2024届高考数学一轮复习第七章《立体几何与空间向量》第六节+空间向量在立体几何中的应用
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迁移应用
1. （2022河北衡水中学模拟）如图所示的多面体是由三棱锥 与四棱锥 对接而成的，其中 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点.求证： .
证明 因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ，又 ，即 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
设 是平面 的法向量，则 取 ，得 ， ， 是平面 的一个法向量，同理可得 是平面 的一个法向量， ， ，即平面 的法向量与平面 的法向量互相垂直，∴平面 平面 .
考点二 空间角的计算
角度1 异面直线所成的角
例3 （2022福建福清西山中学高三期中）如图，已知平面四边形 ， ， ， ， ，沿直线 将 翻折到 ，当平面 平面 时，异面直线 与 所成角的余弦值是_ __.
A
A. B. C. D.
[解析] 连接 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则 , , , ,故 , , ,设平面 的法向量为 ，则 即
取 ，则 , ，故 ，故点 到平面 的距离 .故选A.
3. （2022福建厦门外国语学校期末）将正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
则 ， ， ， ， ，所以 ， ，因此 ，即 ，所以 .
2. （2022山东枣庄期末）如图， 平面 ，四边形 是正方形， ， ， 分别是 ， 的中点.求证：平面 平面 .
证明 平面 ， ， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的正方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（1） 若不重合的两个平面的法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量平行，则这两个平面平行.( )
√
（2） 两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.( )
√
（3） 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
×
（4） 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
×
2. （2022广东汕头期中）如图，在棱长为1的正方体 中，若 ， 分别是 , 的中点，则点 到平面 的距离为( )
当平面 平面 时， 在平面 上，则 ， ，设异面直线 与 所成的角为 ，则 , ，故异面直线 与 所成角的余弦值是 .
方法感悟用向量法求异面直线所成角的步骤第一步：建立空间直角坐标系；第二步：用坐标表示两异面直线的方向向量；第三步：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；第四步：注意两异面直线所成角的范围是 ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
设 为平面 的法向量，则 则 ，令 ，得 ，则 ， 又 ，则 ，又直线 平面 ，所以 平面 .
例2 （2022福建莆田三模）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，且 为棱 的中点， , .求证： 平面 .
证明 设矩形ABCD对角线的交点为 ，因为 ,所以 , ，所以 底面 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，易知 , , , ,从而 , , .
（2）点到平面的距离：如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，过点 作平面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离 .
（3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
2.空间角
（1）异面直线所成的角 若异面直线 ， 所成的角为 ，其方向向量分别是 ， ，则 _ ____. 范围： .
（2）直线与平面所成的角 设直线 与平面 所成的角为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 _ ____. 范围： .
（3）二面角 平面 与 相交于直线 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ， ， ，则二面角 为 或 .设二面角大小为 ，则 . 范围： .
（2）若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ，则 的向量表示为 __________； 的向量表示为 .
（3）若平面 , 的法向量分别为 , ，则 的向量表示为 ； 的向量表示为 .
提 醒用向量法证明空间中线、面垂直关系的关键是确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
4. （2022福建泉州师范学院附中月考）设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面 ，则实数 的值为___.
5
[解析] 由直线 平面 ，得 ，所以 ，即 ，解得 .
5. （新教材改编题）在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 夹角的余弦值为_ _.
所以 , .故异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
4. （2022安徽舒城中学三模）在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为等腰梯形， 为棱 的中点，且 ， ， .
（1） 求证：平面 平面 ；
证明：记 为 的中点，连接 , ，
由于 ，且 ，故四边形 为平行四边形，所以 ，又 ，且 ，所以 为 的中点，在等腰 中， ，即 ，
[解析] ， ， ， ， ， 为等腰三角形.取 的中点 ，则 ，以 为原点， 所在直线为
轴， 所在直线为 轴，垂直于平面 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
角度3 平面与平面的夹角
例5 （2022新高考Ⅰ，19,12分）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 .
（1） 求 到平面 的距离；
[解析] 在直三棱柱 中，设点 到平面 的距离为 ，易知 ，则 ，解得 ，所以点 到平面 的距离为 .
（2） 设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值.
[解析] 取 的中点 ,连接 ,如图，因为 ，所以 ,又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，在直三棱柱 中， 平面 ，由 平面 ， 平面 可得 ， ，又 , 平面 且相交，所以 平面 ，所以 , , 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
（2） 求 与平面 所成的角的正弦值.
[解析] 如图，以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 ，则 , , ，则 , , ，设平面 的法向量为 ，则
可取 ，设 与平面 所成角为 ，则 , ，所以 与平面 所成角的正弦值为 .
方法感悟用向量法求直线与平面所成的角（线面角）的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标.第二步：求直线的方向向量和平面的法向量.第三步：求向量的夹角.
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，则 , , , ,所以 的中点 ，则 ， , ,设平面 的法向量为 ，则 可取 ，
设平面 的法向量为 ，则 可取 ， 则 ，所以二面角 的正弦值为 .
方法感悟利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
关键能力·突破
考点一 利用空间向量证明平行、垂直
例1 （2022江苏滨海中学模拟）如图， ,且 ， ， 且 ， 且 ， 平面 ， .若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 .
