湖南师大附中2013届高三数学第四次月考试卷 文(含解析)新人教A版

2012-2013学年某某师大附中高三第四次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如果复数z=（a+i）（1﹣i）为纯虚数，那么实数a等于（）
A．2B．1C．0D．﹣1
考
点：
复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专
题：
计算题．
分析：利用复数的代数形式的乘除运算，解得z=（a+i）（1﹣i）=（a+1）+（1﹣a）i．再由复数z=（a+i）（1﹣i）为纯虚数，知，由此能求出实数a．
解答：解：z=（a+i）（1﹣i）
=a+i﹣ai﹣i2
=（a+1）+（1﹣a）i．
∵复数z=（a+i）（1﹣i）为纯虚数，∴，解得a=﹣1．
故选D．
点
评：
本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）函数f（x）=|x|﹣cosx在（﹣∞，+∞）内（）
A．没有零点B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点D．有无究多个零点
考
点：
函数的零点．
专
题：
函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数可转化为函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．结合它们的图象特征即可作出判断．
解答：解：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数，即方程|x|﹣cosx=0的根的个数，也即函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．
当0≤x≤时，y=|x|=x从0递增到，y=cosx从1递减到0，所以两函数图象在[0，]上只有一个交点，
当x＞时，y=|x|=x＞＞1，y=cosx≤1，所以两函数图象在（，+∞）上没有
交点，
所以y=|x|与y=cosx的图象在[0，+∞）上只有一个交点，
又两函数均为偶函数，图象均关于y轴对称，所以它们在（﹣∞，0]上也只有一个交点，
综上，函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数是2，
故函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数为2．
故选C．
点评：本题考查函数的零点问题，即相应方程根的问题，注意体会转化思想与数形结合思想在本题中的运用．
3．（5分）（2011•某某模拟）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（）
A．12cm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm2
考
点：
由三视图求面积、体积．
专
题：
计算题．
分析：由该几何体的三视图，我们易得到该几何体为圆锥，且该圆锥的底面直径为6，圆锥的母线长为5，由已知中的数据我们易求出底面积和侧面积，进而得到该几何体的表面积．
解答：解：由几何体的三视图，我们可得：
底面直径为6，底面半径为3
圆锥的母线长为5，
故几何体的表面积S=S底面积+S侧面积=32•π+3•π•5=24π故选：C
点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，由三视图中的数据求出底面半径，进而求出底面面积和侧面积是解答本题的关键．
4．（5分）（2012•某某区模拟）已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题个数是（）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 综合题． 分析： ①，由线面关系得出m∥α或m ⊂α；②，由垂直于同一直线的两个平面平行得到；③由面面平行的判定定理得到；④由面面垂直的性质定理得到． 解答： 解：对于①，若m∥n，n ⊂α，则m∥α或m ⊂α，①不正确； 对于②，若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β，显然成立；
对于③，若m ⊂α，n ⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β， 由面面平行的判定定理知它是不正确的；
对于④，若α⊥β，α∩β=m，n ⊂β，n⊥m，则n⊥α，
由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述，正确命题的个数为2，故选B ． 点评： 本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理．
5．（5分）已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A ．
y=f （x ﹣1）的图象 B ．
y=f （|x|）的图象
C ．
y=f （﹣x ）的图象
D ．
y=f （x ）的图象
考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分
析： 先作出
的图象，再根据A ，B ，C ，D 各函数的图象
与f （x ）的图象的位置关系判断正误：
对于A ，y=f （x ﹣1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位得到；对于B ，y=f （|x|）的图象由f （x ）的图象横向对折变换得到．对于C ，y=f （﹣x ）的图象与f （x ）的图象关于y 轴对称而得到． 解
答： 解：先作出
的图象，如图．
对于A ，y=f （x ﹣1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位得到，故其正确； 对于B ，当x ＞0时y=f （|x|）的图象与f （x ）的图象相同，且函数y=f （|x|）的图象关于y 轴对称，故其错误；
对于C，y=f（﹣x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称而得到，故其正确；
故选B
点
评：
熟练掌握各种常用函数的图象变换是解决此类问题的关键．属于基础题．
6．（5分）P是双曲线的右支上一点，点M，N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
考
点：
圆与圆锥曲线的综合．
专
题：
计算题．
分析：先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最小值．
解
答：解：双曲线的两个焦点分别是F
1（﹣5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的圆心，
