高中数学第五章矩阵的特征值与特征向量阶段测试同步训练试题

高中数学第五章矩阵的特征值与特征向量阶段测试同
步训练试题2019.09
1,条件P ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；条件q ：“直l 的斜率为－2”， 则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分也非必要条件 2,
7
3)12(x x -
的展开式中常数项是 （ ）
A ．14
B ．－14
C ．42
D ．－42
3,方程的解所在区间是521
=+-x x （ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
4,已知F 1、F 2的椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直
于x 轴，且,6021︒=∠MF F 则椭圆的离心率为（ ）
A ．33
B ．23
C ．21
D ． 22
5,已知R 为全集，A={}2)x 3(log x 2≤-, B =
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+12x 5
x , 求)B A (C R .
6,已知函数)1a ,0a b a (a
b y 2x
x 2≠>+=+是常数且、在区间[-23
,0]上有
25
y ,3y min max =
=，试求A ．b 的值。

7,在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若342S ,S ,S 成等差数列，则342a ,a ,a 成等差数列。

（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并
给出证明
8,某公司实行股份制，一投资人年初入股a 万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x 万元。

（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和。

（2）写出第n 年年底此投资人的本利之和n b 与n 的关系式（不必证明）； （3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a 万元恰好翻两番的目标，若a=395，则x 的值应为多少？（在计算中可使用lg2=0.3）
9,已知函数
)0(.11
lg
)(>∈--=k R k x kx x f 且。

（1）求函数)(x f 的定义域；（2）
若函数)(x f 在[10,+∞]上单调递增，求k 的取值范围。

10,已知函数)(x f 的解析式为)(x f =41
2
-x （x<-2）。

（1）求)(x f 的
反函数)(1
x f -；（2）设)()(1,
1*
1
1
1N n a f a a n n ∈-==-+，证明：数列⎪⎭⎪
⎬
⎫⎪
⎩⎪⎨⎧21n a 是等差数列，并求
n
a ；（3）设n n n n n S S
b a a a S -=+++=+12
2221, ，是否存在
最小正整数m ，使得对任意25*m
b N n n <
∈有成立？若存在，求出m 的值；
若不存在，说明理由。

11,数列{}n a 的前n 项和)
(23*N n S n n ∈+=，则其通项公式
为 .
12,函数
)2lg(4)(2
2--+-=x x x x f 的定义域为 . 13,国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元
而不超过4000元的按800元的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税。

某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为 元。

14,用矩阵记号表示下列二次型:
(1)
yz z xz y xy x f 42442
22+++++=;
(2)
;44272
22yz xz xy z y x f ----+= (3)
.46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++= 15,求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1)
322
322214332x x x x x f +++=; (2)
43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=．
16,证明：二次型
Ax x f T
=在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
17,判别下列二次型的正定性：
(1)
31212
3222122462x x x x x x x f ++---=; (2)
424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++= 4312x x -
18,设U 为可逆矩阵,U U A T
=,证明
Ax x f T =为正定二次型．
19,设对称矩阵A 为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵U ，使
U U A T
=． 20,(1)
设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=3223A ，求9105)(A A A -=ϕ；
(2) 设⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=122221212A ,求8
91056)(A A A A +-=ϕ．
试题答案
1, B 2, A 3, C 4, A
5, }31|)B A (C R ≥-<=x x x 或
6, (1)⎩⎨⎧==22
b a 或 ⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==2332b a
7, (1)逆命题：在等比数列}{n a 中，前n 项的和为n S ，若342,,a a a 成等差数列，则342,,S S S 成等差数列；（2）当1=q 时，逆命题为假；当21
-
=q 时，
逆命题为真。

