阅读与欣赏(六) 解决数列问题的七大常用技巧

解决数列问题的七大常用技巧
技巧一巧用性质减少运算
等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．
(1)等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为()
A．1B．2
C．3 D．5
(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S k S k＋1＜0的正整数k＝__________．
[点拨](1)可直接把a1＋a3看作一个整体，利用等比数列的性质求解公比，然后代入即可；也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程，求出公比后再求和．(2)利用等差数列的前n项和的性质．
【解析】 (1)法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2
＝(a 1＋a 3)·(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3
＝42
8＝2.
同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， 所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)， 故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝22
4＝1.
所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ，
则a 5＝a 1q 4，a 7＝a 3q 4，所以q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝48＝1
2.
又
a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×
⎝⎛⎭⎫122
＝2， a 13＋a 15＝a 1q 12＋a
3
q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×
⎝⎛⎭
⎫123
＝1， 所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. (2)依题意得a 6＝S 6－S 5＞0， a 7＝S 7－S 6＜0，a 6＋a 7＝S 7－S 5＞0， 则S 11＝11(a 1＋a 11)
2＝11a 6＞0，
S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)
2＞0， S 13＝
13(a 1＋a 13)
2
＝13a 7＜0， 所以S 12S 13＜0，即满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝12. 【答案】 (1)C (2)12
技巧二 巧用升降角标法实现转化
在含有a n ，S n 对任意正整数n 恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题．
设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1
＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．
【解】 当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3， 得a n ＝2S n －1＋3，
两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， 所以a n ＋1＝3a n ， 所以a n ＋1
a n
＝3.
当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2
a 1＝3.
所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以a n ＝3×3n －
1＝3n .
技巧三 巧用不完全归纳找规律
解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律．
在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＋(－1)n a n＝cos[(n＋1)π]，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2 018＝__________．
[点拨]根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求S2 018的值．
【解析】由a1＝1，a n＋1＋(－1)n a n＝cos [(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，…由此可知，数列{a n}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋a1＋a2＝－1 005.
【答案】－1 005
技巧四巧用辅助数列求通项
已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式．
(1)当出现a n＝a n－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；
(2)当出现a n＝xa n－1＋y(n≥2)时，构造等比数列．
(1)设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－4a n＝
3×2n ＋
1，求数列{a n }的通项公式．
(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n
a n ＋3(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．
【解】 (1)由a n ＋1－4a n ＝3×2n
＋1
得，a n ＋12
n ＋1－2a n
2n ＝3，
设b n ＝a n
2
n ，则b n ＋1＝2b n ＋3，设b n ＋1＋t ＝2(b n ＋t )，所以2t －t ＝3，解得t ＝3，所以b n ＋
1＋3＝2(b n ＋3)，所以
b n ＋1＋3b n ＋3
＝2，又b 1＋3＝a 1
2＋3＝1＋3＝4，所以数列{b n ＋3}是以4为首
项，2为公比的等比数列，所以b n ＋3＝4×2n －
1＝2n ＋
1，所以b n ＝2n ＋
1－3，所以a n ＝b n ·2n ＝(2n ＋
1－3)×2n ＝22n ＋
1－3×2n .
(2)因为a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1
a n ＋1
＋t ＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭
⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以3
2为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n
2，所以a n ＝23n －1
. 技巧五 巧用裂项求和
裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本原则是a n ＝f (n )－f (n ＋1)．
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，
若数列{S n ＋1}是公比为4的等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋1
(a n ＋1－3)·S n ＋1
，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .
[点拨] (1)先求S n ，再利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求a n ；(2)把通项分解为两项的差，再消项求和．
【解】 (1)由题意知S n ＋1＝(S 1＋1)·4n －
1＝4n ， 所以S n ＝4n －1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3·4n －
1，且a 1＝3满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·4n －
1.
(2)b n ＝a n ＋1(a n ＋1－3)·S n ＋1＝4n (4n －1)(4n ＋1－1)＝13⎝⎛⎭⎫1
4n －1－14n
＋1－1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝13×⎝⎛⎭⎫141－1－142－1＋13×⎝⎛⎭⎫142－1－143－1＋…＋1
3×⎝⎛⎭⎫14n －1－14n ＋1－1 ＝13⎝⎛⎭⎫141－1－14n ＋1－1＝19－13(4n ＋1
－1). 技巧六 巧用分组妙求和
分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和．
若数列{a n }的通项公式为a n ＝22n ＋
1，令
b n ＝(－1)n －
1×4(n ＋1)log 2a n log 2a n ＋1
，则数列{b n }的前n 项和T n ＝____________．
【解析】 由题意得b n ＝(－1)n －1
4(n ＋1)
log 2a n log 2a n ＋1
＝(－1)n
－1
4(n ＋1)
(2n ＋1)(2n ＋3)
＝(－1)n －
1⎝⎛⎭
⎫12n ＋1＋12n ＋3，
当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫13＋15－⎝⎛⎭⎫
15＋17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3＝13－1
2n ＋3
，
当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫13＋15－⎝⎛⎭⎫
15＋17＋…－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3＝13＋1
2n ＋3
， 所以T n ＝13－(－1)n 1
2n ＋3.
【答案】 13－(－1)n 1
2n ＋3
技巧七 巧用特值验算保准确
使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在求出结果后使用a 1＝S 1进行检验，如果出现a 1≠S 1，则说明运算结果一定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果．
已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
3n －1
2n
，则其前n 项和S n ＝__________． 【解析】 S n ＝221＋522＋8
23＋…＋3n －12n ，
2S n ＝2＋521＋8
22＋…＋3n －12
n －1，
两式相减得S n ＝2＋321＋322＋…＋3
2n －1－3n －12n ，
S n ＝2＋32⎝⎛
⎭⎫
1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋5
2n .
【答案】 5－3n ＋5
2
n。