两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的半径分别是r1=2，r2=1，
∴|PM|min=|PF1|﹣2，|PN|max=|PF2|+1，
∴|PM|﹣|PN|的最小值=（|PF1|﹣2）﹣（|PF2|+1）=6﹣3=3，
故选C．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
7．（5分）（2012•某某模拟）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
A．f（x）=x2B．C．f（x）=x2D．f（x）=sinx
考
点：
程序框图．
专
题：
操作型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．
解答：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②
而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，
故D：f（x）=sinx符合输出的条件
故答案为D．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）
A．0＜x+y＜1 B．x+y＞1 C．x+y＜﹣1 D．﹣1＜x+y＜0
考
点：
向量的加法及其几何意义．
专
题：
计算题．
分
析：
如图所示由=，可得 x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、
B．再由=x2+y2+2xy•，得1=x2+y2+2xy•cos∠AOB．当
∠AOB=120°时，（x+y）2=1+3xy＞1，可得x+y＜﹣1，从而得出结论．
解
答：
解：如图所示：∵=，∴x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、B．
∵|OC|=|OB|=|OA|，∴=x2+y2+2x y•，∴1=x2+y2+2xy•cos∠AOB．当∠AOB=120°时，x2+y2﹣xy=1，即（x+y）2﹣3xy=1，即（x+y）2=1+3xy＞1，
故 x+y＜﹣1，所以，x+y＜﹣1，
故选C．
点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题．
9．（5分）如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是（）
A．21 B．34 C．55 D．89
考
点：
归纳推理．
专
题：
压轴题；规律型．
分析：根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，即可确定第n行与前两行的实心圆点的个数的关系．
解答：解：根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，可得
第1行的实心圆点的个数是0；
第2行的实心圆点的个数是1；
第3行的实心圆点的个数是1=0+1；
第4行的实心圆点的个数是2=1+1；
第5行的实心圆点的个数是3=1+2；
第6行的实心圆点的个数是5=2+3；
第7行的实心圆点的个数是8=3+5；
第8行的实心圆点的个数是13=5+8
第9行的实心圆点的个数是21=8+13
第10行的实心圆点的个数是34=13+21
第11行的实心圆点的个数是55=21+34
故选C
点
评：
本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．
10．（5分）（2011•某某模拟）将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个为04，则剩下的四个依次是16、28、40、52 ．
考
点：
系统抽样方法．
专
题：
计算题．
分根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生
析：的从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．
解答：解：用系统抽样抽出的5个学生的从小到大成等差数列，随机抽得的一个为04
则剩下的四个依次是
16、28、40、52．
故答案为：16、28、40、52
点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．
11．（5分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组，α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，据此算出H= 124 m．
考
点：
正弦定理．
专
题：
解三角形．
分
析：
在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD ﹣AB=DB即可得到H的表达式，代入tanα=1.24，tanβ=1.20，h=4m，可得答案．
解
答：
解：∵=tanβ
∴AD=，
∵AB=
∴BD=．
∵AD﹣AB=DB，
∴﹣=，
∵tanα=1.24，tanβ=1.20，h=4m，
∴H===124．
因此，算出的电视塔的高度H是124m．
故答案为：124
点评：本题主要考查解三角形的知识，由已知构造出未知的边长对应的方程是解答的关键．
12．（5分）在数列，设数列{a n}的前n项和为S n，则S2013= 2b ．
考
点：
数列递推式；数列的求和．
专
题：
计算题；等差数列与等比数列．
分
析：
数列{a n}中，由a1=a，a2=b，a n+2=a n+1﹣a n，分别求出a3，a4，，a6，a7，a8，得到数列{a n}是以6为周期的周期数列，由此能求出S2013．
解答：解：数列{a n}中，
∵a1=a，a2=b，a n+2=a n+1﹣a n，
∴a3=b﹣a，
a4=（b﹣a）﹣b=﹣a，
=﹣a﹣（b﹣a）=﹣b，
a6=﹣b﹣（﹣a）=a﹣b，
a7=a﹣b﹣（﹣b）=a，
a8=a﹣（a﹣b）=b，
∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，
∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=a+b+（b﹣a）+（﹣a）+（﹣b）+（a﹣b）=0，2013=335×6+3，
∴S2013=335×0+a1+a2+a3
=0+a+b+（b﹣a）
=2b．
故答案为：2b．
点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题的关键是推导出数列{a n}是以6为周期的周期数列，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0．
13．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，a＞b＞c，则的取值X围是．
考
点：
二次函数的性质．
专
题：
计算题．