证明 以 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ， ， ， ， ， ， ，则 ， .
设平面 的法向量为 ，则 可取 ， ，所以 平面 .
方法感悟1.利用向量法证明平行问题的类型及常用方法（1）线线平行：方向向量平行.（2）线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.（3）面面平行：两平面的法向量平行.2.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法（1）线线垂直：两直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.（2）线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线.（3）面面垂直：两个平面的法向量垂直.3.运用向量知识判断空间中的位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.
又 为正三角形，故 ，因为 , 分别为 ， 的中点，所以 ，则 ，由于 ， , 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 .
（2） 求直线 与平面 所成角的正弦值.
A
A. B. C. D.
[解析] 取 中点为 ，连接 , ，则 , ，又面 面 且交线为 , 面 ,所以 面 ， 面 ，则 .设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ， ， .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选A.
在 中，可得 ，故 .在 中，可得 .在 中，由 , ，可得 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 .
（2） 求异面直线 ， 所成角的余弦值.
[解析] 如图，以 为坐标原点， , 的方向分别为 轴， 轴正方向， 为单位长度，建立空间直角坐标系，由（1）可得 , ， ， ， ， ，
角度2 线面角
例4 （2022全国甲理，18,12分）在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， .
（1） 证明： ；
证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，因为 , , ，所以四边形 为等腰梯形，所以 ，故 ， ，
所以 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
第七章 立体几何与空间向量
第六节 空间向量在立体几何中的应用
课标要求
1.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3.能用向量方法解决空间角和空间距离问题.
必备知识·整合
〔知识梳理〕
1.空间位置关系的向量表示
（1）若直线 , 的方向向量分别为 ， ，则 的向量表示为 __________； 的向量表示为 ___________.
迁移应用
3. （2022重庆十一中高三月考）如图，四棱柱 的底面 为菱形，侧棱与底面垂直， ， 是棱 的中点， .
（1） 证明：平面 平面 ；
证明：连接 ，设 ，连接 , , ， .在菱形 中，不妨设 ，由 ，可得 ，由 平面 ， 可知， ，又 ， 为等腰直角三角形， ， ，
（4）平面与平面的夹角 若平面 ， 的法向量分别是 ， ，则平面 与平面 的夹角即为向量 和 的夹角或其补角；设平面 与平面 的夹角为 ，则 ， _ _____. 范围： .
3.空间距离
（1）点到直线的距离：如图，直线 的单位方向向量为 ，设 ，则向量 在直线 上的投影向量 ，则点 到直线 的距离 .
1. （2022河北衡水中学模拟）如图所示的多面体是由三棱锥 与四棱锥 对接而成的，其中 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点.求证： .
证明 因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ，又 ，即 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
设 是平面 的法向量，则 取 ，得 ， ， 是平面 的一个法向量，同理可得 是平面 的一个法向量， ， ，即平面 的法向量与平面 的法向量互相垂直，∴平面 平面 .
考点二 空间角的计算
角度1 异面直线所成的角
例3 （2022福建福清西山中学高三期中）如图，已知平面四边形 ， ， ， ， ，沿直线 将 翻折到 ，当平面 平面 时，异面直线 与 所成角的余弦值是_ __.
A
A. B. C. D.
[解析] 连接 ，建立如图所示的空间直角坐标系，则 , , , ,故 , , ,设平面 的法向量为 ，则 即
取 ，则 , ，故 ，故点 到平面 的距离 .故选A.
3. （2022福建厦门外国语学校期末）将正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
则 ， ， ， ， ，所以 ， ，因此 ，即 ，所以 .
2. （2022山东枣庄期末）如图， 平面 ，四边形 是正方形， ， ， 分别是 ， 的中点.求证：平面 平面 .
证明 平面 ， ， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的正方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（1） 若不重合的两个平面的法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量平行，则这两个平面平行.( )
√
（2） 两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.( )
√
（3） 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
×
（4） 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
×
2. （2022广东汕头期中）如图，在棱长为1的正方体 中，若 ， 分别是 , 的中点，则点 到平面 的距离为( )
当平面 平面 时， 在平面 上，则 ， ，设异面直线 与 所成的角为 ，则 , ，故异面直线 与 所成角的余弦值是 .
方法感悟用向量法求异面直线所成角的步骤第一步：建立空间直角坐标系；第二步：用坐标表示两异面直线的方向向量；第三步：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；第四步：注意两异面直线所成角的范围是 ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
设 为平面 的法向量，则 则 ，令 ，得 ，则 ， 又 ，则 ，又直线 平面 ，所以 平面 .
例2 （2022福建莆田三模）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，且 为棱 的中点， , .求证： 平面 .
证明 设矩形ABCD对角线的交点为 ，因为 ,所以 , ，所以 底面 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，易知 , , , ,从而 , , .
（2）点到平面的距离：如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，过点 作平面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离 .
（3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
2.空间角
（1）异面直线所成的角 若异面直线 ， 所成的角为 ，其方向向量分别是 ， ，则 _ ____. 范围： .
