系统仿真作业

基于Matlab的Hopfield神经网络求解旅行商问题仿真研究Hopfield Neural Network Based on Matlab to Solve theTraveling Salesman Problem Simulation Research学部：管理与经济学部专业：系统工程课程名称：系统仿真姓名：李*学号：215110**指导教师：金淳大连理工大学Dalian University of Technology摘要：本文主要研究了在Matlab上利用连续的Hopfield神经网络求解旅行商问题。

从连续的Hopfield神经网络原理出发，结合旅行商问题的要求，在给定参数要求下求得问题的最优解，并给出分析改进算法的过程。

同时编写了基于Matlab 工具上的代码，及仿真图示。

应用Hopfield神经网络对旅行商问题进行求解，在速度上有很大的优势。

关键词：Matlab Hopfield神经网络旅行商问题改进算法仿真AbstractIn this paper, we mainly research on using continuous Hopfield neural network to solve the traveling salesman problem based on Matlab.From the perspective of continuous Hopfield neural network theory, we acquire the optimal solutions under the requirements of the traveling salesman problem and the given parameter, and give the analysis of the improved algorithm. At the same time , write the codes and present the results of simulation based on Matlab. Hopfield neural network is applied to solve the traveling salesman problem with great advantages in speed.Key words:Matlab Hopfield neural network traveling salesman problem improved algorithm simulation1.概述概括地讲，整个Matlab 系统由两部分组成，一是Matlab 基本部分，二是各种功能性和学科性的工具箱，系统的强大功能由它们表现出来。

工具箱实际是用Matlab 语句编成的、可供调用的函数文件集，用于解决某一方面的专门问题或实现某一类新算法。

Matlab工具箱中的函数文件可以修改、增加或删除，用户也可根据自己研究领域的需要自行开发工具箱并外挂到Matlab 中。

到目前为止，Matlab本身提供的工具箱有40多个，其中神经网络工具箱是解决实际问题经常用到的一种。

用神经网络解决旅行商问题是神经网络应用的一个重要方面。

所谓组合优化问题，就是在给定约束条件下，使目标函数极小(或极大)的变量组合问题。

将Hopfield神经网络应用于求解组合优化问题，把目标函数转化为网络的能量函数，把问题的变量对应到网络的状态。

这样，当网络的能量函数收敛于极小值时，问题的最优解也随之求出。

由于神经网络是并行计算的，其计算量不随维数的增加而发生指数性“爆炸”，因而对于优化问题的高速计算特别有效。

本文在Matlab 的环境中，将Hopfield神经网络理论应用于解决实际问题，给出了具有实际意义的研究性方法。

2.旅行商问题的提出假定有N个城市A，B，C，……，N，它们之间的相互距离分别为d AB,d AC,…,d BC…，要求寻找一条闭合路径，此路径历经每个城市且经过一次，返回起始城市，要求此路径最短。

旅行商问题属于NP完全问题，若用穷举搜索算法则需考虑所有可能的情况、找出所有的路径，再对其进行比较来找到最佳的路径。

这种方法随着城市数N的上升算法时间随n按指数规律增长，即存在所谓的指数爆炸问题。

事实上，在N个城市的旅行商问题中，一条有效的路径可以看成n个城市的一种排列。

N个城市有n!种排列，注意到两个顺序完全相反的方案其行程相同，而对一种排列从哪个城市出发都可以，所以有效路径的方案数目之大可想而知。

随n增大而急剧增长，当城市数目增加到一定的程度，计算量增加到无法进行的地步。

不考虑方向性和周期性，在给定N的条件下，可能存在的闭合路径数目为((N−1)!)⁄2。

随着N的增大，计算量急剧增大，会发生所谓的“组合爆炸”问题。

在此，我们可以枚举法进行简单地统计，如下表1所示：从上表1中不难发现，当城市数目为20时，则相应的路径已经达到6.0823x1016。

所以，当随着城市的数目逐渐的增多，则相应的路径数目也在变大，这样会给我们的计算带来麻烦，影响计算的效率。

将Hopfield神经网络应用于求解旅行商问题，效果很是显著。

下面就利用连续的Hopfield神经网络求解旅行商问题进行探讨。

3.算法构思3.1算法提出比如用A，B，C，D，E（对应各行）表示城市名称；用1，2，3，4，5（对应各列）表示路径顺序；矩阵中“1”表示该城市在路径全程中所居顺序，其余元素均为“0”。

