课堂作业(24)直线与圆综合应用(1)
直线与圆的综合运用练习题
直线与圆的综合运用练习题直线与圆的关系是数学中的基础知识点，不仅在几何学中有广泛应用，而且在实际问题中也能发挥重要作用。
本文将给出一些直线与圆综合运用的练习题，帮助读者巩固和应用所学知识。
问题一：已知直线与圆的交点坐标，求直线方程和圆的方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。
设交点坐标为(x₁, y₁)，代入直线方程得y₁ = kx₁ + b，代入圆的方程得(x₁ - m)² + (kx₁ + b - n)² = r²。
化简后即可得到直线方程和圆的方程。
问题二：已知直线与圆的交点坐标，求该直线过圆心的垂线方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆心坐标为(m, n)。
由于直线过圆心的垂线与直线的斜率为k的负倒数，故直线过圆心的垂线的斜率为-1/k。
设垂线方程为y = mkx + c，代入圆心坐标(m, n)得c = n -k*m。
因此，该直线过圆心的垂线方程为y = -x/k + (n - k*m)。
问题三：已知直线与圆的交点坐标，求直线与圆的切线方程。
解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。
通过求导可得直线的斜率为k。
根据切线的性质，直线与圆的切线垂直于通过切点与圆心的半径。
设直线与圆的切点坐标为(x₁, y₁)，圆心坐标为(m, n)，切线方程为y = mx + c。
由于切线垂直于半径，故直线与切线的斜率乘积为-1，即k * m = -1。
代入切点坐标(x₁, y₁)和圆心坐标(m, n)可得c = y₁ - m*x₁。
因此，直线与圆的切线方程为y = -1/k * x + (y₁ - m*x₁)。
问题四：已知圆的半径和切点坐标，求切线方程。
解析：设圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²，切点坐标为(x₁, y₁)。
直线与圆的综合运用
直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r相交；d＝r相切；d>r相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.考向一直线与圆的位置关系【例】（1）4．圆(x−1)2+(y+2)2=6与直线2x+y−5=0的位置关系是（）A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离（2）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．【举一反三】1．若直线2x+y−2=0与圆(x-1)2+(y−a)2=1相切，则a=______．2．若曲线y=√1−x2与直线y=x+b始终有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[−1,√2]B．[−1,√2)C．[−√2,√2]D．[1,√2]3．已知圆C过点P(2,1)，圆心为C(5,−3)．（1）求圆C的标准方程；（2）如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点，求实数k的取值范围．考向二直线与圆的弦长【例】（1）直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且|AB|=√3，则m=。
【举一反三】1．圆C：x2+y2−2x=0被直线y=√3x截得的线段长为（）A．2 B．√3C．1 D．√22.圆C：x2+y2−2x=0被直线y=x截得的线段长为（）A．2 B．√3C．1 D．√23．直线(m+1)x−my+3m+2=0被圆C:x2+y2=16所截的弦长的最小值为（）A．2√5B．6 C．2√11D．8考向三 切线问题【例】已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A (4，－1)．【举一反三】1. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．2．已知圆的方程为x 2+y 2=1，则在y 轴上截距为√2的圆的切线方程为（ ）A ．y =x +√2B ．y =−x +√2C ．y =x +√2或y =−x +√2D ．x =1或y =x +√23．已知圆：x 2+(y −1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0考向四 圆上的点到直线距离最值【例】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是________．【举一反三】1．设A 为圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上一动点，则A 到直线x +y −14=0的最大距离为________________．1．“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线xcosθ+ysinθ=1与圆(x −1)2+(y −1)2=9的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定 3．若直线y =√33x +2与圆C:x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则线段AB 中点的坐标为 A ．(−√32,32) B ．(−√32,−32) C ．(√32,32) D ．(√32,−32)5．已知直线l:x−√3y=0与圆C:x2+(y−1)2=1相交于O,A两点，O为坐标原点，则ΔCOA的面积为（）A．√34B．√32C．√3D．2√36．已知圆C:(x−3)2+(y−1)2=3及直线l:ax+y−2a−2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________.7．已知直线l:ax+by−3＝0与圆M：x2+y2+4x−1＝0相切于点P（−1，2），则直线l的方程为_____．8．圆x2+y2=4与直线x+y−2=0相交于A，B两点，则弦|AB|=_______．9．已知直线l与圆x2+y2−4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(−1,1)，则直线l的方程为________.10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l 的方程为________________．12．过原点作圆x2+(y−6)2=9的两条切线，则两条切线所成的锐角_________.。
直线与圆的综合应用(学生版)
直线与圆的综合应用【题型归纳目录】题型一：距离的创新定义题型二：切比雪夫距离题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题题型四：圆的包络线问题题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题题型六：圆中的垂直问题题型七：圆的存在性问题【典例例题】题型一：距离的创新定义例1.(2022·全国·高三专题练习)数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与x -a 2+y -b 2相关的代数问题，可以转化为点A (x ，y )与点B (a ，b )之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程x 2+6x +10-x 2-6x +10=4的解是( )A.3010 B.305 C.2305 D.4305例2.(2022·安徽阜阳·高三期末(理))闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为A =a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 和B =b 1,b 2,⋯,b n ，这两组数据间的闵氏距离定义为d AB (q )=nk =1a k -b k q 1q ，其中q 表示阶数.现有下列四个命题：①若A =(1,2,3,4),B =(0,3,4,5)，则d AB (1)=4；②若A =(a ,a +1),B =(b -1,b )，其中a ,b ∈R ，则d AB (1)=d AB (2)；③若A =(a ,b ),B =(c ,d )，其中a ,b ,c ,d ∈R ，则d AB (1)≥d AB (2)；④若A =a ,a 2 ,B =(b ,b -1)，其中a ,b ∈R ，则d AB (2)的最小值为328.其中所有真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4例3.(2022·全国·高三专题练习(文))费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知A (-2,0)，B (2,0)，C (0,4)，P 为△ABC 内一点，记f P =PA +PB +PC ，则f P 的最小值为( )A.23B.4+23C.4+3D.2+3例4.(2022·全国·高三专题练习)在直角坐标系xOy 中，已知点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，记d p A ,B =x 1-x 2 p +y 1-y 2 p ，其中p 为正整数，称d p A ,B 为点A ，B 间的M 距离．下列说法正确的是( )．A.若d 1O ,A =1，则点A 的轨迹是正方形B.若d 1A ,B =d 2A ,B ，则A 与B 重合C.d 1A ,B ≤2d 2A ,BD.d 2A ,B ≥d 1A ,B 例5.(2022·北京·牛栏山一中高三期中)如图，平面内两条直线l 1和l 2相交于点O ，构成的四个角中的锐角为60°.对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对p ,q 是点M 的“距离坐标”，给出下列四个命题：①1,0 点有且仅有两个；②2,3 点有且仅有4个；③若p =2q ，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线；④满足p 2+q 2=1的所有点p ,q 位于一个圆周上.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4例6.(多选题)(2022·河北廊坊·高三阶段练习)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为A =a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 和B =b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n ，这两组数据间的闵氏距离定义为d AB q =n k =1a k -b k q 1q ，其中q 表示阶数．下列命题中为真命题的是( )A.若A =1,2,3,4 ，B =0,3,4,5 ，则d AB 1 =4B.若A =a ,a +1 ，B =b -1,b ，其中a ，b ∈R ，则d AB 1 =d AB 2C.若A =a ,b ，B =c ,d ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则d AB 1 ≥d AB 2D.若A =a ,a 2 ，B =b ,b -1 ，其中a ，b ∈R ，则d AB 2 的最小值为328例7.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)定义点P x 0,y 0 到直线l :Ax +By +C =0A 2+B 2≠0 的有向距离为d =Ax 0+By 0+C A 2+B 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，给出以下命题，其中是假命题的是( )A.若d 1-d 2=0，则直线P 1P 2与直线l 平行B.若d 1+d 2=0，则直线P 1P 2与直线l 平行C.若d 1+d 2=0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D.若d 1d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交例8.(2022·全国·高三专题练习)记d A ,B =x 1-x 2 +2y 1-y 2 ，其中A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，已知A 、B 是椭圆x 24+y 2=1上的任意两点，C 是椭圆右顶点，则d A ,C +d B ,C 的最大值是______.例9.(2022·四川凉山·三模(文))点M 是ΔABC 内部或边界上的点，若M 到ΔABC 三个顶点距离之和最小，则称点M 是ΔABC 的费马点(该问题是十七世纪法国数学家费马提出).若A 0,2 ，B -1,0 ，C 1,0 时，点M 0是ΔABC 的费马点，且已知M 0在y 轴上，则AM 0 +BM 0 +CM 0 的大小等于______.例10.(2022·浙江宁波·三模(理))定义：曲线C 上的点到点P 的距离的最小值称为曲线C 到点P 的距离.已知曲线C :y =1x (x >0)到点P (a ,a )的距离为322，则实数a 的值为___________．例11.(2022·上海·模拟预测)记δ=ax 0+by 0+c a 2+b2到点P x 0,y 0 与直线l ：ax +by +c =0的“有向距离”．(1)分别求点A -1,2 与B 2,3 到直线l ：2x -y +1=0的“有向距离”，由此说明直线l 与两点A 、B 的位置关系．(2)求证：到两条相交定直线bx ±ay =0(a ，b 不同时为零)的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．(3)利用上述(2)结论证明：曲线4x 2-3xy +3=0为双曲线，并求其虚轴长．题型二：切比雪夫距离例12.(2022·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中，定义d A ,B =max x 1-x 2 ,y 1-y 2 为两点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称d P ,Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d P ,l ，给出四个命题，正确的是________.①对任意三点A 、B 、C ，都有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；③已知点P 3,1 和直线l :2x -y -1=0，则d P ,l =43；④定点F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，动点P x ,y 满足d P ,F 1 -d P ,F 2 =2a 2c >2a >0 ，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点.例13.(2022·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max {|x 1-x 2|,|y 1-y 2|}为两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称d (P ,Q )的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d (P ,l ).(1)求证：对任意三点A 、B 、C ，都有d (A ,C )+d (C ,B )≥d (A ,B )；(2)已知点P (3,1)和直线l :2x -y -1=0，求d (P ,l )；(3)定点C (x 0,y 0)，动点P (x ,y )满足d (C ,P )=r (r >0)，请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.例14.(2022·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max {|x 1-x 2|,|y 1-y 2|}为两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称d (P ,Q )的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d (P ,l )，给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有d (C ,A )+d (C ,B )≥d (A ,B )；②已知点P (3,1)和直线l :2x -y -1=0，则d (P ,l )=43；③定点F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)，动点P (x ,y )满足|d (P ,F 1)-d (P ,F 2)|=2a (2c >2a >0)，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3例15.(2022·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|为两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称d (P ,Q )的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d (P ,l )，给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有d (C ,A )+d (C ,B )≥d (A ,B )；②已知点P (3,1)和直线l :2x -y -1=0，则d (P ,l )=43；③定义O (0,0)，动点P (x ,y )满足d (P ,O )=1，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数( )A.0B.1C.2D.3例16.