分析：函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，则a+b+c=0，a，b，c中：2正1负； 1正2负； 1正1负1零．根据a＞b＞c，分情况进行讨论，能判断出的取值X围．
解答：解：函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，则a+b+c=0，a，b，c中：2正1负； 1正2负； 1正1负1零．
根据a＞b＞c，知：
若 a＞b＞0＞c⇔a＞﹣（a+c）＞0＞c⇒1＞﹣1﹣＞0＞⇒﹣2＜＜﹣1；
若 a＞0＞b＞c⇔a＞0＞﹣（a+c）＞c⇒1＞0＞﹣1﹣（）＞⇒﹣1＜＜﹣；若a＞b=0＞c⇔a＞﹣（a+c）=0＞c⇒1＞0≥﹣1﹣（）＞⇒．
综上所述，的取值X围是（﹣2，，﹣）．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．
14．（5分）（2012•某某一模）设是奇函数，则使f（x）＜0的x 的取值X围是（﹣1，0）
考
点：
函数奇偶性的性质；对数的运算性质．
分析：根据若f（x）是奇函数且在x=0有定义，则f（0）=0，即可解出a．再根据对数函数的单调性解不等式得到答案．
解
答：
解：依题意，得f（0）=0，即lg（2+a）=0，所以，a=﹣1，，又f（x）＜0，所以，，解得：﹣1＜x＜0．
故答案为：（﹣1，0）．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和对数不等式的解法．在解对数不等式时注意对数函数的单调性，即：底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．
15．（5分）（2011•某某模拟）设x n={1，2…，n}（n∈N+），对x n的任意非空子集A，定义f （A）为A中的最小元素，当A取遍x n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S n，则：①S3= 11 ，②S n= 2n+1﹣n﹣2 ．
考
点：
数列的求和．
专
题：
计算题；压轴题；新定义．
分析：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n﹣1次．即有2n﹣1个子集含1，有2n﹣2个子集不含1含2，有2n﹣3子集不含1，2，含3…有2k﹣1个子集不含1，2，3…k﹣1，而含k．
所以S n=2n﹣1×1+2n﹣2×2+…+21×（n﹣1）+n，进而利用错位相减法求出其和．
解答：解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n﹣1次．
故有2n﹣1个子集含1，有2n﹣2个子集不含1含2，有2n﹣3子集不含1，2，含3…有2k﹣1个子集不含1，2，3…k﹣1，而含k．
所以S n=2n﹣1×1+2n﹣2×2+…+21×（n﹣1）+n
S n=n•1+（n﹣1）•2+…+2•2n﹣2+1•2n﹣1…①
所以2S n=n•2+（n﹣1）•4+…+2•2n﹣1+1•2n…②
所以①﹣②可得﹣S n=n﹣（2+4+…+2n﹣1+2n）
所以S n=2n+1﹣n﹣2
所以S3=11．
故答案为①S3=11，②S n=2n+1﹣n﹣2．
点
评：
解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）如图，一个几何体由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A，B，C在⊙O 的圆周上，E，A，D三点共线，已知AB⊥AC，AB=AC，AE=AD=1，BC=2．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．
考
点：
直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专
题：
空间位置关系与距离．
分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得ED⊥AC，结合AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥BD；
（2）由V C﹣BDE=V E﹣ABC+V D﹣ABC，计算出底面ABC的面积，代入棱锥体积公式，可得答案．
解答：证明：（1）因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
解：（2）V C﹣BDE=V E﹣ABC+V D﹣ABC
又∵S△ABC=×2×1=1
∴V E﹣ABC=×S△ABC×VA=
V D﹣ABC=×S△ABC×DA=
∴V C﹣BDE=
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面垂直的判定及性质是解答的关键．
17．（12分）（2012•某某）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的
图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．
专
题：
计算题；综合题．
分
析：
（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx
=2sin（ωx+），
又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，
∴数f（x）的值域为[﹣2，2]…6分
（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，
即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），
∴cos（x0+）==．
∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]
=2（×+×）=…12分
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一
个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．
考
点：
几何概型；古典概型及其概率计算公式．
专
题：
计算题．
分析：（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；
（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．
解
答：
解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，
要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且
…（2分）
若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…（4分）
记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，