此处路径顺序为C→A→E→B→D→C。

从这样的表中我们不难发现矩阵具有以下特点： 每行只有一个“1”，其余元素均 为“0”； 每列只有一个“1”，其余元素均为“0”； 全部元素中“1”的总和为n 。

由此，可以想到运用神经网络的思想解决旅行商问题。

由于神经网络是并行计算的，其计算量不随维数的增加而发生指数性“爆炸”，因而对于优化问题的高速计算特别有效。

利用N ×N 个神经元组成Hopfield 神经网络，网络达到稳定状态时各个神经元之状态对应置换矩阵的各个元素值，各城市间的距离作为一组约束信息决定神经元之间的连接强度w ij 。

期望网络演变的最终结果给出最优解，也即以置换矩阵表明最短距离条件下路径之顺序。

Hopfield 神经网络主要是模拟生物神经网络的记忆机理，是一种全连接型的神经网络，对于每个神经元来说，自己输出的信号通过其他神经元又反馈到自身，所以Hopfield 神经网络是一种反馈型神经网络连续的Hopfield 神经网络状态的演变过程是一个非线性动力学系统，可以用一组非线性微分方程来描述系统的稳定性可用所谓的“能量函数”进行分析，在满足一定条件下，某种“能量函数”的能量在网络运行过程中不断地减小，最后趋于稳定的平衡状态。

反馈网络达稳定状态时可以使系统的能量达到极小，因而可用于一些最优化问题的计算，能量公式如下:式中，A ，B ，C ，D 是权值， 表示城市x 到城市y 之间的距离。

前三项是问题的约束项，最后一项是优化目标项。

下面以旅行商问题进行连续的Hopfield 神经网络理论应用研究。

3.2算法的改进改进之后，能量公式如下给出的动态方程如下()2,1,111111*********N N N N N N N N N N Nxi xj xi yi xi xy xi y i y i x i j i x y x x i x y i A B C D E V V V V V N d V V V +-===========⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22,1111111111222N N N N N N N xi xi xi xy y i x i i x x y i A A D E V V V d V +=======⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,111111N N N xi xi yi xy y i i y y xi dU E A V A V D d V dt V +===⎛⎫∂⎛⎫=-=----- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∑∑∑具体算法步骤如下：1）置初值和权值，t=0，A=1.5，D=1.0，U0；2）读入N个城市之间的距离d xy(x,y=1,2,3,…,N)；3）神经网络输入U xi(t)的初始化x,i=1,2,…,N；U xi(t)=U0+δxi其中，U0=12U0ln⁡(N−1),⁡N为城市个数，δxi为（−1，+1）区间的随机值。

4）利用动态方程计算dU xidt；5）根据一阶欧拉法计算U xi(t+1)；U xi(t+1)=U xi(t)+dU xiΔT6）采用sigmoid函数计算V xi(t)；V xi(t)=12（1+tanh⁡(U xi(t)U0)）；7）计算能量函数E；8）检查路径合法性，判断迭代是否结束，若未结束返回到第4）步；9）输出迭代次数、最优路径、能量函数、路径长度及能量变化。

上述算法的能量函数及导出的神经元动态方程与前面的算法本质上是相同的，从而具有前面算法的优越性，提高了计算效率。

3.3仿真中所采用的关键命令1)sumsqr(X)：求矩阵X中各元素的平方值之和；2)sum(X)或sum(X,1)为矩阵X中各行相加，sum(X,2)为矩阵X中各列相加；3)repmat：用于矩阵复制；4)dist(x,y)：计算两点间的距离。

4.程序说明5.仿真结果分析图5.1：原路径与旅行商路径结果对比图5.2：能量函数变化迭代次数：k=2000最优路径：4→6→5→2→3→8→1→7→4最优能量函数：Final_E=1.4468初始路程：Initial_Length=4.4919最短路程：Final_Length=2.8937实验结果表明算法改进后在求解速度和算法收敛性上都有了很大的提高。

6.结论与展望6.1结论旅行商问题是组合优化中的经典问题，涉及求多个变量的函数的最小值。

它是对给定的N个城市找出一条最短的路径，这条路径对每个城市都访问一次，最后还回到出发的那个城市。

这与我们外出旅游十分相似，旅行商问题中对每个城市都访问一次，对应于旅游问题中对每个景点都游览一遍。

因此，可以说旅行商问题代表了一类组合优化问题，因而探讨旅行商问题的有效求解方法有着广泛的应用前景。

本文提出了一种基于Hopfield神经网络的求解算法。

在介绍了Hopfield神经网络模型之后，详细介绍了如何实现其对旅行商问题的求解。

在分析该方法的缺陷之后，分别就参数设置和能量函数对现有算法进行了改进，并针对有重复解的现象，对算法提出了进一步的改进。

最后利用Matlab软件进行编程仿真，给出了改进算法求解的结果，加快了算法的收敛速度。

6.2展望人工神经网络技术作为人工智能技术新手段，是目前国际上迅速发展的前沿研究方向之一。