(2022·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中,定义d A ,B =max x 1-x 2 ，y 1-y 2 为两点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称d P ,Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作d P ,l ，给出下列四个命题:①对任意三点A ,B ,C ，都有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；②已知点P (3,1)和直线l :2x -y -1=0，则d P ，l =43；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；其中真命题的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题例17.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)“出租车几何”或“曼哈顿距离”(Manhat tan Dis tan ce )是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系xOy 内，对于任意两点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，定义它们之间的“欧几里得距离”AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2，“曼哈顿距离”为AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，则下列说法正确的是( )A.若点P 为线段x +y =3x ,y ≥0 上任意一点，则OP 为定值B.对于平面上任意一点P ，若OP =2，则动点P 的轨迹长度为4πC.对于平面上任意三点A 、B 、C ，都有AB ≤AC +BCD.若A 、B 为椭圆x 2+4y 2=4上的两个动点，则AB 最大值为23例18.(多选题)(2022·山东省实验中学模拟预测)对于平面直角坐标系内的任意两点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，定义它们之间的一种“距离”为‖PQ ‖=x 1-x 2 +y 1-y 2 ．已知不同三点A ，B ，C 满足‖AC ‖+‖BC ‖=‖AB ‖，则下列结论正确的是( )A.A ，B ，C 三点可能共线B.A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形C.A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D.A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形例19.(多选题)(2022·江苏·金陵中学高三阶段练习)对于直角坐标平面内的任意两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=x 1-x 2 +y 1-y 2 ，则下列说法正确的是( )A.若点C 是线段AB 的中点，则‖AB ‖=2‖AC ‖B.在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2C.在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖≥‖AB ‖D.在正方形ABCD 中，有‖AB ‖=‖BC ‖例20.(多选题)(2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末)“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 的曼哈顿距离为L PQ =x 1-x 2 +y 1-y 2 ．若点P -2,1 ，Q 是圆M :x -1 2+y -1 2=1上任意一点，则L PQ 的取值可能为( )A.4B.3C.2D.1例21.(多选题)(2022·江苏无锡·高三期末)已知平面直角坐标系中两点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)，用以下方式度量A ,B 两点距离：d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 ，则下列说法正确的是( )A.在平面直角坐标系中，A (-3,0)，N (2,0)，满足d (A ,N )=d (A ,C )+d (N ,C )的点C 的横坐标范围为[-3,2]B.在平面直角坐标系中，任意取三点A ,B ,C ，d (A ,B )≤d (A ,C )+d (B ,C )恒成立C.在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，则满足d (O ,P )=1的点P (x ,y )所形成的图形是圆D.在平面直角坐标系中，点M 在y 2=4x 上，N (2,0)，则满足d (M ,N )=3的点M 共有4个例22.(多选题)(2022·江苏苏州·高三阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为两点A ，B 的“折线距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称d (P ,Q )的最小值为点P 到直线l 的“折线距离”，记作d (P ,l )，下列说法正确的是( )A.对任意的两点A ，B ，都有d (A ,B )≥|AB |B.对任意三点A ､B ､C ，都有d (A ,C )+d (B ,C )≥d (A ,B )C.已知点P (3,1)和直线l :2x -y -1=0，则d (P ,l )=455D.已知点O (0,0)，动点P (x ,y )满足d (P ,O )=1，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是2例23.(2022·全国·模拟预测(文))设点P x 1,y 1 是⊙C ：x 2+y 2=1上的动点，点Q x 2,y 2 是直线l ：2x +3y -6=0上的动点，记L PQ =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，则L PQ 的最小值是______．例24.(2022·江苏南通·一模(文))在平面直角坐标系中有两点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，现定义由点A 到点B 的折线距离ρ(A ,B )=x 2-x 1 +y 2-y 1 ，若已知点B (1,0)，点M 为直线x -2y +2=0上的动点，则ρ(B ,M )取最小值时点M 的坐标是______．例25.(2022·重庆八中高三阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，定义P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 两点间的直角距离为d (P ,Q )=x 1-x 2 +y 1-y 2 ，将曲线C :(x -1)2+y 2=1(x ≥1)依次以原点O 为中心逆时针旋转90°三次，得到由四段圆弧构成的曲线E .若点P 为曲线E 上任意一点，则d (O ,P )的取值范围为___________.例26.(2022·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中，定义P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 两点间的直角距离为d P ,Q =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，如图，BC 是圆A :x -1 2+y 2=1当x ≥32时的一段弧，D 是BC 与x 轴的交点，将BC 依次以原点O 为中心逆时针旋转60∘五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d C ,D =_______．若点P 为曲线上任一点，则d O ,P 的最大值为________．例27.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，定义A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点的折线距离d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 .设点P (m 2,n 2)，Q (m ,n )，O (0,0)，C (2,0)，若d (P ,O )=1，则d (Q ,C )的取值范围___________.例28.(2022·上海·复旦附中模拟预测)在平面直角坐标系中，两点P 1x 1,y 1 ,P 2x 2,y 2 间的“L -距离”定义为‖P 1P 2|=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值(大于F 1F 2 的点的轨迹可以是()A. B.C. D.例29.(2022·全国·高三专题练习)“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则A ，B 两点的“曼哈顿距离”为x 2-x 1 +y 2-y 1 ，下列直角梯形中的虚线可以作为A ，B 两点的“曼哈顿距离”是( )A. B.C. D.题型四：圆的包络线问题例30.(2022•重庆月考)设直线系M :x cos θ+(y -2)sin θ=1(0≤θ≤2π)，则下列命题中是真命题的个数是( )①存在一个直线与所有直线相交；②M 中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A.0B.1C.2D.3例31.(2022春•鹤岗校级期末)设直线系M :x cos θ+(y -2)sin θ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个结论：(1)当直线垂直于y 轴时，θ=0或π；(2)当θ=π6时，直线倾斜角为120°；(3)M中所有直线均经过一个定点；(4)存在定点P不在M中任意一条直线上．其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.②④例32.(2022春•朝阳区校级期末)设直线系M:x cosθ+(y-2)sinθ=1(0≤0<2π)．下列四个命题中不正确的是( )A.存在一个圆与所有直线相交B.存在一个圆与所有直线不相交C.存在一个圆与所有直线相切D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等例33.(2022•西湖区校级模拟)已知直线l:x cosα+y sinα-1=0(a∈R)与圆(x-2)2+(y-5)2=4相切，则满足条件的直线l有( )条A.1B.2C.3D.4例34.(2022•安徽模拟)已知直线l:x cosα+y sinα=1(α∈R)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相交，则r的取值范围是( )A.0<r≤1B.0<r<1C.r≥1D.r>1例35.(多选题)设有一组圆C k:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)．下列四个命题中真命题的是( )A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点例36.(多选题)(2022•思明区校级月考)已知圆M:(x-1-cosθ)2+(y-2-sinθ)2=1，直线l:kx-y-k+2= 0，下面五个命题，其中正确的是( )A.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点B.对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离C.存在实数k与θ，直线l和圆M相离D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切E.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切例37.(2022•启东市校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x,y)都不在直线2mx+(1-m2)y-4m-2=0上，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为 ．题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题例38.(2022•赣州期末)如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)．若θ1=θ2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为( )A.14a2B.49a2C.14πa 2D.49πa 2例39.(2022•青羊区校级月考)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0,k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将该圆称为波罗圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |=2，当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是( )A.22 B.2 C.223 D.23例40.(2022•沙坪坝区校级期中)古希腊数学家波罗尼斯(约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，设A (-3,0)，B (3,0)，动点M 满足|MA ||MB |=2，则动点M 的轨迹围成的面积为( )A.64π B.16π C.4π D.2π例41.(2022•七模拟)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262~190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k (k >0,k ≠1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知定点A (-2,0)，B (2,0)，动点C 满足|AC |=2|BC |，则动点C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P ，已知点D 在圆P 上(点D 在第一象限)，AD 交圆P 于点E ，连接EB 并延长交圆P 于点F ，连接DF ，当∠DFE =30°时，直线AD 的斜率为( )A.3913B.2613C.34D.134例42.(2022•余姚市校级模拟)如图，已知平面α⊥β，α∩β=l ，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA ⊥l ，CB ⊥l ，AD =3，AB =6，CB =6，P 是平面α上的一动点，且直线PD 、PC 与平面α所成角相等，则二面角P -BC -D 的余弦值的最小值是( )A.15 B.12 C.32 D.1例43.(2022•双流区校级一模)已知三棱锥A -BCD 中，底面BCD 为等边三角形，AB =AC =AD =3，BC =23，点E 为CD 的中点，点F 为BE 的中点．若点M 、N 是空间中的两动点，且MB MF =NB NF =2，MN =2，则AM ∙AN =( )A.3B.4C.6D.8例44.(2022春•宝山区校级期末)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0,k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知P 、Q 分别是圆C :(x -4)2+y 2=8，圆D :x 2+(y -4)2=1上的动点，O 是坐标原点，则|PQ |+22|PO |的最小值是 25-1 ．例45.(2022春•新华区校级期末)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0,k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |=2，则PA 2+PB 2的最小值 36-242 ．例46.已知⊙O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，P 是⊙O 上任意一点，则AP +2BP 的最小值为 5 ．例47.(2022•温州期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x 2+y 2=1和点A -12,0 ，点B (1,1)，M 为圆O 上动点，则2|MA |+|MB |的最小值为 10 ．例48.(2022春•锡山区校级期中)点P 为圆A :(x -4)2+y 2=4上一动点，Q 为圆B :(x -6)2+(y -4)2=1上一动点，O 为坐标原点，则|PO |+|PQ |+|PB |的最小值为 ．例49.(2022•成都模拟)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 为正方形，P 为A 1D 1的中点，AD =2,AA 1=3，点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC =2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为 ．例50.(2022•浙江二模)棱长为36的正四面体A -BCD 的内切球球面上有一动点M ，则MB +13MC 的最小值为 ．例51.(2022春•诸暨市月考)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =33，点E ，F 在线段DB 1上，且DE=EF =FB 1，点M 是正方体表面上的一动点，点P ，Q 是空间两动点，若|PE ||PF |=|QE ||QF |=2且|PQ |=4，则MP ⋅MQ 的最小值为 ．题型六：圆中的垂直问题例52.(2022•蓟县一模)已知圆T :(x -4)2+(y -3)2=25，过圆T 内定点P (2,1)作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为( )A.21B.213C.212D.42例53.