8, (1)第一年年底本利和：a 25.1,第二年年底本利和：
x a 25.125.12
-，第三年年底本利和：
x a )25.125.1(25.12
3+-;(2) 第n 年年底本利和：125.1(25.1--=n n n a b
++-225.1n
x )25.1+;（3）96=x
9, (1)当10<<k 时，定义域为)
,1
()1,(+∞-∞k ,当1=k 时，定义域为
),1()1,(+∞-∞ 当1>k 时，定义域为),1()1,(+∞-∞ k ;(2)
)
1,101(∈k 10, (1)
)
0(1
4)(2
1
>+
-=-x x x f
;(2)
341
-=n a n ；（3）m=6
11,
⎩⎨⎧≥==-)2(2)
1(51
n n a n n 12, )1,2[--
13, 3800
14, 解 (1)
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121),,(． (2)
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211),,(． (3) ⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------=4321432110210132231
1121
1),,,(x x x x x x x x f ．
15, 解 (1) 二次型的矩阵为
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=320230002A λλλ
λ---=
-32
2
30002E A )
1)(5)(2(λλλ---=
故A 的特征值为1,5,2321===λλλ． 当21=λ时, 解方程0)2(=-x E A ，由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-0001002101202100002~E A
得基础解系⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=0011ξ. 取⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=0011P
当52=λ时，解方程0)5(=-x E A ，由
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00011000122022000
35~E A
得基础解系
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=1102ξ取
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=212102P ． 当13=λ时，解方程0)(=-x E A ，由
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001~E A
得基础解系⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1103ξ取⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=212103P ，
于是正交变换为
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121210212100
01
y y y x x x
且有
2
3222152y y y f ++=． (2)二次型矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛----=110111100111
1011
A
λλλλ
λ--------=
-11
1
1
11001111011E A 2)1)(3)(1(--+=λλλ，
故A 的特征值为1,3,14321===-=λλλλ
当11-=λ时，可得单位特征向量
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212121211P ， 当32=λ时，可得单位特征向量
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212121212P ， 当143==λλ时，可得单位特征向量⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
=0210213P ，
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102104P ． 于是正交变换为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛----
=⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛43214321210
212
1021212121021
21021
2121
y y y y x x x x
且有
2
42322213y y y y f +++-=．
16, 证明 A 为实对称矩阵，则有一正交矩阵T ，使得
B TAT
n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-λλλ
2
11
成立．
其中n λλλ,,,21 为A 的特征值，不妨设1λ最大，
T 为正交矩阵，则T T
T =-1
且1=T ，故T T T B T B T A ==-1
则
Ax x f T =By y BTx T x T T
T ==2222211n n y y y λλλ+++= ． 其中Tx y =
当1====x x T Tx y 时， 即
1
2
2221=+++n y y y 即12
2221
=+++n y y y 1
1
2
2111)(λ
λλ==++=y n n y y f 最大
最大 ．
故得证．
17, 解 (1)
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---=40106111
2A , 0211<-=a ，0
11611
2>=--，0384
10611
12
<-=---，
故f 为负定．
(2) ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛------=196316902303
112
11A ，0111>=a ，043111>=--, 069
2
031211>=--,024>=A ．
故f 为正定．
18, 证明 设
),,,(212
1
11211
n nn n n n a a a a a a a a a U
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x
11， Ux U x Ax x f T T T ==)()(Ux Ux T
=
),,,(1121211111n nn n n n n n x a x a x a x a x a x a ++++++=
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⋅n nn n n n n n x a x a x a x a x a x a 1
121211111 2212121111)()(n n n n x a x a x a x a +++++= 0)(211≥++++n nn n x a x a ．
若“0=”成立，则
⎪⎩⎪
⎨
⎧=++=++0
01
11111n nn n n n x a x a x a x a 成立．
即对任意⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=n x x x x 11使02211=+++n n x x x ααα 成立．
则n ααα,,,21 线性相关,U 的秩小于n ，则U 不可逆，与题意产生矛盾． 于是0>f 成立．
故
Ax x f T
=为正定二次型．
19, 证明 A 正定，则矩阵A 满秩，且其特征值全为正． 不妨设n λλ,,1 为其特征值，n i i ,,10 =>λ 由定理8知，存在一正交矩阵P
使
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=Λ=n T
AP P λλλ
2
1
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n λλλλλλ 2121 又因P 为正交矩阵，则P 可逆，P P
T =-1． 所以
)(PQ PQ P Q PQ A T T T ⋅==． 令U PQ T
=)(，U 可逆,则U U A T =.
20, 解 (1)
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3223A 是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=21212121P
使得Λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-50011AP P
从而
11,--Λ=Λ=P P A P P A k k 因此
1911091055)(--Λ-Λ=-=P P P P A A A ϕ 11011050055001--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P P P 10004-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111210004111121
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----=111122222． (2) 同(1)求得正交相似变换矩阵
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
--=3103631216
6312166P
使得1
1,500010001--Λ=Λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A AP P
891056)(A A A A +-=ϕ
)5)(()56(828E A E A A E A A A --=+-=
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Λ=-42223121302221121118P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4222112112．。