三角函数的单调性1

三角函数的单调性一般是解答题的一个小问，
这里必须先对所给题进行化简，化为y=Asin(wx+b)的形式，然后利用
y=sinx的单调区间进行求解
一定要记住y=sinx或y=cosx的单调区间
三角函数求值域.最值和单调性的方法？？
设y=Asin（φx+b）+c
题中一般不会给出你说的那个形式，这要你先化简。

在R上的最值为A+C。

在闭区间内的最值求法，一般是先找出函数的周期，若闭区间包含的范围大于1个周期，则最大值和最小值直接写就是，若闭区间包含的范围小于1个周期，则可根据信息画出草图观察。

不懂再追问。

三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；
2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；
4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.
三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;
2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？
九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；
3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.
十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.
从几个方面探讨三角函数问题的解题方法与技巧
摘要：三角函数是高中部分的一个重难点，其内容抽象，公式繁多，技巧性强，学生不易理解，掌握。

探讨一下这类问题的常见错误和一般解法是非常必要的。

本文列举了解决这类问题的常见错误和解决技巧，以及三角函数求最值及值域的几种方法。

关键词：三角函数错解值域最值
高中将角的概念进行推广，在直角三角形中来讨论，引入正负零角，引入弧度制，进而讨论三角问题，整个这一章可分为角的概念，角的换算，诱导公式，二倍角及函数图象等几部分，但与三角函数相关的知识却非常广泛，如求值域，求最值，含三角知识的应用题等，这些知
识都比较难以理解，且容易出错，下面我们来逐步探讨一下这类问题的特点及解法。

一，三角函数问题常见错误解析：
由于三角函数的性质和公式较多，变换灵活，一题多解是常有的事，正因为解题途径呈开放性，有时思维误入歧途就不容易察觉，导致误解的原因也因题而异。

忽视定义域
三角恒等变换必须使涉及的各个三角函数有意义，给定的任意角的范围不被改变，对切与割两类函数尤其需要重视定义域的考察，否则易造成错解。

[1]例1：求函数y=sinx[1+tgxtg(x/2)]的递增区间。

解：sinx[1+tgxtg(x/2)]=sinx = =tgx
所以原函数可化为y=tgx，故递减区间为（k - /2, k + /2）
致误分析：忽视了函数式中tgxtg(x/2)有意义的x的取值范围，即x≠k + /2 ,x≠2k + (k z) 由此可知递增区间为：（2k - /2，2k + /2）∪（2k + /2，2k + ）∪（2k + ，2k +3/2 ）(k z) 2，忽视单调性
已知部分三角函数值，求某一区间上的角，若不注意用三角形的单调性，则容易增解，如下例：
例2：已知cos =1/7, cos( + )=- ,且（0，/2），+ （/2，），求
解：因为0<( + )+(- )< , 所以（0，），又有sin =sin[( + )+(- )]=sin( + )²cos -cos( + )²sin = ²1/7+ ²= 所以= /3 或=2 /3。

致误分析：（0，）时sin 不是单调函数，由sin = 求角还须进一步讨论范围，因为（0，）时cos 是单调函数,所以取余弦函数求角是合理的，因为cos =cos[( + )+(- )]=1/2, 所以= /3。

3，忽视特殊值
有些涉及三角函数值域，参变数取值范围的问题，应注意对区间端点，最值点，零点（即图象与x轴交点）等特殊值进行讨论，以免因一点一值酿成错误，如下例：
例3：已知方程sinx+ cosx+a=0在区间（0，2 ）上有且只有两个不同的实根，求实数a的取值范围。

解：因为原方程可化为sin(x+ /3)=-a/2, x （0，2 ）当sin(x+ /3)= 1时，只有唯一解，所以-a/2 1，即-1<-a/2<1时，得a (-2, 2).
致误分析：对区间端点分析不够，因为sin(0+ /3)=sin(2 + /3)=sin( /3+ /3)= ，所以当-a/2= 时，方程有三个解0，2 ，/3 （0，2 ），故a的取值范围为（-2, - ）∪(- , 2)
4, 忽视隐含条件
有些三角函数问题隐含着重要的条件，必须发现和利用，才能正确解答，如下例：
例4：已知sin =(x-3)/(x+5) , cos =(4-2x)/(x+5), 试问x取何值时，所在象限中sin ,cos 都是减函数。