(2022•湖北模拟)过圆x 2+y 2=25内一点P (15，0)作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别与圆交于A 、C 和B 、D ，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A.403B.8033C.402D.8023例54.(2022•西湖区校级模拟)过坐标原点O 在圆x 2+y 2-4x -5=0内作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则2|AB |+|CD |的最大值 ．例55.(2022•武汉模拟)过圆T :x 2+y 2=4外一点P (2,1)作两条互相垂直的直线AB 和CD 分别交圆T 于A ，B 和C ，D 点，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．例56.过点P (0,3)作两条相互垂直的直线分别交圆x 2+y 2=16于A 、C 和B 、D 两点，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．例57.过定点M (1,2)作两条相互垂直的直线l 1、l 2，设原点到直线l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2，则d 1+d 2的最大值是 ．例58.(2022春•永顺县校级期末)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M :(x +2)2+(y +2)2=r 2(r >0)关于直线x +y +2=0对称．(1)求圆C 的方程；(2)直线l 过点Q (1,0.5)，截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．题型七：圆的存在性问题例59.(2022·安徽·高二月考)已知圆C :x -4 2+y -22 2=6和两点A -a ,0 ，B a ,0 a >0 ，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则实数a 的取值范围是()A.6,26 B.1,3 C.0,26 D.6,36例60.(2022·福建省南安市侨光中学高二月考)已知圆C ：x 2+y -5 2=4和两点A -a ,0 ，B a ,0 a >0 ，若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是()A.3,5B.3,5C.3,7D.4,7例61.(2022·四川·阆中中学高二月考(理))已知圆C ：(x -3)2+(y -6)2=1和两点A (-t ,0),B (t ,0),(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则t 的最小值为()A.1B.2C.3D.4例62.(2022·江西·上高二中高二月考(理))已知点A (1，0)，B (1，6)，圆C ∶x 2+y 2-10x -12y +m =0，若在圆C 上存在唯一的点P 使∠APB =90°，则m =()A.-3或3B.57C.-3或57D.3或57例63.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高二月考)如果圆C :x -a 2+y -a 2=8上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数a 的取值范围是()A.-3,-1 ∪1,3B.-3,-3C.-1,1D.-3,-1 ∪1,3例64.(2022·四川成都·高二月考(文))已知圆C :x -1 2+y -2 2=9上存在四个点到直线l :x -y +b =0的距离等于2，则实数b 范围是()A.(-∞,1-52)∪1+52,+∞B.1-52,1+52C.(-∞,1-2)∪1+2,+∞D.1-2,1+2例65.(2022·四川省武胜烈面中学校高二月考(理))设点M x 0,1 ，若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45°，则x 0的取值范围是()A.-22,22B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-2,2D.-1,1例66.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高二月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C :x -2 2+y 2=9，E ,F 是直线l :y =x +2上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点A ,B ，使得cos ∠APB ≤0，则线段EF 长度的最大值为()A.2B.14C.210D.4例67.(2022·重庆·高二期中)已知EF 是圆C :x 2+y 2-2x -4y +3=0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l :x -y -3=0上存在两点A ,B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是()A.32+1B.42+2C.43+1D.43+2例68.(2022·江西·南昌大学附属中学高二月考)在平面直角坐标系中，已知点A (-1,0),B (2,0)，圆C :(x -2)2+(y -m )2=14(m >0)，在圆上存在点P 满足|PA |=2|PB |，则实数m 的取值范围是A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212例69.(2022·全国·高二课时练习)设点M (3,4)在圆x 2+y 2=r 2(r >0)外，若圆O 上存在点N ，使得∠OMN =π3，则实数r 的取值范围是()A.52,+∞B.532,+∞ C.532,5 D.52,5例70.(2022·江西·余干县第三中学高一月考)已知点P (3,a )，若圆O :x 2+y 2=4上存在点A ，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是()A.(-33,33)B.[-33,33]C.(-∞,-33)∪(33,+∞)D.(-∞,-33]∪[33,+∞)例71.(多选题)(2022·江苏·苏州中学高二)已知二次函数y =x 2-2x +m m ≠0 交x 轴于A ,B 两点(A ,B 不重合)，交y 轴于点C ．圆M 过A ,B ,C 三点．下列说法正确的是()A.圆心M 在直线x =1上B.m 的取值范围是0,1C.圆M 半径的最小值为1D.存在定点N ，使得圆M 恒过点N例72.(多选题)(2022·江苏南京·高二月考)若直线x +y +m =0上存在点P ，过点P 可作圆O ：x 2+y 2=3的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB =120°，则实数m 的取值可以为()A.-22B.0C.22D.3例73.(多选题)(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二月考)设圆O ：x 2+y 2=r 2r ∈N * ，点A 3,4 ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的可能取值为()A.3B.4C.5D.6例74.(2022·上海奉贤区致远高级中学高二月考)在矩形ABCD 中，AB =1,BC =a a >0 ，PA ⊥平面ABCD ，且PA =1．若边BC 上存在两个不同的点Q 1、Q 2，使得PQ 1⊥DQ 1,PQ 2⊥DQ 2，则a 的取值范围是_____________例75.(2022·江西·九江一中高二月考(理))△ABC 中AB =AC =2，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2+PC 2=4，PA 2=1，则△ABC 的面积最大值为__________________．例76.(2022·江苏·泰州中学高二月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x +1 2+y 2=2，点A 2,0 ，若圆C 上存在点M ，满足MA 2+MO 2<10，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.例77.(2022·全国·高二单元测试)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2-4y +3=0，若直线x -ty +2=0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则实数t 的取值范围为______．。
直线与圆的综合应用
直线与圆的综合应用【学习目标】1、会求圆的切线方程，圆的公共弦方程，圆截直线所得的弦长；2、能利用直线与圆的方程研究与圆有关的问题，提高思维能力。
【重点难点】能充分利用圆的几何性质，通过数形结合求解直线与圆的有关综合问题。
【学习过程】一、知识梳理1、直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离）①⇔=R d 相切；②⇔<R d 相交；③⇔>R d 相离。
2、圆的切线①过圆上一点的切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是： ； 过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是： 。
②从圆外一点引圆的切线一定有 条,切方程的求法：可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；3．切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的__________；（2）经过切点垂直于切线的直线必经过_____________；（3）圆的切线垂直于经过切点的_____________．4．垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分弦所对的弧；即弦的垂直平分线经过______．5．直径所对的圆周角是 ；90度的圆周角所对的弦是 ．二、基础自测：1、若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点P (,)a b 与圆的位置关系是 。
2、从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点P (2,3)向圆引切线，则切线长为 。
3、已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 。
4、已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 。
5.设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为 .6.2kx +有唯一解，则实数k 的取值范围是三、典型例题：例1．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点()2,0M -的直线l 与圆221x y +=交于Q P ,两点．（1）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程；（2）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．例2、已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点)0,1(-A 。
直线和圆的综合运用
直线和圆的综合运用【高数的由来】据说在1669年，牛顿在剑桥大学升为数学教授。
当时学校资金紧张，包括牛顿大部分教职工薪水已欠数月。
为解决此问题，牛顿潜心研究创立了微积分，将一门名叫“高等数学”的新科目设为全校的必修课，并规定不及格者来年必须缴费重修直到通过。
很快教师们的工资发了下来......一、知识点回顾1、圆的方程（1）圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
（2）圆的方程①标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；②一般方程022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
③求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
2、直线与园的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： Ⅰ、设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距 离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<Ⅱ、设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。
直线与圆的综合(学生版)
直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线 的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（ ）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。
2020年江苏寒假数学网课直线与圆、圆与圆的综合应用(1)
直线与圆、圆与圆的综合应用【基础检测】1．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆 中，半径最大的圆的标准方程为____________． 【答案】(x －1)2＋y 2＝2【解析】mx －y －2－1＝0直线过定点(2，－1)，由平面几何知识可知，当圆过点(2，－1)时，半径最大，此时半径为2， 所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2．2．动直线y ＝k (x －2)与曲线y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取得 最大值时，实数k 的值为________． 【答案】－33【解析】依题意，△AOB 的面积取得最大值时，则∠AOB ＝90°，则上半圆的圆心到直线的距离为12， 据点到直线的距离公式可得k 2＝13，依题意，k ＜0，所以实数k 的值为－33． 3．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两 条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 【解析】设P (x ，y )，sin ∠OP A ＝sin30°x 2＋y 2＝4 ①．又P 在圆M 上，则(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1 ②．由①②得1≤3，解得4－22≤a ≤4＋22．4．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在 一点C ，满足OC u u u r ＝54OA u u u r ＋34OB u u ur ，则实数r 的值为________．【答案】10【解析】2OC u u u r ＝(54OA u u u r ＋34OB u u u r )2＝25162OA u u u r ＋2·54OA u u u r ·34OB u u u r ＋9162OB u u u r ，即r 2＝2516r 2＋158r 2cos ∠AOB ＋916r 2，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15．又圆心到直线的距离为OD ＝22＝2， 所以cos 2∠AOD ＝15＝22r，解得r ＝10．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3，4)，B (9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点， 且满足AC ＝BD ．（1）若AC ＝4，求直线CD 的方程；（2）证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O ）． 【解】（1）因为A (－3，4)，所以OA ＝（－3）2＋42＝5．因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45． 由BD ＝4，得D (5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17，所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0．（2）设C (－3m ，4m )(0＜m ≤1)，则OC ＝5m ．则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以D 点的坐标为(5m ＋4，0)．又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0，整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2，－1)．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．（1）若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值．【解】（1）因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以A (－2，0)，F (1，0)．因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎫1，±32． 而直线AP 与圆O 相切，根据对称性，可取P ⎝⎛⎭⎫1，32， 则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0．