整式的除法第1课时单项式除以单项式 备课素材

7 整式的除法
第1课时单项式除以单项式
情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣
情景导入活动内容:我们常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,就是因为光比声音传播的速度快的缘故.已知光在空气中的传播速度为3.0×108m/s,而声音在空气中的传播速度约为300 m/s,那么光速是声速的多少倍呢?你会列式吗?
图1-7-1
[说明与建议] 说明:以闪电雷鸣这一自然现象为背景,吸引学生的注意力,挖掘学生的学习潜能.让学生自主完成计算,充分展现学生的预习情况,在这里除法运算是乘法运算的逆运算能自然地体现出来,给学生在探究单项式除以单项式法则的过程中提供一种逆向的思考方式,以便于学生能更快地发现规律.建议:在介绍生活常识的同时,提出一个极具趣味性的问题,学生可能会通过以前学习的知识得到答案,但并不能利用新知识解决问题,从而激发学生强烈的求知欲和好奇心,引入新课的学习,从中也使学生进一步体会数学来源于生活并应用于生活.
复习导入活动内容:(多媒体展示)
xy）.
计算:(1)a7÷a4;(2)(2xy2z)·（1
3
问题1:同学们,你们还记得这两道题怎么做吗?请大家把它们完成吧!
问题2:在计算这两个算式时,你用到了我们前面学习的哪些内容呢?你能说一说是什么吗?
[说明与建议] 说明:同底数幂的除法是学习整式除法的理论基础,只有熟练掌握同底数幂的除法,才能更好地进行整式除法的学习.此外,复习单项式乘单项式法则,是为了对比学习单项式除以单项式法则,比较其相似与不同,并能将前后知识融为一体,使之形成一定的知识体系.建议:学生独立完成后回答问题.
类比导入林宁今年刚刚5岁,是幼儿园里最聪明的孩子,李老师教他做算术,告诉他5×6=30后,他马上就知道30÷5=6,你知道他是怎样计算的吗?
回答上述问题:林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果.
提出问题:
(1)我们已经学习了单项式与单项式相乘的法则,请你计算:4a 3c 2·3a 2=12a 5c 2.
(2)根据除法的意义,你能描述下面的这个式子的意义吗?这个式子的商是多少?
12a 5c 2÷3a 2.
[说明与建议] 说明:运用类比将单项式相除与除法运算比较,从而得出运算法则.建议:教学时教师主要注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养,提示归纳新规律的意识,让学生积极参与.可以用如下方式进行:根据除法的意义,上面的算式就是要求一个式子,使它与3a 2相乘的积等于12a 5c 2,也就是( )·3a 2=12a 5c 2.因为4a 3c 2·3a 2=12a 5c 2,所以12a 5c 2÷3a 2=4a 3c 2.
教材母题——第28页例1
计算:
(1)-35x 2y 3÷3x 2y ; (2)10a 4b 3c 2÷5a 3bc ;
(3)(2x 2y )3·(-7xy 2)÷14x 4y 3; (4)(2a+b )4÷(2a+b )2.
【模型建立】
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
【变式变形】
1.计算2x 3÷x 2的结果是 (B)
A .x
B .2x
C .2x 5
D .2x 6 2.下列计算正确的是 (C)
A .-3x 3÷(-x )=3x 3
B .(3xy )2÷xy=3xy
C .28x 4y 2÷7x 3y=4xy
D .-4x 3y÷2x 2=2x
3.化简(-2a )3·b 4÷12a 3b 2的结果是 (C)
A .16b 2
B .-16b 2
C .-23b 2
D .-23
ab 2 4.已知3×9m =275,则(-2m 2)3÷[m 3·(-m )2]的值为 -56 .
5.计算:(21×108)÷(-7×105)= -3×103 .
6.填空:(1) -13a 2b ÷(-3ab )=19a ;
(2)-3a 2m b 2n+1÷( -6a m b n+1 )=12a m b n .
