运筹学复习课件

b1 b2 … bn
销地 1 产地
2… n
1
c11 c12 … c1n
2
c21 c22 … c2n
┆
┆ ┆ ┆┆
m
cm1 cm2 … cmn
产量 xij为产地i运往
a1 销地j的物资数量 a2
┆ 产销平衡表
am
xij和cij一一对应
单位运价表
销地 B1 B2 B3 B4 产地
A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
σj
2 0 0 0 -3/5
23000
CB XB b 2 x1 3 0 x4 4 3 x2 3
σj
x1 x2 x3 x4 x5
1 0 1/2 0 -1/5 0 0 -2 1 4/5 0 1 0 0 1/5 0 0 -1 0 -1/5
最优解为：X*=(3,3,0,4,0)T， 最优值为：Z*=14
解的情况判别
步骤如下： 1.确定换出基变量
其对应变量xr为换出基的变量。 2.确定换入基变量
令 xs为换入基的变量，ars为主元素。
3.迭代 用换入替换换出变量，得到一个新的基。
再检查
(i=1, …,m) ？
灵敏度分析
bi c j
参数变化后，问题的最优解如何变化？
bi的变化
b b' b b B 1b B 1b' B 1b b
《运筹学》复习课 ------你懂得
考试题型
填空题（20） 选择题（18） 判断题（20） 计算与应用（42）
考试时间
拟定于元月5号，具体时间请等候通知！ 请稍安勿躁！ 做好自己的事情，同时加强复习！！ 祝大家都能通过！
第一章 线性规划及单纯形法
一般线性规划的数学模型 图解法 单纯形法
设备A
产品甲 3
产品乙 2
设备能力
（h）
65
设备B
2
1
40
设备C
0
3
75
利润（元/件） 1500
2500
max z =1500x1+2500x2
3x1+2x2≤ 65 2x1+x2≤ 40
原问题
3x2≤ 75
x1 ,x2 ≥0
min w = 65y1+ 40y2 + 75y3
3y1+2y2 ≥1500
7
4 10
5
λ24=-1
6
3 -5 λ31=10
2 9 3 10
λ33=12
销地 产地
A1
A2
A3
销量
B1 B2 B3 B4
产
量
3 11
3 10 7
52
1
92
84
3
1
7
4 10
59
6
3
36 5 6
销地 产地
A1
A2
A3
销量
vj
B1 B2 B3 B4
产 量 ui
3 11 3 10 7
0
52
1
92
8 4 -2 λ11=0
513
1 3 销地 B1 B2 B3 B4 产
1 2 产地
量
1 2 A1
A2 A3 销量
527
3
14
6 39
36 5 6
最优性检验 • 闭回路法 • 位势法（对偶变量法）
调整(闭回路法调整法)
销地 产地
B1 B2 B3 B4
产
量
A1
+ 3 11 - 3 10 7
43
A2
-1
9+ 2
84
3
1
A3 销量
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 12 2 2 1 0 0
0 x4 16 4 0 0 1 0
0 x5 15 0 5 0 0 1
σj
23000
23000
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 6 2 0 1 0 -2/5
0 x4 16 4 0 0 1 0
3 x2 3 0 1 0 0 1/5
0-1变量常作为逻辑变量来对管理问题进行建模
0 0 -1 0 -1/5
cj CB 基 b 2 x1 3 0 x4 4 4 x2 3
σj
2 40 00 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1/2 0 -1/5 0 0 -2 1 4/5 0 1 0 0 1/5
0 0 -1 0 -2/5
第一种资源减少为10个单位
B1b' B1(b b) B1b B1b
第五章 整数规划与分配问题
分配问题及匈牙利法 分支定界法 割平面法
分配问题与匈牙利法
m项任务
m个人
m台机器
m个工厂
例2：有一份说明书，要
分别译成英、日、德、俄
人 甲乙丙 丁
四种文字，交甲、乙、丙、 工作
丁四个人去完成。因各人 译成英文 2 10 9 7
专长不同，他们要完成翻 译成日文 15 4 14 8
7
4 10
59
6
3
36 5 6
λ11= c11- c13+ c23-c21 = 3-3+2-1=1 λ31= c31- c21+ c23-c31 + c14-c34 = 10
销地 产地
A1
A2
A3
vj
B1 B2 B3 B4
ui
3 11
3 10 0
43
λ11=1
1
92
8
λ12=2
3
1
-1 λ22=1
对偶问题的提出 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
引入(换个角度审视生产计划问题)
例:某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，生产甲、
乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备
机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备
可利用的时数如下表所示。工厂应如何安排生产
可获得最大的总利润？
销地 产地
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产 量
437
31
4
6
39
3656
销地 产地
A1
A2
A3
销量
B1 B2 B3 B4
产
量
3 11
3 10 7
43
1
92
84
3
1
7
4 10
59
6
3
36 5 6
表上作业法
• 给出初始方案 • 判断是否最优 • 调整改进 • 直到找到最优解
初始方案的确定 1. 最小元素法 2. Vogel法
凸集和顶点
定理2 线性规划问题的基可行解X对应线性规
划问题可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一
个基可行解是最优解。
单纯形法步骤： 确定初始基可行解 从初始基可行解转换为另一基可行解 最优性检验和判别
例用单纯形法求解线性规划问题
解：首先将上述问题化为标准形式
23000
目标约束建立等）；
3、目标函数中偏差变量的取舍（利润型目 标、成本型目标和合同型目标中偏差变量 的取舍）；
4、掌握目标规划应用方法（不用求解）。
目标函数中偏差变量的优化
（1）对于利润型目标，要求是可能实现值超过目标 值越多越好，即d+越大越好，则在目标函数中，不能 对d+求最小； （2）对于成本型目标，要求可能实现值低于目标值 越多越好，即d-越大越好，则在目标函数中不能对d求最小； （3）对于合同型目标，要求跟目标保持一致，不超 过也不短缺，即要求d+和d-都最小，则在目标函数中 应将两者综合考虑。
3
1
λ12=2
7
4 10
5 9 -5 λ22=2
6
3
36 5 6
3
9
3 10
λ23=1 λ31=9 λ33=12
产销不平衡的运输问题及其应用
•产大于销问题 •销大于产的问题
例：设有A1、A2 、A3三个产地生产某种物资， 其产量分别为7、5、7t，B1、B2 、B3 、B4四 个销地需要该种物资，销量分别为2、3、4、 6t，各产销地之间单位运价见表。又知产地 的物资若有剩余，将发生存储费用，三个产
销地 产地
A1
A2
A3销量B1Fra bibliotekB2 B3 B4
产
量
3 11
3 10 7
43
1
92
84
3
1
7
4 10
59
6
3
36 5 6
销地 B1 B2 B3 B4 两个最小元素之差
产地
①②③ ④
A1
3
A2 [1]
A3
7
两 ①2
个 最
②
2
小 ③2
元④
素
之
差
11 [3] 10 0 0 0 7
9 2 8 111 6 [4] 10 [5] 1 2
影子价格的定义
对偶变量yi代表对第i种资源估价，称为影子价格。 边际价格 与市场价格的关系 与资源利用的关系
单纯形法基本思想： 原问题为可行解，通过迭代增加目标函
数值，当对偶问题也达到可行解时，得到最 优解。
对偶单纯形法基本思想： 对偶问题为可行解，通过迭代减小目标
函数值，当原问题也达到可行解时，得到最 优解。
x1, x2 , ..., xn 0
• 可行解 • 可行域 • 最优解 •基 • 基向量 • 非基向量 • 基变量 • 非基变量 • 基解 • 基可行解
图解法步骤
1. 建立坐标系 2. 找出可行域 3. 绘出目标函数图形 4. 求出最优解
线性规划问题解的情况 1. 唯一最优解 2. 无穷多最优解 3. 无界解（或无最优解） 4. 无可行解
41200
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x3 4
2
1
2
10 I
0 x2 3
3
3
1
0
1
σj
41200
2 4
x3 x1
3/2 1/2
0 -3/4 1 3/4 -1/2 1 5/4 0 -1/4B-11/2
σj
0 -5/2 0 -1/2 -1
例 用单纯形法求解线性规划问题
第二章
线性规划的对偶理论
x1, x2 , ..., xn 0
标准形式
max z c1x1 c2 x2 ... cn xn
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21x1 a22 x2 ... a2n xn b2
... am1x1 am2 x2 ... am xn bm
σj
2 30 00 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1/2 0 -1/5 0 0 -2 1 4/5 0 1 0 0 1/5
0 0 -1 0 -1/5
第三章 运输问题
产销平衡问题 表上作业法 产销不平衡问题
销地 1 产地
2… n
1 2 ┆ m 销量
x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n ┆ ┆ ┆┆ xm1 xm2 … xmn