由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45．（2）圆O 的方程为x 2＋y 2＝3．① 当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－34，所以k OP ＝±32，此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为677．② 当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，首先由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb (x 1＋x 2)＋4b 2＝0 (*)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3．由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b|k 2＋1， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1， 故当k ＝0时，l 有最大值为6．综上所述，因为6＞677，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为6．【例题探究】例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －92)2＋y 2＝10．（1）若直线l 过点P (32，－1)，且被圆C 1截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）已知圆C 2过点M (12，3)，且与圆C 1外切，切点为N (32，1)．① 求圆C 2的方程；② 设斜率为2的直线m 分别交x 轴负半轴和y 轴正半轴于A ，B 两点，交圆C 2在第二 象限的部分于E ，F 两点，若△AOE 与△BOF 的面积相等，求直线m 的方程．【解】（1）因为直线l 被圆C 1截得的弦长为2，设圆心C 1(92，0)到直线l 的距离为d ，所以2，解得d ＝3．① 若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝32，圆心C 1到直线l 的距离为d ＝92－32＝3，所以直线l ：x ＝32符合题意；② 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＋1＝k (x －32)，即kx －y －32k －1＝0．所以d＝3，解得k ＝－43，故直线l ：y ＋1＝－43(x －32)，即4x ＋3y －3＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＝32或4x ＋3y －3＝0．（2）① 因为圆C 2与圆C 1外切于点为N (32，1)，所以C 2，C 1(92，0)，N (32，1)三点共线，所以圆心C 2在直线C 1N ：y ＝－13x ＋32上，①又圆C 2过点M (12，3)，所以圆心C 2在弦MN 的中垂线上，而弦MN 的中点为(1，2)，直线MN 的斜率为－2， 所以圆心C 2在中垂线y －2＝12(x －1)，即y ＝12x ＋32上，②联立①②，解得x ＝0，y ＝32，所以圆心C 2的坐标为(0，32)，且圆C 2的半径为r，所以圆C 2的方程为x 2＋(y －32)2＝52．② 依题意，△AOE 与△BOF 的面积相等，所以AE ＝BF ， 故弦EF 的中点G 与线段AB 的中点重合．设直线m 的方程为y ＝2x ＋t ，则A (－12t ，0)，B (0，t )，所以弦EF 的中点G (4t -，12t )．又C 2G ⊥AB ，所以1322204t t -⋅--＝－1，解得t ＝4． 此时，直线m 的方程为y ＝2x ＋4，经检验，符合题意． 所以直线m 的方程为y ＝2x ＋4．变式 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D ． （1）若AB ＝37，求CD 的长； （2）若CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．【解】（1）由题可知，直线AB 斜率显然存在，且不为0．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0．因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0．所以点O 到直线AB 的距离d 1＝21k +，则237⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋221k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝4，解得k 2＝15． 又点M 到直线CD 的距离d 2＝21k+，所以CD ＝2221d -＝222211k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝2221115⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝3． （2）① 当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4；② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，k ≠0，即kx －y ＋1＝0． 因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：x ＋ky －k ＝0． 由直线CD 与圆M 相交，可得21k +＜1，故k 2＞3．因为22AB ⎛⎫⎪⎝⎭＋221k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝4，所以AB ＝222431k k ++． 因为E 为CD 的中点，所以ME ⊥PD ， 又AB ⊥PD ，所以ME ∥AB ，所以点E 到直线AB 的距离与点M 到直线AB 的距离相等，且距离d ＝221k k +，所以△ABE 的面积S ＝12AB •d ＝．令t ＝k 2＋1＞4，则S ＝＝， 由t ＞4，则0＜1t ＜14，故S ∈(325，4)．综上①②，△ABE 面积的取值范围是(325，4]．例2 （1）在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－5，a )作圆Q ：x 2＋y 2－2ax ＋2y －1＝0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2121y y x x --＋12122x x y y +-+＝0，则实数a 的值为________． （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP 、AQ 分别切圆C 于P 、Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________． 【答案】（1）3或－2 （2）⎣⎡⎭⎫2143，22【解析】（1）设弦MN 的中点为A (x 0，y 0)，圆Q ：(x －a )2＋(y ＋1)2＝a 2＋2，因为2121y y x x --＋12122x x y y +-+＝0，所以2121y y x x --＋00222x y -＝0， 即2121y y x x --·001yx -＝－1． 设点B (1，0)，所以k MN ·k AB ＝－1．又因为点A 在PQ 上，所以点P ，Q ，B 三点共线， 所以010511a a ---=---，解得a ＝－2或3． （2）设∠P AC ＝θ，则PQ ＝2P A sinθ＝2P A， 设AC ＝x ∈[3，＋∞)，则P A 2＝x 2－2，所以PQ ＝2222⎣⎡⎭⎫2143，22．变式 在平面直角坐标系xOy 中，设D (x 0，y 0)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，直线l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x 与圆D ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r ＞0)均相切． （1）若椭圆C 的左，右两准线间的距离为8，焦距为2．① 求椭圆C 的方程； ② 若r ＝6，且l 1⊥l 2，求圆D 的方程． （2）若椭圆C 的离心率为3，r ＝25b ，求k 1k 2的值． 【解】（1）① 设椭圆的焦距为2c (c ＞0)，则2c ＝2，228a c=，解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．② 因为l 1⊥l 2，l 1，l 2与圆D ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r ＞0)均相切， 所以OD ＝2r ＝2×6＝3，故x 02＋y 02＝3．① 又点D (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以204x ＋203y ＝1．②联立①②，解得x 0＝0，y 0＝±3， 所以圆D 的方程为x 2＋(y ±3)2＝32．（2）因为椭圆C 的离心率为3，所以c a ＝3，c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，故a 2＝4b 2， 因为点D (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以2024x b ＋202y b＝1，即x 02＝4b 2－4y 02．因为直线l 1：y ＝k 1x 与圆D ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r ＞0)相切，且r ＝25b ， 所以100211k x y k -+＝25b ，整理得2222201001044255x b k x y k y b ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝0，同理，2222202002044255x b k x y k y b ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝0，所以k 1，k 2是关于k 的方程22222000044255x b k x y k y b ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝0的两个根，所以k 1k 2＝2202204545y b x b --＝2202220454445y b b y b ---＝－14．例3 在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若点D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为__________． 【答案】x ＋2y －4＝0【解析】圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，即(x －3)2＋(y －2)2＝5，圆心为M (3，2)．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，则A (4，0)，B (2，0)，所以圆心N (3，0)． 连结MD ，BD ．因为点D 是弦AC 的中点，所以MD ⊥AC ． 在圆N 上，AB 是圆N 的直径，所以BC ⊥AD ． 所以B ，D ，M 三点共线，即AC ⊥BM ， 所以k AC ·k BM ＝－1． 又k BM ＝2－03－2＝2，则k AC ＝－12，所以直线l 的方程为y ＝－12(x －4)，即x ＋2y －4＝0．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1：x 2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋y 2＝4，过点P (－1，0)且斜率大于0的直线l 与圆O 1相交，与圆O 2交于A ，B 两点，过P 作直线l 的垂线，交圆O 1于点C ， 若线段AC 的中点M 恰在圆O 1上，则直线l 的斜率为________．【解析】如图，设直线l 与圆O 1相交于另一点D ，连结CD ，OM 依题意，点P 在圆O 1上，且PD ⊥PC ，故CD 为圆O 1的直径， 所以O 为CD 的中点．又点M 为AC 的中点，故OM ∥AB ． 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则M (122x x +，122y y +)，则x 12＋y 12＝4，x 22＋y 22＝1，2122x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122y y +⎛⎫⎪⎝⎭＝1， 整理得12x x ＋12y y ＝－12，又P A ⊥PC ，故121211y yx x ⋅++＝－1，整理得12x x ＋12y y ＋x 1＋x 2＋1＝0， 所以x 1＋x 2＝－12，故点M 的横坐标为－14，代入圆O 1方程，得点M 的纵坐标为±154．所以直线l 的斜率即直线OM例4 （1）已知点A (0，2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是_________．（2）定义：点M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的有向距离为ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2．已知点A (－1，0)，B (1，0)，直线m 过点P (3，0)，若圆x 2＋(y －18)2＝81上存在一点C ， 使得A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线m 的斜率的取值范围是________． 【答案】（1）3－1≤a ＜1 （2）⎝⎛⎦⎤－∞，－34 【解析】（1）点A (0，2)在圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1．圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45≤r ＝2a ，即AM ≤2a ，所以(a －2)2＋a 2≤4a 2(a ＞0)，解得a ≥3－1． 综上，实数a 的取值范围是3－1≤a ＜1．（2）设直线m ：y ＝k (x －3)，点C (x 0，y 0)，则点A ，B ，C 到直线m 的有向距离分别为，．因为A ，B ，C 三点到直线m 的有向距离之和为0， 所以－4k －2k ＋kx 0－y 0－3k ＝0，即kx 0－y 0－9k ＝0． 又点C 在圆x 2＋(y －18)2＝81上， 所以直线kx －y －9k ＝0与圆有公共点，≤9，解得k ≤－34．变式 （1）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得P A →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是________． （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PBP A 的最大值是__________．【答案】（1）14 （2）2【解析】（1）因为圆心C 到直线l 的距离d ＝322>2，所以直线l 与圆C 相离．因为点P 在直线l 上，两点A ，B 在圆C 上，所以|P A →|＞0，|PB →|＞0． 因为P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ≤0，所以cos θ≤0， 所以P A →与PB →的夹角∠APB 为钝角或直角． 因为圆C 上存在两点A ，B ，使得P A →·PB →≤0，所以P A ，PB 分别与圆C 都相切时，使得∠APB 为钝角或直角， 此时点P 所在的线段长即为线段EF 长度的最大值．当P A ，PB 分别与圆C 都相切时，在Rt △CAP 中，当∠APB 为直角时， ∠CP A ＝45°，CA ＝2，则PC ＝22． 所以线段EF 长度的最大值为2（22）2－⎝⎛⎭⎫3222＝14． （2）设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝2．则22PB PA ＝()()()2222112x y x y -++++＝223x y y -+++． 设223x y y -+++＝λ，则x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0．依题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点， 则d ≤2，解得0≤λ≤4，即0≤22PB PA ≤4，所以PBP A的最大值是2．【训练提升】1．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－4，0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A 、B 两点．若 点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________． 【答案】x ±3y ＋4＝0【解析】设AB 的中点为H ，连接AC ，HC ，设HC ＝y ，AH ＝x ．则由勾股定理得：22229255x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，得10x y ==， 所以tan ∠HPC ＝13，则k ＝±13．又因为直线l 过点P (－4，0)， 所以直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0．2．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2，0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________． 