∴…（6分）
（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…（8分）
事件A 构成的区域：
由，得交点坐标为，…（10分）
∴，
∴事件A发生的概率为…（12分）
点
评：
本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．
19．（13分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．
（1）试给出f（4），f（5）的值，并求f（n）的表达式（不要求证明）；
（2）证明：．
考
点
：
数列的求和．
专
题
：
综合题．
分析：（1）根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式
（2）根据（1）中求得的f（n）可得的表达式，进而利用裂项的方法证明原式．
解答：解：（1）f（4）=37，f（5）=61．
由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，
f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，
f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，
f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，
因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），
所以f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f
（1）=6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1=3n2﹣3n+1．
又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．
（2）当k≥2时，．所以
=．
点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等．
20．（13分）已知a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣2﹣lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，某某数a的取值X围；
（2）若上任意两个自变量x1，x 2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，
某某数c的取值X围．
（参考数据：ln3≈1.0986）
考
点：
利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专
题：
导数的综合应用．
分
析：
（1）先求导数：f′（x）=2x+a﹣，由函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而构造关于a的不等式，进而可求出实数a 的取值X围；
（2）把a=1代入，结合（1）可判断出函数f（x）在区间[，1]上的值域，进而可得实数c的取值X围．
解答：解：（1）∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=2x+a﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥﹣2x在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=﹣2x，则函数g（x ）在[1，+∞）上为减函数
∴当x=1时，函数g（x）取最大值﹣1
∴a≥﹣1，即实数a的取值X围为[﹣1，+∞）
（2）当a=1时，f（x）=x2+x﹣2﹣lnx．f′（x）=2x+1﹣=
当x∈[，]时，f′（x）≤0，此时函数为减函数当x∈[，1]时，f′（x）≥0，此时函数为增函数故当x=时，f（x）取最小值ln2﹣
当x=1时，f（x）取最大值0
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣ln2
∴c≥﹣ln2
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数在最大值，最小值问题中的应用，熟练掌握导数的符号与函数单调性的关系是解答的关键．
21．（13分）（2011•某某模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M 的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，
交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；
（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．
考
点：
圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．
专
题：
计算题；压轴题．
分
析：
（I）根据可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；
（II）先表示出然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；
（III）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，设点Q （﹣1，t），根据QS2=QM2﹣4=t2+5，求出直线QS的方程，使直线与t无关，可求出
定点坐标．
解
答：
解：（Ⅰ）因为，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2分）
设⊙M的半径为r，则，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4（5分）（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣
3x+2+y2=x2+x+2（8分）
所以当x=0时，有最小值为2（10分）
（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）设点Q（﹣1，t），则QS2=QM2﹣4=t2+5，
所以⊙Q的方程为（x+1）2+（y﹣t）2=t2+5（13分）
从而直线ST的方程为3x﹣ty﹣2=0（*）（14分）
因为一定是方程（*）的解，所以直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为
（16分）
点评：本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值和直线恒过定点问题，是一道综合题，有一定的难度．。