3 4 3

1/ 2


2
0
0 1 0
141///555
2 0 0



3 4 3


1 4 0


2 8 3

cj CB 基 b 2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
例
Ⅰ
Ⅱ
设备 A
2
2
设备 B
4
0
设备 C
0
5
单位产品获利
2元
3元
Max z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤12
4x1
≤16
5x2 ≤15
x1 ， x2 ≥0
资源限制 12 台时 16 千克 15 千克
cj CB 基 b 2 x1 3 0 x4 4 3 x2 3
σj
2 30 00 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1/2 0 -1/5 0 0 -2 1 4/5 0 1 0 0 1/5
对偶问题
2y1+y2+3y3 ≥2500
y1, y2 , y3 ≥ 0
对偶问题的基本性质
1.弱对偶性（P55） 2.最优性 3.无界性 4.强对偶性(或称对偶定理) 5.互补松弛性
6.线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互
补的基解： 一个问题的松弛变量对应另一问题的决策变量； 一个问题的基变量对应另一问题的非基变量； 且有z=w。
地单位物资的存储费用分别为2，2，1。试 决定总运费最少的调运方案。
销地 B1 B2 B3 B4 产地
A1 2 11 3 4 A2 10 3 5 9 A3 7 8 1 2
单位运价表
销地 B1 B2 B3 B4 产
产地
量
A1
7
A2
5
A3
7
销量 2 3 4 6
产销表
第四章 目标规划
1、目标规划的组成与特点； 2、目标规划的模型（如何建立目标函数、
线性规划的一般模型
max(min) z c1x1 c2 x2 ... cn xn
a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, ) b1 a21x1 a22 x2 ... a2n xn (, ) b2
... am1x1 am2 x2 ... am xn (, ) bm
译不同文字所需时间(h) 译成德文 13 14 16 11
如表4-1所示。应如何分 译成俄文 4 15 13 9
配，使这四个人分别完成
这四项任务总的时间最少。
解例2：
2 4 11 4
0050
()
2
()
() ()
2
()
0 K=2
()
2
()
-2 -2 0 0
了解一般整数规划的两个方法： 分支定界法 割平面法