7.计算:(1)45m 2np 4÷-54mnp 2; (2)-12x 3y 4z 2÷(-4x 2y 2z );
(3)-14a 6b 4c÷2a 3c ; (4)(-2×102)3÷(-2×103);
(5)(2m n+1)3÷8m 2n+1; (6)6(a-b )5÷13
(a-b )3. [答案:(1)-1625mp 2 (2)3xy 2z (3)-18
a 3
b 4 (4)4×103 (5)m n+2 (6)18a 2-36ab +18b 2]
[命题角度1] 单项式除以单项式
在单项式与单项式相除的计算中,要注意如下几个方面:(1)系数相除作为商的系数,系数包括符号,应先定符号;(2)含有相同的字母部分按同底数幂的除法性质进行,底数不变,指数相减;(3)单独在被除式中出现的字母不能漏掉,要连同指数直接作为商的一个因式.
例 计算:(1)（-3
5x 2y 3）÷3x 2y ;(2)(-2a 4b 5c )2÷(-a 2b 3)3.
解:(1)（-35x 2y 3）÷3x 2y=（-35÷3）·x 2-2y 3-1=-15y 2.
(2)(-2a 4b 5c )2÷(-a 2b 3)3=4a 8b 10c 2÷(-a 6b 9)=-4a 2bc 2.
[命题角度2] 单项式除以单项式的综合应用
对于综合计算题,应该按照如下顺序进行计算:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.注意整体思想的应用.如课本第29页习题1.13第2题.
例1 计算2a 4b 3+(4a 3b 2)2÷2a 2b 的结果是 10a 4b 3 .
例2 已知(a m b n )3÷(ab 2)2=a 4b 5,那么m ,n 的值分别为
(C) A .m=2,n=7 B .m=3,n=2 C .m=2,n=3 D .m=4,n=3 [命题角度3] 利用单项式的除法解决与科学记数法有关的计算
涉及科学记数法的计算,往往对应了单项式的乘除运算,利用相关法则可以快速、准确地进行计算,同时要注意结果是否符合科学记数法的形式.
例 树叶上有许多气孔,在阳光下,树叶通过这些气孔一边排出氧气和蒸汽水分,一边吸入二氧化碳.已知一个气孔在一秒钟内能吸进2.5×104亿个二氧化碳分子,则一个气孔吸进1.0×106亿个二氧化碳分子需要 40 秒.
详见电子资源
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如何学好整式的除法
和有理数的除法一样，整式的除法也是整式乘法的逆运算.学习时应注意把握好以下几个问题：
一、能正确理解同底数幂的除法法则
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.即a m ÷a n ＝a m -n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）.特别地，我们还规定：a 0＝1（a ≠0）；p p a a 1=
-（a ≠0，p 是正整数）.
二、掌握整式除法的有关运算法则
整式除法有以下两个运算法则：
（1）单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
（2）多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即多项式除以单项式的法则可以写成(a +b ＋c )÷m =a ÷m +b ÷m +c ÷m 的形式，也就是说，多项式除以单项式的基本方法(两个要点)：①多项式的每一项除以单项式；②所得的商相加．
在应用运算法则解题时应区别当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反，要特别注意，多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的．
三、熟练掌握整式除法中的典型习题
整式的除法运算的理论依据是同底数幂的除法法则.在具体运算时要能灵活运用单项式除以单项式和多项式除以单项式的法则，注意符号变换和整体方法的运用.
例1 计算：()
2232353y x y x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-
分析 利用单项式相除的法则即求解.
解 ()
2232353y x y x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝()2232335x x y y ⎛⎫-÷÷÷ ⎪⎝⎭g g ＝－15y . 例2 化简：2
47263211393a b a b ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
分析 利用多项式除以单项式的运算法则即求.这里应注意灵活运用幂的有关运算的法则. 解 =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-236274319132ab b a b a 6 a 2 b -1. 例3 若m p ＝51，m 2q ＝7，m r ＝－7
5。

求m 3p +4q -2r 的值. 分析 灵活运用幂的运算性质是处理此类问题的关键.这里可以把m 3p +4q -2r 逆用幂的有关性质进行变形，化成（m p ）3·（m 2q ）2÷（m r ）2的形式，这样即可求解.
解 m 3p +4q -2r ＝（m p ）3·（m 2q ）2÷（m r ）2＝（51）3×72÷（－75）2＝51.。