【答案】4【解析】圆x 2＋y 2＝1半径为1，PO ＝2，所以直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3， 又圆(x －a )2＋(y －3)2＝3的半径为3，则圆(x －a )2＋(y －3)2＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为32，据点到直线距离公式得|a －1|＝3，又a 为正数，所以a ＝4．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________．【答案】－6【解析】依题意C 1(－m ，2m ＋3)，C 2(－2，3)．由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即OA ＝OB ，△OAB 为等腰三角形， 所以线段AB 的中垂线经过原点O ， 又相交两圆的连心线垂直平分公共弦，所以两圆的连心线就是线段AB 的中垂线，即直线C 1C 2过原点O ，所以有OC 1→∥OC 2→，所以－3m ＝－2(2m ＋3)，解得m ＝－6．4．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线 l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫－4，43 【解析】直线l 的斜率k 不存在或0时均不成立．设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，圆O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1， 因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，整理得k 2＝313－8m ＞0，得m <138．又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1， 即3m 2＋8m －16<0，解得－4＜m ＜43．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作 圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________． 【答案】2【解析】设点B (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎫x 0－22，y 02．圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A (－2，0)， 所以OA ＝OM ＝2＝⎝⎛⎭⎫x 0－222＋⎝⎛⎭⎫y 022，即⎝⎛⎭⎫x 0－222＋⎝⎛⎭⎫y 022＝4． 又 x 20＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4．而A (－2，0)也满足y 0＝2x 0＋4，所以直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4， 所以直线AB 的斜率为2．6．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ， C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________． 【答案】[1，5]【解析】依题意，圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，所以点A (x ，y )到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16， 而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x ≤5．所以点A 横坐标的取值范围为[1，5]．7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2．若圆C 2上存 在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________． 【答案】[1，3＋23]【答案】如图，设∠APC 1＝θ，则AP ＝2tan θ． 所以S △ABP ＝12AP 2sin2θ＝12·22tan θ·sin2θ＝32cos sin θθ＝1，即221tan 1tan θθ-+＝tan θ－1． 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan θ＝1，即θ＝π4，此时PC 1＝2． 所以点P 在圆C 1′：(x －1)2＋y 2＝4上， 又因为点P 在圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2上，所以圆C 1′与圆C 2有交点，即|2－m |≤C 1′C 2≤2＋m ，解得1≤m ≤3＋23， 所以正数m 的取值范围时[1，3＋23]．8．如图，OM ，ON 是某景区的两条道路(宽度忽略不计，OM 为东西方向)，Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6百米，Q 到直线OM ，ON 的距离 分别为3百米，6105百米．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r ＝2at 百米(0≤t ≤9， 0＜a ＜1)．当喷泉表演开始时，一观光车S (大小忽略不计)正 从休息区B 沿(1)中的轨道BA 以2百米/分钟的速度开往休息 区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到？并说明 理由．【解】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，则由题设得A (6，0)，直线ON 的方程为y ＝－3x ，Q (x 0，3)(x 0＞0)． 由点Q 到直线ON 的距离为6105，得|3x 0＋3|10＝6105，解得x 0＝3，所以Q (3，3)． 故直线AQ 的方程为y ＝－(x －6)，即x ＋y －6＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，x ＋y －6＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝9， 即B (－3，9)， 故AB ＝（－3－6）2＋92＝92． 答：水上旅游线AB 的长为92百米．（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，设t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立， 即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立；当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，⎝⎛⎭⎫t ＋18t －6min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号． 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A (0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M (0，1)． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N .若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率．【解】（1）因为椭圆C 的上顶点为A (0，3)，所以b ＝3，又圆O ：x 2＋y 2＝14a 2经过点M (0，1)，所以a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）若l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0．设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，)消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2，所以PQ ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x1－x 2|＝461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2． 直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k 2， 所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k 2＝3，解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为42．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，2c a =，2242a c=，解得2a =，2c =，所以2b =． 所以椭圆的方程为22142x y +=．（2）方法一：因为2AOB AOM S S =△△，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点．因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()20A -，． 设()00M x y ，，则()00222B x y +，． 所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②，由①②得200918160x x --=，解得023x =-，083x =(舍去)．把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±， 因此直线AB 的方程为()122y x =±+，即220x y ±+=． 方法二：因为2AOB AOM S S =△△，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点．设直线AB 的方程为()2y k x =+．由()221422x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得()2222128840k x k x k +++-=， 所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+．所以2224212B M x k x k --==+，()22212M M ky k x k =+=+， 代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得4228+20k k -=，即()()227+2410k k -=，解得12k =±， 因此直线AB 的方程为()122y x =±+，即220x y ±+=．。
直线及圆的综合应用
11．5直线与圆的综合应用【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．【典型例题】[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0， 2 －1）B．（ 2 －1， 2 ＋1）C．（－ 2 －1， 2 －1）D．（0， 2 ＋1（2）圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（）A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0（3）“a=b”是“直线22与圆相切”的（）=+-++=2()()2y x x a y bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．（5）过点（1， 2 ）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．[例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)．(1)求证：（a －2)(b －2)=2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52=0相切的直线的方程为 （ ）A ．y=－3x 或y=13 xB ．y=3x 或y=－13 xC ．y=－3x 或y=－13 xD ．y=3x 或y=13 x2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋y 2=5B ．x 2 ＋(y －2)2=5C ． (x －2)2＋(y －2)2=5D ．x 2 ＋(y ＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点轴对称D ．关于y=x 轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．OA6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OB ＝ .7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或113．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于 ． 5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于 ．6．光线经过点A （1，74 ），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋13．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A ．20B ．19C ．18D ．164．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切；B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为l BT：y＋1=0,l CK:x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（3a＋1)2外一点P（b3－b,c3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1（1）A．提示：用点到直线的距离公式．（2）C．提示：依据圆心和半径判断．（3）A．提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．（5） 2 2．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．例2、设圆的方程为（x－a)2＋(y－b)2=r2, 点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y=0上，a＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r2－2=2,依据上述方程解得：｛b1=－3a1=6r12=52或｛b2=－7a2=14r22=244∴所求圆的方程为（x－6)2＋(y＋3)2=52，或（x－14)2＋(y＋7)2=224．例3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y),整理得（λ2－1）（x2＋y2)－4λx＋(1＋4λ2）=0当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12 (x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ． 【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2， 又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0． 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）．10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1=0y=0 得A （－1，0）∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y =+ 3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ===|sin(θ＋ϕ）|≤1．6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2 ,0)连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －12（b 3－b)]2＋[y－12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[12 (c 3－c)]2……① 将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2 这就是过两切点的切线方程．因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除． 同理，c 3－c 也能被3整除．于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的． 从而原命题得证．。
新人教版九年级数学上册课时作业24.2.4直线和圆的位置关系
新人教版九年级数学上册课时作业24.2.4直线和圆的位置关系（A）一、基础夯实1. 已知直线AB和⊙O，⊙O的半径为6cm，圆心O与直线AB的距离为d①AB和⊙O相交，则d 6cm；②AB和⊙O相切，则d 6cm；③AB和⊙O相离，则d 6cm.2. 已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的位置关系分别是:纠错区①相交时，圆的半径r的取值范围为；②相切时，圆的半径r的取值范围为；③相离时，圆的半径r的取值范围为。