解：由sin ,cos 都是减函数知2k+ /2< <2k + (k z)
所以sin >0, cos <0, 由此得x的不等式组：
0<(x-3)/(x+5)<1 和-1〈(4-2x)/(x+5)〈0 解之得3<x<9
致误分析：对隐含条件sin2 +cos2 =1还须应用，即〔(x-3)/(x+5)〕2+〔(4-2x)/(x+5)〕2=1 解之得x=0或x=8 ，应舍去x=0 ，故x=8即为所求
注：为简化运算起见，本题可先解出x=0或8,代入sin ,cos 中检验是否满足题意。

5，忽视图象变换顺序
《代数》上册第143页指出：一般地，函数y=Asin( x+ ) (A>0 , >0) x r
的图象可看作用下面的方法得到：先把y=sinx的图象上所有的点向左（>0）或向右（<0）平行移动个单位，再把所得各点的横坐标缩短（>1）或伸长（0< <1）到原来的1/ 倍，（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍（横坐标不变）。

这里所强调的顺序是“平移变换—周期变换—振幅变换”，不能混同于“先周期变换再平移变换”，有些图象变换错误往往就在于此，如下例：
[5]例5：已知函数y=f(x),若将f(x)的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将整个图形沿y轴向下平移2个单位，得到的图象与函数y=sinx的图象相同，求f(x)的解析式。

解：对问题逆向思维，由函数y=sinx的图象作相对运动，变换得到y=f(x)的图象，因此将y=sinx 的图象向上平移2个单位，然后使图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标缩小为原来的1/2倍，故得到f(x)=1/2sinx+2
致误分析：视sinx为y的函数，依先平移再压缩的变换过程，应得sinx=2y-2
因此答案应为y=1/2sinx+1
或者采用待定系数法求解：设y=asinx+b, 则依题意得y=2(asinx+b)-2与y=sinx为同一函数，因此得a=1/2 ,b=1 , 故y=1/2sinx+1为所求函数解析式。

6，忽视验算结果
正弦函数和余弦函数的有界性，即≦1，≦1的掌握情况和应用，在综和问题的解答中，常被忽视，如下例：
例6：求函数y=cos2x-2sinx+1/3-2sinx的值域。

解：原式去分母整理得：sin2x+2(1-y)sinx+3y-2=0
由△=4(1-y)2-4(3y-2)≧0 解得函数的值域为y≧5+ /2 或y≦5- /2
致误分析：对判别式成立的条件没有检验，因为y=5+ /2时△=0，由求根公式得到sinx=-(1-y)=3+ /2 (-1, 1) ,所以△≧0求出的y的取值范围是错误的。

本题应采用图象法求解，设：
x=3-2sint, y=cos2t-2sint+1 . 消t得到：y=-1/4(x-5)2+3 (1≦x≦5)
由此转化为求k=y/x的取值范围，
两式连立消y又得：
x2+(4k-10)x+13=0,由
=0得到k=(5 )/2.
由p(1,-1)点坐标，求得k=-1，根据直线y=kx与抛物线存在的曲线相交(切)位置关系便得：-1≦k≦5- /2, 故所求函数值域为-1≦y≦5- /2 .
二，三角函数问题求值域的几种类型
此外，在解三角函数问题时，我们还会经常遇到求含三角的函数求值域问题，解决这类题，我们必须熟练掌握三角代换公式，学会观察，分析问题，习惯用数形结合的方法等，这些问题大致可分为如下几类：
直线型
形如f(x)=asinx+b的函数，我们可以将它看作是定义在（-1，1）上的函数y=ax+b ，它的最值在端点达到，即：[f(x)]max= +b [f(x)]min=- +b
[2]例1：若y=asinx+b有最大值2，最小值-4，求a, b.
解：由题意可得：
+b=2, - +b=-4 a= 3, b=-1
双曲线型
形如f(x)= 的函数，我们可以把它看作是双曲线f(x)= 在区间（-1，1）上的情形，若-d/c (-1,1),
则双曲线在（-1，1）上连续，函数值在双曲线的一支上，因此值域在与- 之间，若-d/c （-1，1），则双曲线在（-1，1）上不连续，函数值分别在双曲线的两支上，因此，值域在与- 之外。

例2：求函数y= 的值域。

解：由题意可得：
-d/c=-2 (-1,1) 因此Ymax=2/3 , Ymin=-4
即：y [-4, 2/3]
例2’：求函数y= 的值域。

解：由题意可得：
-d/c=-1/2 （-1，1）当cosx=1时，y=1/3 , 当cosx=-1时，y=-5
因此，函数值域为(- ，-5]∪[1/3, + )
3, 抛物线型
形如f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0)的函数，可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)在x （-1，1）时的函数值范围，当-b/2a （-1，1）时，则在-b/2a处达到一个最值，另一个最值在-1和1之中距离-b/2a较远的一点处达到，当-b/2a (-1,1)时，函数在（-1，1）上单调，其最值在两端点处达到。

