+4 212 x+412 -4=0,
4 212
412 −4
所以x1+x2=- 2 ,x1·x2= 2 ,
2
,同理|OM| =
2 2 −1
,
设O到直线MN的距离为d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,
1
1
1
3 2 +3
3
所以 2 =
+
=
=3,即d= .
||2 ||2 2 +1
3
综上,O到直线MN的距离是定值.
2
1
),则直线OM的方程为y=- x,
2
考点二与直线斜率有关的定值问题
(1)求椭圆C1的标准方程;
【解析】(1)因为△ABF2的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,即a=2,又△AF1F2面积的
2
1
2
最大值为2,所以 ·2c·b=2,即bc=2,因为a2=b2+c2,所以b2+c2=4,所以b2+
=4,解得
2
b= 2,
2 2
所以椭圆C1的标准方程为 + =1.
4 2
2 2
椭圆C2的标准方程为 +y =1,
2
设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为点P在曲线C2上,所以02 +202 =2,
依题意,可设直线AB,MN的斜率分别为k1,k2,
则AB,MN的方程分别为y=k1(x+ 2),y=k2(x- 2),
于是k1·k2= 0 · 0 =
2 2
因此轨迹C的方程为 +y =1.
4
考点二与直线斜率有关的定值问题
[例2](2024·梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(- 3,0),且与圆F2:(x- 3)2+y2=16内
切.
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹C上异于A,B的动点,设PB交
21
412 +4 812 +2
所以|AB|+|MN|= 2 + 2 =6,为定值.
2 +1 2 +1
4 212 2
412 −4 412 +4
(− 2 ) −4· 2 = 2 ,
21 +1
21 +1 21 +1
解题技法
定值问题的求解策略
(1)圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少,
或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.
(2)定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参
数,运用推理,到最后必定参数统消,定值显现.
对点训练
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆C2:4x2+y2=1.若M,N分别
是C1,C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
点,直线PF2交C1于M,N两点,证明:|AB|+|MN|为定值.
【解析】(2)由(1)可知F1(- 2,0),F2(
则有a'=
′2 ′2 −′2
2, 2 =
=
2
′
′
2
2
2
2 2
2,0),椭圆C1的离心率e= = ,设椭圆C2的方程为 2 + 2 =1,
2
′ ′
2
,解得b'=1,
[例2](2024·梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(- 3,0),且与圆F2:(x- 3)2+y2=16内
切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
【解析】(1)设动圆的半径为r,由题意得圆F2的圆心为F2( 3,0),半径R=4;
所以|MF1|=r,|MF2|=R-r,
则|MF1|+|MF2|=4>2 3=|F1F2|.
21
则kAP=
,k =k =
= ,而kBP=kBT=
= ,于是m=
,
1 +2 AQ AT 4−(−2) 6
1 −2 2
1 −2
1
1
1
12
所以kAP·kAQ=
× =
×
= 2 ,
1 +2 6 1 +2 3(1 −2) 3(1 −4)
12
2
2 1
又因为 +1 =1,则1 = (4-12 ),
4
4
1
4
(4−12 ) 1
因此kAP·kAQ= 2 =- 为定值.
3(1 −4) 12
解题技法
与直线的斜率有关的定值问题的解题策略
1.选择合适的参数(倾斜角、点的坐标);
2.依据题设条件,求出所求(斜率的或与其有关的)解析式;
直 线 x=4 于 点 T, 连 接 AT 交 轨 迹 C 于 点 Q. 直 线 AP,AQ 的 斜 率 分 别 为 kAP,kAQ. 求
证:kAP·kAQ为定值.
【解析】(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).
由题可知A(-2,0),B(2,0),如图所示:
1
− 0
1
21 +1
21 +1
所以|AB|= 1
+ 12
(1 +
2 ) 2 −41 2 =
1+
12
422 +4
同理可得:|MN|= 2 ,
22 +1
因为k2=-
422 +4
222 +1
1
,所以|MN|=
21
1
4(−2 )2 +4 8 2 +2
1
=
= 12 ,
1 2
2(−
) +1 21 +1
考点一长度或距离为定值
2 2
如图,已知椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为C1上的一个动
点(非左、右顶点),连接AF1并延长交C1于点B,ห้องสมุดไป่ตู้△ABF2的周长为8,△AF1F2面积的
最大值为2.
(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2,且C2与C1的离心率相等,P为AB与C2异于F1的交
9.9-直线与圆锥曲线
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
考点一长度或距离为定值
2 2
[例1](2024·九江模拟)如图,已知椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,点A为C1上的一个动点(非左、右顶点),连接AF1并延长交C1于点B,且△ABF2
的周长为8,△AF1F2面积的最大值为2.
2
2
3
3
【证明】当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|= ,则O到直线MN的距离为 ,
当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx(显然|k|>
1
2 =
,
= ,
4+ 2
由ቊ 2
得൞
2 ,
2
4 + = 1,
2 =
2
4+
1+
所以|ON|2=
2
4+ 2
1+ 2
0 + 2 0 − 2
1
2
2
0
2
02 2 02
( −02 ) 1
=
=- ,
−
−2 2
= 1 ( + 2)
联立方程组ቐ
2
4
+
2
=1
2
,消去y整理,得(21 2 +1)x2+4 212 x+412 -4=0,
4 212
412 −4
所以x1+x2=- 2 ,x1·x2= 2 ,
2
,同理|OM| =
2 2 −1
,
设O到直线MN的距离为d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,
1
1
1
3 2 +3
3
所以 2 =
+
=
=3,即d= .
||2 ||2 2 +1
3
综上,O到直线MN的距离是定值.
2
1
),则直线OM的方程为y=- x,
2
考点二与直线斜率有关的定值问题
(1)求椭圆C1的标准方程;
【解析】(1)因为△ABF2的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,即a=2,又△AF1F2面积的
2
1
2
最大值为2,所以 ·2c·b=2,即bc=2,因为a2=b2+c2,所以b2+c2=4,所以b2+
=4,解得
2
b= 2,
2 2
所以椭圆C1的标准方程为 + =1.
4 2
2 2
椭圆C2的标准方程为 +y =1,
2
设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因为点P在曲线C2上,所以02 +202 =2,
依题意,可设直线AB,MN的斜率分别为k1,k2,
则AB,MN的方程分别为y=k1(x+ 2),y=k2(x- 2),
于是k1·k2= 0 · 0 =