（B）二、巩固提高3．直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是：（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交4．圆的最大的弦长为1 2 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（）A．d<6 cm B．6 cm<d<12 cm C．d≥6 cm D．d>12 cm5.在平面直角坐标系中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆必定（）A. 与x轴，y轴都相切B. 与x轴，y轴都相交C. 与x轴相切，y轴都相离D. 与x轴相切，与y轴相交（C）三、拓展创新3.（自己画图并分析）∠AOB=30°，M是OB上一点，OM=5cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？①当r = 2cm 时，⊙M与OA的位置关系是 . 纠错区②r = 4cm ⊙M与OA的位置关系是 .③r = 2.5cm⊙M与OA的位置关系是 .4.⊙O的半径为5cm，直线CD经过圆心，直线l与直线CD垂直，交⊙O于A，B两点，且AB=8cm,如果直线l与⊙O相切，那么直线l应平移多少少？等级：整洁正确日期：月日师生交流：。
秋人教版九年级上册数学作业课件：第24章 直线和圆的位置关系(1)
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巩固提高
4．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线 的距离 为3，则直线 与⊙O的位置关系是 ( A) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5.已知⊙O的半径r=3cm，直线l和⊙O有公共点， 则圆心O到直线l的距离d的取值范围是 ．
解:作CD⊥AB于D，
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=
=13。
∵ CD•AB= BC•AC，∴CD= ，
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共
点时，r的取值范围为 ≤r≤12.
变式练习
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10， BC=24，⊙O的半径为6，当圆心O与C重合时， 试判断⊙O与AB的位置关系．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月11日星期六2021/9/112021/9/112021/9/11 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/112021/9/11September 11, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/11
高一数学直线与圆的方程的应用1
高一数学直线与圆的方程的应用1
[单选]四等水准观测若采用S3型水准仪，其视线长度不得超过（）。A.50米B.70米C.80米 [单选]根据《中华人民共和国消防法》的规定，地方各级人民政府应当落实消防工作责任制，对本级人民政府有关部门履行职责的情况进行。（）A、消防工作职责，监督检查B、消防工作职责，监督管理C、消防安全职责，监督检查D、消防安全职责，监督管理 [单选,A1型题]能涌吐痰食，祛湿退黄的药物是（）A.瓜蒂B.半夏C.天南星D.桔梗E.胆矾 [单选]站修更换轮对时，同一转向架轮径差不大于（）。A、20mmB、25mmC、30mmD、40mm [单选]颅中窝骨折脑脊液耳漏时，禁忌外耳道堵塞和冲洗的目的是（）A.预防颅内血肿B.降低颅内压力C.避免脑疝形成D.减少脑脊液外漏E.预防颅内感染 [单选]《麻黄碱管理办法》规定，麻黄碱单方制剂可供应给下列哪个机构使用（）A.经指定的医疗机构B.各级医疗机构C.经指定的零售药店D.经指定的个体诊所E.经批准的超市 [单选]美国心理学家斯波林运用了部分报告法，首先提出存在（）记忆A．瞬时B．短时C．长时D．内隐 [单选,A1型题]有尿意即迫不及待地要排尿且难以自控，是（）A.尿失禁B.尿潴留C.尿频D.尿急E.尿痛 [单选]关于行政事业单位的资产，下列说法正确的是()。A.行政单位在盘盈固定资产时，按重置完全价值入账B.事业单位的存货应当按照市场平均价格记账C.行政事业单位的无形资产不包括非专利技术D.行政事业单位的应收及预付款项一般要计提坏账准备 [单选,A1型题]磺酰脲类药物药理作用为（）。A.可使电压依赖性钾通道开放B.可促进胰岛素释放而降血糖C.不改变体内胰高血糖素水平D.可使电压依赖性钠通道开放E.能抑制抗利尿激素的分泌 [单选]以下哪种药物抑制胃酸分泌最弱A．奥美拉唑B．法莫替丁C．兰索拉唑D．雷尼替丁E．硫糖铝 [单选]大面积烧伤不能判断是Ⅲ度或深Ⅱ度创面时，创面的手术处理方法应是（）A.蚕食脱痂B.分期切痂C.早期切痂D.削痂E.以上都不是 [单选]转场航空器超过预定起飞时间（）仍未起飞，又未申请延期的，其原飞行申请失效。A.半小时B.一小时C.两小时 [单选]下列（）法律法规不是保安押运公司员工需要重点掌握的。A.《中华人民共和国道路交通管理条例》B.《中华人民共和国枪支管理法》C.《专职守护押运人员枪支使用管理条例》D.《社会治安管理条例》 [单选]嘌呤环中的N7来于（）A、天冬氨酸B、谷氨酰胺C、甲酸盐D、甘氨酸 [单选]碱洗塔水洗段的主要作用是（）。A、洗涤裂解气中二氧化碳B、洗涤裂解气中的硫化氢C、洗涤裂解气中的苯D、涤裂解气中夹带的碱液 [单选,A2型题,A1/A2型题]于前后方向将人体纵切为左右两半的切面是（）A.冠状面B.矢状面C.正中面D.横切面E.水平面 [单选]低合金高强度结构钢质量等级分为（）级。A．3B．4C．5D．6 [单选]治疗上消化道出血脾不统血证，应首选方剂是（）A.归脾汤B.独参汤C.泻心汤D.十灰散E.四味回阳饮 [单选]判断成人发育正常的指标，不正确的是（）A.头长为身高的1／5～1／6B.胸围等于身高的一半C.两上肢展开的长度约等于身高D.坐高等于下肢的长度E.前臂曲侧或上臂背侧下1／3处脂肪分布差异最小 [问答题,简答题]企业外部招聘的主要途径有哪些？ [问答题,案例分析题]某工程合同工期21天，工程公司项目经理部技术人员拟定的初始网络进度计划如图2-1-1所示。在公司协调会上，设备供应部门提出，工作F、J使用的同种机械只能租赁到1台，因此，该两项工作只能按先后顺序施工。问题： [单选]（）用测量的方法研究心理活动的个别差异并建立了“自由联想”的方法。A.旧森斯B.卡特尔C.比奈西蒙D.高尔顿 [单选,B1型题]慢性胰腺炎引起的腹泻属于（）A.分泌性腹泻B.渗透性腹泻C.渗出性腹泻D.吸收不良性腹泻E.肠蠕动增强性腹泻 [单选]脂类的生理功能不包括()A．供给热能B．构成组织成分及参加代谢C．供给必需脂肪酸D．促进胃肠蠕动E．协助脂溶性维生素吸收 [单选]某企业现金收支状况比较稳定，全年的现金需要量为500万元，其每次转换现金转换金额为40万元，每次的转换成本为0.1万元，有价证券的年报酬率为8%，则该企业现有情况持有现金总成本为（）万元。A.2.83B.4.75C.2.85D.18.75 [填空题]邮资票品必须按规定的（）和售价出售。 [单选,A1型题]下列属于效应评价的内容的是（）A.传播材料的预实验B.人群健康需求评估C.行为影响因素的变化评估D.传播媒体的评估E.人群的参与度 [问答题,简答题]在定减径过程中，工作直径的含义是什么？ [单选,A1型题]参与特异性抗细胞外病原体感染的主要免疫效应成分是（）A.CTLB.Th1C.巨噬细胞D.IgE.NK细胞 [单选,A1型题]下列哪项是正常产褥的表现()A.产后第l天，宫底平脐B.产后12小时体温可超过38℃C.产后10天为血性恶露D.产后脉搏一般偏快E.产褥早期白细胞即恢复正常 [名词解释]局部异常 [单选,A1型题]结核病时发生的变态反应属于几型（）A.Ⅰ型B.Ⅱ型C.Ⅲ型D.Ⅳ型E.Ⅴ型 [单选]甲公司一次性出资300万元购买大型生产设备，预计该固定资产投资项目投资当年可获净利40万元，第2年开始每年递增5万元，投资项目有效期6年，并按直线法折旧（不考虑净残值）。该投资项目的投资回收期为（）年。A.3.14B.5C.3.45D.4.56 [填空题]HTTP协议使用的端口是（），FTP协议使用的端口是21。 [单选,A1型题]膀胱镜检查后给予的护理措施可除外（）A.密切观察患者血尿出现情况B.嘱病人多饮水C.必要时可用抗生素预防感染D.必要可使用止痛药E.有明显血尿应减少饮水量 [单选]《铁路旅客运输规程》是依据（）制定的。A.《铁路旅客运输管理规则》B.《铁路技术管理规程》C.《中华人民共和国铁路法》D.《铁路旅客运输办理细则》 [单选]压力表的最大量程最好是选用容器工作压力的（）倍。A.1.5B.2C.3D.4 [多选]有关渠道开挖施工方法说法不正确的是（）。A、渠道开挖常用的施工方法有人工开挖、机械开挖等，不能采取爆破开挖B、选择开挖方法取决于土壤种类、渠道纵横断面尺寸、地下水位等因素C、渠道开挖的土方多直接运走D、田间渠道断面尺寸很小，不可采用开沟机开挖 [单选]头针进针时，应达到的解剖组织层是（）。A.皮内B.皮下C.肌肉D.帽状腱膜E.骨膜
高一数学直线与圆的方程的应用1
引起肺痈的外邪主要是A.风热外感B.燥热之邪C.风寒束肺D.暑湿疫毒E.风湿热邪 通常是组织内部成员之间以及不同组织之间最常用的沟通方式。A.会议B.展览会C.特殊活动D.博览会 下列犯罪只有国家工作人员才能构成的是A.强迫职工劳动罪B.侵犯少数民族风俗习惯罪C.暴力取证罪D.侵犯通信自由罪 上颌第一磨牙面形态呈。A.三角形B.长方形C.梯形D.卵圆形E.斜方形 单纯红细胞再生障碍性贫血 主要发生于猫的常见疾病的是A.唾液腺炎B.咽炎C.食道梗塞D.齿龈炎E.喉炎 20世纪中后期，由于微生物学的、等技术的渗透和应用的拓宽及发展，动、植物细胞也可以像微生物一样在平板或三角瓶中分离、培养和在发酵罐中进行生产。 化学本质为核糖核酸的酶是A.DNA聚合酶B.核酶C.RNA聚合酶D.限制性内切核酸酶E.DNA连接酶 投资项目资本金的比例规定，电力、机电、化工、石油加工、轻工、纺织、商贸及其他行业的项目，资本金比例为及以上。A.10%B.15%C.20%D.25% 有人曾对日本的胃癌进行过移民流行病学调查研究，发现胃癌在日本高发，在美国低发。在美国出生的第二代日本移民胃癌的死亡率高于美国人，但低于日本国内的日本人，说明A.环境因素对胃癌的发生有较大关系B.遗传因素对胃癌的发生有较大关系C.遗传和环境交互作用D.很难判断E.以上均不 我司泵车配置的无线遥控最远距离可达100m。A.正确B.错误 以下属于资产配置基本方法的是。A．风险控制法B．情景综合分析法C．横界面法D．市场有效法 下列各项，不属正常舌象表现的是。A.舌体荣润B.舌质淡红C.舌苔薄白D.舌体淡嫩少苔E.舌体柔软 急性出血性胰腺炎的病变特征有A.胰腺呈结节状，质较硬B.胰腺广泛出血，坏死C.胰腺组织萎缩消失D.胰腺分叶结构模糊不清E.病变多局限在胰尾 弗洛伊德认为，人寻找满足的过程通常是不顺利的，往往与社会文化相冲突，冲突必然会导致焦虑。人为了缓解焦虑，就会不自觉地形成___。A.心理防卫机制B.冷漠C.攻击行为D.自我放松 不能用于检测黏附分子的标本是A.血清B.关节液C.脑脊液D.胸腹腔积液E.细胞体外培养后上清液 医学伦理学最突出的特征是。A.实践性、继承性B.时代性、人道性C.人道性、全人类性D.全人类性、继承性E.人道性、实践性 煤气设备及管道检修化验动火标准。 能杀灭肝细胞内速发型和迟发型疟原虫，杀灭各种疟原虫配子体的药物是A.伯氨喹B.乙胺嘧啶C.氯喹D.奎宁E.吡喹酮 年，教育部编订并颁发了新中国第一部《中小学体育教学大纲》。A、1952B、1954C、1950D、1956 我国产业政策集中体现为《产业结构调整指导目录》，它是引导投资方向，政府管理投资项目，制定和实施财税、、土地、进出口等政策的重要依据。A.产业发展B.资源C.银行利率D.信贷 债券与股票的比较，错误的是。A．债券和股票都属于有价证券B．债券和股票都是筹资手段，因而都属于负债C．债券通常有规定的利率，而股票的股息红利不固定D．尽管从单个债券和股票看，它们的收益率经常会发生差异，而且有时差距还很大，但是总体而言，二者的收益率是相互影响的 反刍动物前胃迟缓的主要临诊特征不包括A.前胃蠕动机能减弱B.食欲减退C.反刍障碍D.呼吸极度困难E.前胃蠕动机能停止 依据《劳动法》，对怀孕以上的女职工，不得安排其延长工作时间和夜班劳动。A.2个月B.5个月C.7个月D.3个月 细菌性阴道病的特征哪项恰当A.与不洁性生活无关B.胺臭味试验阴性C.分泌物呈脓性黏稠D.阴道pH<4.5E.治疗原则为用抗厌氧菌药物 下列各项中，不属于个人所得税中居民纳税人的是。A.在中国境内无住所，但一个纳税年度内在中国境内居住满1年的个人B.在中国境内无住所，而在境内居住超过90天但不满1年的个人C.在中国境内有住所的个人D.在中国境内无住所，并在境内居住满1年不满5年的个人 非小细胞肺癌哪期以后不主张采用以手术为主的综合治疗。A.Ⅱ期B.Ⅲ期C.Ⅲa期D.Ⅲb期E.Ⅳ期 火花过多的原因和排除措施？ 不利于脱磷反应的条件有。A.低温B.低FeOC.大渣量D.都不对 何谓催化重整？ 张某是M国际运输有限公司计算机系统管理员。任职期间，根据公司的业务要求开发了“空运出口业务系统”，并由公司使用。随后，张某向国家版权局申请了计算机软件著作权登记，并取得了《计算机软件著作权登记证书》，证书明确软件名称是“空运出口业务系统V1.0”，著作权人为张某。 是会展活动中最普遍、最活跃并且最具有典型性的部分。A.会议B.展览会C.特殊活动D.体育赛事 中药材生产质量管理规范的简称A.GMPB.GAPC.GCPD.GLPE.GPP 适合乳香、没药的粉碎方法是A.打底套色B.加液研磨C.串料D.串油E.蒸罐 客户的综合贡献的实际应用包括A、营销管理B、业务定价C、授权管理D、业绩评价考核E、风险监测
(2021年整理)高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
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直线与圆一．解答题(共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交,截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2)设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ｜的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2)2=r2(r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；(2)已知直线m：y=x+n被圆C:(x﹣3)2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE的面积有最大值，求出直线m:y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．3．已知M（4，0），N（1，0）,曲线C上的任意一点P满足：•=6｜|（Ⅰ)求点P的轨迹方程；(Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点,交y轴于H点，设=λ1,=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值;如果不是定值,请说明理由．4．已知动圆P与圆F1：(x+2)2+y2=49相切,且与圆F2:（x﹣2)2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ)求曲线C的方程;（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N 两个不同的点，求△QMN面积的最大值．5．已知动圆P过定点且与圆N:相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程;（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A,B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示,在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC,边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．(Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．7．已知△ABC的顶点A（1，0）,点B在x轴上移动，｜AB｜=|AC｜，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证:Q(1，2)与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切,圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1,k2，满足k1k2=4,求△ABC面积的最大值．9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3)2=1交于点M，N两点．(1）求k的取值范围；(2）请问是否存在实数k使得(其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值,并求|MN|;如果不存在，请说明理由．10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0)在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为,C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长;(2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点?请说明理由．直线与圆参考答案与试题解析一．解答题（共10小题)1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．(1)求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3）,且动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比值为常数k(k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线,试确定相应的k值，并求出该直线的方程．