例3：求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值。

解：3/2 (-1,1) 且3/2>1 ,故函数y=x2-3x+2在（-1，1）内单减
所以当cosx=1时最小，即Ymin =0
例3’：已知0 a , 求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值。

解：由y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 可得：
设sinx+cosx=t ,则t [- , ] 有sinxcosx=(t2-1)/2 ,则：
Y=(t2-1)/2+at+a2=1/2t2+at+a2-1/2=1/2(t+a)2+(a2-1)/2
当t= 时，Ymax=a2+ a+1/2
当t=a 时，Ymin=(a2-1)/2
4, 椭圆型
形如f(x)= 的函数，我们可以看作椭圆上动点（acosx, bsinx）与定点（c, d）连线的斜率的范围，特别地，若a=b时，动点在圆上。

例4：求函数y= 的值域。

解：以（cosx,sinx）为坐标的点是单位圆，由（-2，-1）点与圆周上各点连线的斜率范围是[0，4/3] ，也即为该函数的值域。

5，正弦型
形如y=asinx+bcosx的函数，在x R时
Ymax= ，Ymin=-
形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函数，可化为：
Y= + cos2x+b/2sin2x
所以有：Ymax= +1/2
Ymin= -1/2
例5：求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使得函数y取得最小值的x的集合。

解：函数可变形为：y=2+cos2x+sin2x=2+ sin(x+ /4)
所以Ymin=2- , x 的集合为{x︱x=k -3/8 k z}
三，三角函数问题求最值的几种类型
另外，三角函数求最值是三角中的重要题型，解决这类题方法灵活，技巧性强，因此探讨三角函数求最值的方法无疑是十分必要的，下面通过例题加以论证：
[3]例6：求函数y= 的最值。

解：由原式得：2y-1=ycosx+sinx
所以：2y-1= ²（cosx+ ）= sin(x+ )
即：sin(x+ )=
又由≦1 得≦两边平方得：
3y2-4y≦0 解之得：0≦y≦4/3
故y= 的最大值是4/3 ，最小值是0
对于可化为以某一基本三角函数为未知数的一元二次方程的三角函数的最值，可利用判别式法。

例7：求函数y=(tg2a+tga-1)/(2tg2a-tga+1)的最大值和最小值。

解：原函数可化为：2ytg2a-ytga+y=tg2a+tga-1 整理可得：
（2y-1）tg2a-(y+1)tga+(y+1)=0 当y≠1/2时，可以看作是以tga为未知数的一元二次方程，又因为tga是实数，所以△≧0 即：
y2+2y-1-4(2y-1)(y+1) ≧0 -1≦y≦5/7
又1/2 [-1，5/7] 所以有：Ymax=5/7 , Ymin= -1
对于利用不等式求最值的问题，方法灵活，往往需要作些技巧性的变形才能达到解题目的。

[4]例8：设x为锐角，求y=4tgx+9ctg2x的最值。

解：原函数可化为：y=4tgx+9ctg2x=2tgx+2tgx+9ctg2x≧3
当且仅当2tgx=9ctg2x tg3x=9/2 即：x=arctg 时取等号
所以Ymin=3
例9：已知0<a< /2,求y=sin2acosa的最大值。

解：0<a< /2 ，所以有：sin2a>0 cosx>0 ,两边平方得：
Y2=sin4acos2a=1/2sin2asin2a2cos2a≦1/2[(sin2a+sin2a+2cos2a)/3]3=4/27
当且仅当sin2a=2cos2a 即：tg2a=2 a=arctg 时取等号
所以有：Ymax=2 /9
四, 总结
最后，三角函数知识在解答题当中也经常出现，它们通常是考查同角三角函数之间的关系，和差角公式，倍，半角公式，万能公式等内容，以及三角恒等变形的知识和运用，涉及的公式多，方法灵活，同学们一定要注意牢记公式，熟练掌握变换方法，灵活运用公式，发散思维，以求融会贯通，得心应手解决这类问题。

已知三角形ABC是锐角三角形,利用三角函数的单调性证明:(1)sinA>cosB;(2)sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
解：设A+B+C=180°则B等于180-A-C
（1）sinA-cosB大于零等于sinA-cos（180-A-C）
又因为cos90-A等于sinA
所以cos180-A-C等于是sin（A+C-90）
即要证sinA-sinA+C-90大于零
因为sin为单调递增，A-(A+C-90)等于90-A大于零即A大于A+C-90；
所以sinA-sinA+C-90大于零
即sinA>cosB
（2）同理：sinB>cosC sinC>cosA。