（2）直线与平面所成的角 设直线 与平面 所成的角为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 _ ____. 范围： .
（3）二面角 平面 与 相交于直线 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ， ， ，则二面角 为 或 .设二面角大小为 ，则 . 范围： .
（2）若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ，则 的向量表示为 __________； 的向量表示为 .
（3）若平面 , 的法向量分别为 , ，则 的向量表示为 ； 的向量表示为 .
提 醒用向量法证明空间中线、面垂直关系的关键是确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
4. （2022福建泉州师范学院附中月考）设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面 ，则实数 的值为___.
5
[解析] 由直线 平面 ，得 ，所以 ，即 ，解得 .
5. （新教材改编题）在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 夹角的余弦值为_ _.
所以 , .故异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
4. （2022安徽舒城中学三模）在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为等腰梯形， 为棱 的中点，且 ， ， .
（1） 求证：平面 平面 ；
证明：记 为 的中点，连接 , ，
由于 ，且 ，故四边形 为平行四边形，所以 ，又 ，且 ，所以 为 的中点，在等腰 中， ，即 ，
[解析] ， ， ， ， ， 为等腰三角形.取 的中点 ，则 ，以 为原点， 所在直线为
轴， 所在直线为 轴，垂直于平面 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
角度3 平面与平面的夹角
例5 （2022新高考Ⅰ，19,12分）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 .
（1） 求 到平面 的距离；
[解析] 在直三棱柱 中，设点 到平面 的距离为 ，易知 ，则 ，解得 ，所以点 到平面 的距离为 .
（2） 设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值.
[解析] 取 的中点 ,连接 ,如图，因为 ，所以 ,又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，在直三棱柱 中， 平面 ，由 平面 ， 平面 可得 ， ，又 , 平面 且相交，所以 平面 ，所以 , , 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
（2） 求 与平面 所成的角的正弦值.
[解析] 如图，以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 ，则 , , ，则 , , ，设平面 的法向量为 ，则
可取 ，设 与平面 所成角为 ，则 , ，所以 与平面 所成角的正弦值为 .
方法感悟用向量法求直线与平面所成的角（线面角）的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标.第二步：求直线的方向向量和平面的法向量.第三步：求向量的夹角.
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，则 , , , ,所以 的中点 ，则 ， , ,设平面 的法向量为 ，则 可取 ，
设平面 的法向量为 ，则 可取 ， 则 ，所以二面角 的正弦值为 .
方法感悟利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
关键能力·突破
考点一 利用空间向量证明平行、垂直
例1 （2022江苏滨海中学模拟）如图， ,且 ， ， 且 ， 且 ， 平面 ， .若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 .
证明 以 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ， ， ， ， ， ， ，则 ， .
设平面 的法向量为 ，则 可取 ， ，所以 平面 .
方法感悟1.利用向量法证明平行问题的类型及常用方法（1）线线平行：方向向量平行.（2）线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.（3）面面平行：两平面的法向量平行.2.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法（1）线线垂直：两直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.（2）线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线.（3）面面垂直：两个平面的法向量垂直.3.运用向量知识判断空间中的位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.
又 为正三角形，故 ，因为 , 分别为 ， 的中点，所以 ，则 ，由于 ， , 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 .
（2） 求直线 与平面 所成角的正弦值.
A
A. B. C. D.
[解析] 取 中点为 ，连接 , ，则 , ，又面 面 且交线为 , 面 ,所以 面 ， 面 ，则 .设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ， ， .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选A.
在 中，可得 ，故 .在 中，可得 .在 中，由 , ，可得 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 .
（2） 求异面直线 ， 所成角的余弦值.
[解析] 如图，以 为坐标原点， , 的方向分别为 轴， 轴正方向， 为单位长度，建立空间直角坐标系，由（1）可得 , ， ， ， ， ，
角度2 线面角
例4 （2022全国甲理，18,12分）在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， .
（1） 证明： ；
证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，因为 , , ，所以四边形 为等腰梯形，所以 ，故 ， ，
所以 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
第七章 立体几何与空间向量
第六节 空间向量在立体几何中的应用
课标要求
1.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3.能用向量方法解决空间角和空间距离问题.
必备知识·整合
〔知识梳理〕
1.空间位置关系的向量表示
（1）若直线 , 的方向向量分别为 ， ，则 的向量表示为 __________； 的向量表示为 ___________.
迁移应用
3. （2022重庆十一中高三月考）如图，四棱柱 的底面 为菱形，侧棱与底面垂直， ， 是棱 的中点， .
（1） 证明：平面 平面 ；
证明：连接 ，设 ，连接 , , ， .在菱形 中，不妨设 ，由 ，可得 ，由 平面 ， 可知， ，又 ， 为等腰直角三角形， ， ，
（4）平面与平面的夹角 若平面 ， 的法向量分别是 ， ，则平面 与平面 的夹角即为向量 和 的夹角或其补角；设平面 与平面 的夹角为 ，则 ， _ _____. 范围： .
3.空间距离
（1）点到直线的距离：如图，直线 的单位方向向量为 ，设 ，则向量 在直线 上的投影向量 ，则点 到直线 的距离 .