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆C的方程；（2)设动点M（x，y），则由题意可得=k,即=k，化简可得 (k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+(6﹣4k2）x+(8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．【解答】解:（1）圆心C到直线l的距离为=,∵截得的弦长为2,∴半径为2，∴圆C：(x﹣3）2+（y﹣4）2=4；(2)设动点M（x，y），则由题意可得=k,即=k，化简可得 (k2﹣1）•x2+(k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0,若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，直线的方程为x+y﹣4=0．【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．2．已知直线l:y=x+2被圆C：（x﹣3)2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程;（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0)截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程;（2)根据直线和圆相交的位置关系,结合△CDE的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l与圆C交于A，B两点．∵直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2(r＞0）截得的弦长等于该圆的半径,∴△CAB为正三角形，∴三角形的高等于边长的,∴圆心C到直线l的距离等于边长的．∵直线方程为x﹣y+2=0,圆心的坐标为(3，2）,∴圆心到直线的距离d==，∴r=，∴圆C的方程为：（x﹣3)2+(y﹣2）2=6．（2）设圆心C到直线m的距离为h，H为DE的中点，连结CD，CH，CE．在△CDE中，∵DE=,∴=∴，当且仅当h2=6﹣h2，即h2=3，解得h=时，△CDE的面积最大．∵CH=,∴｜n+1|=，∴n=，∴存在n的值，使得△CDE的面积最大值为3，此时直线m的方程为y=x．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键．3．已知M（4，0)，N(1，0)，曲线C上的任意一点P满足：•=6|｜（Ⅰ)求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A,B两点,交y轴于H点，设=λ1,=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值,请求出这个定值;如果不是定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简,即可求点P的轨迹方程；(Ⅱ）分类讨论，利用=λ1，=λ2，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解:(Ⅰ）设P(x,y)，则=（﹣3,0）,=（x﹣4，y），=（1﹣x,﹣y）．∵•=6||，∴﹣3×（x﹣4)+0×y=6，化简得=1为所求点P的轨迹方程.4分（Ⅱ)设A（x1，y1）,B（x2，y2）．①当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1（m≠0）,则H（0,﹣）．从而=(x1，y1+）,=（1﹣x1，﹣y1），由=λ1得(x1，y1+）=λ1（1﹣x1,﹣y1），∴﹣λ1=1+同理由得﹣λ2=1+，∴﹣(λ1+λ2）=2+由直线与椭圆方程联立,可得(4+3m2）y2+6my﹣9=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣代入得∴（λ1+λ2）=2+=，∴λ1+λ2=﹣②当直线l与x轴重合时，A（﹣2，0），B（2，0），H（0，0)，λ1=﹣．λ2=﹣2，∴λ1+λ2=﹣11分综上,λ1+λ2为定值﹣。
高一数学直线与圆的方程的应用1
高一数学直线与圆的方程的应用1
日本是亚洲唯一的()国家
[单选,B1型题]急性肾炎高血压的治疗首选（）A.硝普钠B.呋塞米C.洛汀新（贝那普利）D.硝苯地平E.利血平 [单选]抑郁症的诊断要点不包括（）。A.情绪低落B.症状昼重夜轻C.症状至少持续两周D.社会功能受损E.排除器质性病变 [单选]旷葡萄糖苷酶抑制剂常见不良反应是（）A.低血糖症B.腹胀和腹泻C.下肢浮肿D.乳酸性酸中毒E.充血性心力衰竭 [单选]在实际打球过程中，球员要根据实际情况合理选择（）才能打出好的球。A.球B.球杆C.手套D.球鞋 [单选]油浸风冷式电力变压器，当温度达到（）时，应启动风扇。A.50℃B.55℃C.60℃D.85℃ [单选]出海拖航时，被拖船在限定航区内，为短途拖航，超越限制航区或在限制航区超过（）时为长途拖航。A.50海里B.300海里C.100海里D.200海里 [单选]对于企业发生的或有事项，通常不能确认或有资产，只有当相关经济利益基本确定能够流入企业时，才能作为资产予以确认，体现了会计信息质量要求中的（）。A.可靠性B.相关性C.谨慎性D.重要性 [单选]“邪气淫泆”中“淫泆”的正确解释是（）。A.浸淫扩散B.满溢C.充满D.流淫E.淫溢 [判断题]螺旋线圈属于机械式导线装臵。（）A.正确B.错误 [填空题]邮资票品必须按规定的（）和售价出售。 [单选]哪种类型的网络攻击的特点是项要求用TCP连接到服务器泛红大量的数据包（）。A.侦听B.拒绝服务C.暴力破解D.木马E.地址欺骗 [填空题]为了增强基础的整体性，常在垂直于条形基础的另一个方向每隔一定距离设置（），将条形基础联系起来。 [单选]根据我国知识产权法律制度的规定，下列选项中，不属于知识产权的特点的是（）。A.无形性B.专有性C.非地域性D.时间性 [名词解释]投标备用信用证 [单选,A2型题,A1/A2型题]成人子宫体与子宫颈的长度比例为（）A.2：1B.3：1C.1：2D.1：3E.1：1 [单选]在书刊印前制作中，图稿印刷适性检核的内容不包括（）。A.检核原稿的内容B.检核原稿的阶调状况C.检核原稿的颜色偏色状况D.检核原稿的清晰度 [单选]下面哪一项乳腺病变或结构不伴有后方回声增强（）。A.囊肿B.脂肪小叶C.扩张的导管D.纤维腺瘤E.脓肿 [判断题]近交和早配都会导致后代的生活力减弱。（）A.正确B.错误 [单选,A1型题]二尖瓣狭窄时的最主要的临床表现是（）。A.二尖瓣面容B.心脏呈梨形C.二尖瓣区收缩期杂音D.心尖区隆隆样舒张中晚期杂音E.肺动脉区第二心音增强 [单选]学校应当保证学生的（）时间，组织开展文化娱乐等课外活动。社会公共文化体育设施应当为学校开展课外活动提供便利。A、兴趣小组B、课外活动C、自习 [判断题]辨证论治包含着相互联系的两个内容，即辨证和论治。A.正确B.错误 [多选]关于《药典》的正确叙述是（）A.是一个国家药品标准的重要参考书B.《药典》的作用是控制药品质量的标准C.一、二部《药典》都包括凡例、正文、附录、索引D.具有法律的约束性E.二部收录中药材及制剂 [问答题,简答题]古典型霍乱何时传人我国？ [问答题,案例分析题]背景材料： [多选]一水软铝石的分子式为（）。A、γ—AlOOHB、γ—Al2O3•H2OC、α—AlOOHD、α—Al2O3•H2O [单选]膀胱癌最常见的症状是（）A.无痛性肉眼血尿B.尿频、尿急、尿痛C.排尿困难D.尿潴留E.下腹包块 [单选]脑梗死的病因中，最重要的是（）A.动脉硬化B.高血压C.动脉壁炎症D.真性红细胞增多症E.血高凝状态 [单选]公司法规定，有限责任公司可以设经理，经理对()负责，行使职权。A.董事会B.监事会C.股东会D.经理会 [单选]某盐酸合成车间的换热器，其材质应选用（）。A．高合金钢B．铸石C．不锈性石墨D．耐蚀陶瓷 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者体内由于抗原抗体反应导致血管内溶血，主要是由于（）A.巨噬细胞的作用B.Ca2+和Mg2+的作用C.补体的作用D.血小板的作用E.T细胞的作用 [单选]关于卵巢赘生性囊肿的描述哪个不对()A．表面光滑者多为良性B．囊性者多为良性C．可为双侧D．实性、活动受限者多为恶性E．恶性者表面多规则 [单选]下列哪一项不是化脑的并发症（）A．脑室内出血B．脑室管膜炎C．脑积水D．脑性低钠综合征E．硬脑膜下积液 [问答题,简答题ห้องสมุดไป่ตู้简述生物反应器放大的基本方法及其特点。 [单选]产后子宫重量逐渐减少，不恰当的是（）A.产后2周约为200gB.分娩结束时约有1000gC.产后2周约为300gD.产后1周约为500gE.产后6周约为50g [单选]《行政诉讼法》第55条规定，人民法院判决被告重新作出具体行政行为的，被告不得以同一事实和理由作出与原具体行政行为基本相同的具体行政行为。下列（）内容属该条规定的例外情况。A.人民法院以具体行政行为主要证据不足为由判决撤销的B.人民法院以具体行政行为适用法律，法 [多选]关于工程无法按规定期限竣工验收情况下的缺陷责任期的起计日期，下列说法正确的有（）。A.承包人原因所致的，从实际通过竣工验收之日起计B.承包人原因所致的，在承包人提交竣工验收报告30天后，工程自动进入缺陷责任期C.发包人原因所致的，从实际通过竣工验收之日起计D.发包 [单选,A1型题]有消食和胃、发散风寒的功效的中药是（）A.紫苏B.神曲C.谷芽D.麦芽E.稻芽 [单选]用于治疗肥厚性鼻炎的硬化剂为（）。A.1％普鲁卡因B.80％甘油C.氯仿D.地塞米松E.以上都不是 [单选]为了预防驾驶疲劳，驾驶员每天应保持（）的睡眠时间。A、3～4小时B、4～5小时C、7～8小时 [单选,A2型题,A1/A2型题]脏腑阴虚的共同症状是（）A.心悸失寐B.干咳痰少C.饥不欲食D.眩晕目涩E.舌红少津
高一数学直线与圆的方程的应用1
高一数学直线与圆的方程的应用1
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患者，男，71岁，慢性阻塞性肺气肿。上午9时起开始静脉输入5%葡萄糖溶液500ml及0.9%氯化钠溶液500ml，滴速为70滴/分，10时左右，护士来巡房时，发现患者咳嗽、咳粉红色泡沫样痰，呼吸急促，大汗淋漓。为了减轻呼吸困难的症状，护士可采用()A．10～20%酒精湿化加压给氧B．20～30%酒 网络计划中某项工作进度拖延的时间在该项工作的总时差以外表示的意思是。A.不会对总工期产生影响，而只对后续工期产生影响B.对后续工期和总工期都产生影响C.对总工期产生影响，而对后续工期无影响D.对后续工期和总工期都无影响 崩漏的治疗原则是。A.固气摄血，调理冲任B.求因治本，正本清源C.急则治标，缓则治本D.益肾固冲，止血调经E.辨证论治，止血为先 船舶稳心高度是指。A、重心至稳心之距离B、重心至浮心之距离C、浮心至稳心之距离 关于计算机病毒下列说法正确的是。A.计算机病毒只感染可执行文件B.计算机病毒只感染文本文件C.计算机病毒只能通过软件复制的方式进行传播D.计算机病毒可以通过读写磁盘或网络等方式进行传播 最小的运动单元是指。A.零件B.机构C.构件D.机器 什么是人体毒素？ 细菌性阴道病最常见的病原体是A.棒状杆菌B.溶血性链球菌C.大肠杆菌D.加德纳尔菌E.沙眼衣原体 [问答题,论述题]水轮发电机的基本原理是什么? 曲轴箱有三种结构型式。A.平分式、龙门式、隧道式B.平分式、直列式、对置式C.直列式、"Ⅴ"型式、对置式D.平分式、对置式、直列式 男性，28岁。患急性粒细胞白血病接受化学治疗，中性粒细胞0．4×10／L。近1周来高热，咳嗽脓痰，右肺闻及较多湿啰音。X线胸片见右中肺野大片密影，隐约见密度减低区域。推测肺部感染最可能的病原体是A.肺炎链球菌B.流感嗜血杆菌C.莫拉卡他菌D.铜绿假单胞菌E.溶血性链球菌 同侧节段性感觉分离的病变部位在A.后角B.后索C.前角D.脊髓丘脑侧束E.后根 路面交通标线有反光要求时，在施工过程中，还应在涂料中掺入或在施工时面撒。A.玻璃珠B.彩色涂料C.水性涂料D.防眩 谵妄最多见的幻觉是A.听幻觉B.味幻觉C.视幻觉D.本体幻觉E.触幻觉 综合砌炉 按照《中华人民共和国反洗钱法》的规定，金融机构所建立的客户身份资料和客户交易信息在业务关系或交易结束后至少应保存的时间为年。A.4B.5C.3D.2 阿片类止痛药下列正确的是。A.恶心、呕吐、便秘等不良反应很快会耐受B.便秘不良反应不会因长期用而产生耐受C.恶心、呕吐不良反应不会因长期用而产生耐药D.出现恶心、呕吐、便秘不良反应，应该停用阿片类E.出现嗜睡症状，应立即停药 引起肺痈的外邪主要是A.风热外感B.燥热之邪C.风寒束肺D.暑湿疫毒E.风湿热邪 半贫液流量设计值是Kg/HA.275076B.92374C.383760D.3790 胎盘娩出后，子宫以怎样的速度复原A、1-2cm/每天B、2-3cm/每天C、4-5cm/每天D、0-1cm/每天 以下哪项是行为治疗的技术A.厌恶疗法B.自由联想C.释义D.检查负性自动想法E.共情 船舶静稳性力臂曲线在处切线的斜率为初稳性高度。A.原点B.稳性消失角C.进水角D.最大稳性力臂对应角 属于里程运价结构变形的运价结构类型有()。A.邮票式运价结构B.计时运价结构C.基点式运价结构。D.成组运价结构E.计程运价结构 生用走气分而泻火，炒黑入血分而止血的药物是A.芦根B.知母C.决明子D.夏枯草E.栀子 磨矿循环中的外混汞，由于汞板设在球磨排矿端。因此对单体金起到的作用，它减轻了金在返砂中的富集。 某油田地质储量6×104t，1996年末采出程度2.7%，综合含水58%，1997年末采出程度4.2%，综合含水65%，则该油田的含水上升率为A.7%B.4.67C.1.17%D.1.12% 新生儿保健的重点在A.出生后1小时B.出生后第1天C.出生后1周内D.出生后2周内E.出生后1个月内 诊断急性肺损伤和ARDS的重要指标是A.BPB.MBPCVPD.PAWPE.CO 患者，男性，28岁，2周来上前牙咬物不适，喝冷、热水引起疼痛。近2日来，夜间痛影响睡眠，并引起半侧头、面部痛，痛不能定位。检查时见右侧上、下前牙见多个充填体。发现可疑患牙后，哪项检查最重要()A．X线片检查B．电活力测验C．温度测验D．松动度检查E．染色试验 《素问·六节藏象论》所论的五脏的“其华”中，心其华在A.面B.骨C.筋D.血E.发 根据国有资产管理法律制度规定，下列各项中，应当进行资产评估的是()A、国有独资企业下属独资企业之间的合并B、国有独资企业下属独资企业之间的资产置换C、国有企业与集体企业之间的资产置换D、国有独资企业下属独资企业之间转让财产 支气管肺炎肺部听诊最典型的体征是A.呼吸音粗B.固定的中小水泡音C.满布哮鸣音D.大量痰鸣音E.呼吸音降低 右侧下颌第二前磨牙依照国际牙科联合会系统记录牙位的方法应该记录为A.15B.20C.25D.35E.45 原子荧光法测定化妆品中的砷时，加入了硫脲-抗坏血酸混合溶液，加入此溶液的作用是。A.与砷化氢协同作用，以增加其荧光强度，增加方法的灵敏度B.与硼氢化钠协同作用，以加速砷化氢的产生C.消除消解液中残余的氧化物，增加测定结果的重现性D.消除干扰离子的影响E.减弱空白的荧光 系统性红斑狼疮关节表现的特点是A.对称性关节疼痛或肿，较少出现关节畸形B.负重关节受累，活动后加重C.不对称性下肢关节肿痛D.足关节红肿热痛，反复发作E.对称性小关节多关节炎，常见关节ห้องสมุดไป่ตู้形 结间束损伤可引起。A.Bachmann束B.James束C.传导速度比心房肌慢D.P波增宽切迹E.具有潜在自律性 属于五行相侮的脏病传变是A．肾病及脾B．肾病及肝C．肾病及肺D．肾病及心E．以上都不是 动叶的进口高度等于A.本级静叶高度B.本级静叶高度加盖度C.上级动叶出口高度D.下级静叶高度 慢性细菌性前列腺炎前列腺液镜检所见为A.白细胞增多明显，卵磷脂小体减少B.白细胞增多明显，卵磷脂小体不减少C.白细胞不多，卵磷脂小体增多D.白细胞不多，卵磷脂小体减少E.白细胞增多明显，卵磷脂小体增多 原尿的成分A.和终尿近似B.比终尿多葡萄糖C.比终尿多Na+、K+D.比血浆少葡萄糖E.比血浆少蛋白质
直线与圆的综合应用 (1)
直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a 的值为________．2．直线y ＝33x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________．4．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.5．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．7．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________．8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________． 9．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________． 10．假如圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 12．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．二、解答题14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．16.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l：x-2y=0的距离为5.求该圆的方程.517．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存有点P，满足PA＝30PO？若存有，指出有几个这样的点；若不存有，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . 求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解析 (1)当t ＝3时，PQ 中点为(0,3)，所以b ＝3，又椭圆焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，所以c ＝4，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)证明 因为Q 在直线AF 2：x 4＋y8＝1上，所以Q⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 2，t . 由P 与Q 关于y 轴对称，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4，t ，又由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．设△PRF 1的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4－t 2＋4－t D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－42＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －4，所以该圆的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2，78t －2满足7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫78t －2＋8＝8－8＝0，即圆心C 在直线7x ＋4y ＋8＝0上．§9.5 直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为22则a 的值为________．解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得12222a |-+|=,化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.2．直线y ＝33x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是________．解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为y ＝3x ，由圆心到直线距离可知是相切关系． 答案 相切3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________． 解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，可得4＜r ＜6. 答案 (4,6) 答案2或04．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.解析 由题可知∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝－12.答案 －125．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213. 法二 设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2136．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．解析 利用数形结合的方法，曲线x ＝1－y 2表示在y 轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线，注意到b ＝－1时有两个交点及b ＝－2时直线与圆相切，所以实数b 的取值范围是－1<b≤1， b ＝－ 2.答案 －1<b≤1，b ＝－ 27．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________． 解析 设过A 点的⊙C 的切线是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 由|k ＋2k |k 2＋1＝1，得k ＝±24.当x ＝3时，y ＝5k ＝±542.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－542∪⎝ ⎛⎭⎪⎫542，＋∞8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切点为D ，∠OAB ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则连接OD 知OD ⊥AB ，从而得到AD ＝1tan α＝cos αsin α，BD ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin αcos α， 所以线段AB ＝cos αsin α＋sin αcos α＝1sin αcos α＝2sin2α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则线段AB 长度的最小值为2. 答案 29．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________． 解析 圆心为(－1,1)，它到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离d ＝|－3＋4＋14|5＝3.答案 310．假如圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意，圆C 上总存有两个点到原点的距离2，即圆C 与以O 为圆心，半径为2的圆总有两个交点，即两圆相交，所以有|32－2|＜|CO |＜32＋2，即22＜2|a |＜42， 解得－4＜a ＜－2或2＜a ＜4. 答案 (－4，－2)∪(2,4)11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析 由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 答案 212．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析 该直线l 的方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则由题意， 得d ＝4k 2＋1≤23，即k 2≥13，解得k ≤－33或k ≥33.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．解析 圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 22＝a 2＋b 24－4，且a 2＋b 24－4＞0，即a 2＋b 2＞16，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2到直线ax －by ＋8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－b ×b 2＋8a 2＋b 2＝|a 2＋b 2－16|2a 2＋b 2＜|a 2＋b 2－16|2a 2＋b 2－16＝2r 22×2r ＝r (r 是圆C 的半径，则直线与圆相交)． 答案 相交二、解答题14．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求实数m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析 (1)原圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，所以m ＜5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.因为OM ⊥ON ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，①由⎩⎨⎧x ＝4－2y ，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， 所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，代入①得m ＝85. (3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点． (1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解析 (1)因为⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线．∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的切点为C ，连接MA 、NC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ∶ON ＝MA ∶NC ， 即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33， 故⊙N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A 的直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦长，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0， 圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.16.已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.解析 设圆的方程为222()()x a y b r -+-=. 令x=0,得222220y by b a r -++-=.|12y y -|2221212()422y y y y r a =+-=-=,得2r =21a +, ①令y=0,得222220x ax a b r -++-=,|12x x -2221212()422x x x x r b r +-=-=,得222r b =. ② 由①②,得2221b a -=.又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为5得55d ==即21a b -=±.综上,可得 222121b a a b ⎧-=,⎨-=⎩ 或 222121b a a b ⎧-=,⎨-=-,⎩ 解得 11a b =-,⎧⎨=-⎩ 或 11a b =,⎧⎨=.⎩于是2222r b ==.所求圆的方程为22(1)(1)2x y +++=或2(1)x -+2(1)2y -=.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13，圆弧C 2过点A (29,0)．(1)求圆弧C 2的方程；(2)曲线C 上是否存有点P ，满足PA ＝30PO ？若存有，指出有几个这样的点；若不存有，请说明理由；(3)已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解析 (1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169. 令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)． 则线段AM 的中垂线的方程为y －6＝2(x －17)． 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)，又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2)假设存有这样的点P (x ，y )，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5，解得x ＝－70(舍)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29，解得x ＝0(舍)．综上知这样的点P 不存有．(3)因为EF ＞2r 2，EF ＞2r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上． 设点O 到直线l 的距离为d .因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516. 所以点O 到直线l 的距离为1 6154. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，A (0,8)，直线y ＝t (0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q .(1)当t ＝3时，求以F 1，F 2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C . 求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解析 (1)当t ＝3时，PQ 中点为(0,3)，所以b ＝3，又椭圆焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，所以c ＝4，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)证明 因为Q 在直线AF 2：x 4＋y 8＝1上，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫4－t 2，t .由P 与Q 关于y 轴对称，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4，t ，又由QR ∥AF 1，得R (4－t,0)．设△PRF 1的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4－t 2＋4－t D ＋F ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－42＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－4D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －4，所以该圆的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫－t 2，78t －2满足7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫78t －2＋8＝8－8＝0， 即圆心C 在直线7x ＋4y ＋8＝0上．。
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常熟市中学2011-2012第一学期高三（上）数学课堂作业（24）2011-11-11
———直线与圆综合应用（1）
一、填空题: 本大题共12小题,只要求写出结果，不必写出计算和推理过程.
1.过点(2,1)的直线中，被22240x
y x y +-+=截得的最长弦所在的直线是_________.
2.若圆C 半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y
-=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是__________.
3.如果直线l 将圆22240x
y x y +--=平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_________.
4.若直线340x y m ++=与圆222440x y x y +-++=没有公共点，则实数m 的取值范围是__________.
5.已知圆O 的方程是222x y +=，圆'O 的方程为228100x y x +-+=，由动点P 向圆O 和'O 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是_________.
6.点00(,)M x y 是圆222(0)x
y a a +=>内不为圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是_________.
7.已知两点
(2,0),(0,2)A B -，C 是圆上2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值是_________.
8.函数
()(2008)(2009)f x x x =-+的图像与x 轴，y 轴有三个交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是_________.
9．若圆2244100x
y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为则直线l 的斜率的取值范围是_________.
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x
y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，
则实数c 的取值范围是_________.
二、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知曲线C: 224220200x y ax ay a +-+-+=
（1）证明不论a 为何值，曲线过定点；
（2）当2a ≠，证明曲线C 是个圆，且圆心在一条直线上；
（3）若曲线与 x 轴相切，求a 的值.
12.已知以点2(,)(,0)C t t R t t
∈≠为圆心的圆与x 轴交于点,O A ，与y 轴交于点,O B ，其中O 为原点，（1）求证：OAB ∆的面积为定值；
（2）设直线
24y x =-+与圆C 交于点,M N ，若OM ON =，求圆C 的方程.
13.已知直线,y x m m R =+∈.
（1）若以点(2,0)M 为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；
（2）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x
y =是否相切？说明理由.
14. 已知圆M 为22(2)1x
y +-=，直线l ：20x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA,PB ，切点是A,B.
（1）若60APB ︒∠=，试求点P 的坐标；
（2）若P 点坐标（2，1），过点P 作直线与圆M 交于C,D ，当CD =
CD 方程；
（3）求证：经过A,P,M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.
15.已知圆22:4O x y +=和点(1,)M a .
（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线的方程；
（2）若a =
M 的圆的两条弦,AC BD 互相垂直，求AC BD +的最大值.。