直线及圆的综合应用

11．5直线与圆的综合应用

【知识网络】

综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．

【典型例题】

[例1]（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是（）

A．（0， 2 －1）B．（ 2 －1， 2 ＋1）

C．（－ 2 －1， 2 －1）D．（0， 2 ＋1

（2）圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（）

A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0

（3）“a=b”是“直线22

与圆相切”的（）

=+-++=

2()()2

y x x a y b

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．

（5）过点（1， 2 ）的直线l将圆（x－2)2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．

[例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．

[例3] 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)．

(1)求证：（a －2)(b －2)=2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值．

【课内练习】

1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5

2

=0相切的直线的方程为 （ ）

A ．y=－3x 或y=13 x

B ．y=3x 或y=－1

3 x

C ．y=－3x 或y=－13 x

D ．y=3x 或y=1

3 x

2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为

( ) A ．(x ＋2)2＋y 2=5

B ．x 2 ＋(y －2)2=5

C ． (x －2)2＋(y －2)2=5

D ．x 2 ＋(y ＋2)2=5

3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）

A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于原点轴对称

D ．关于y=x 轴对称

4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）

A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）

5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．

OA

6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OB ＝ .

7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．

8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．

9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0

（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；

（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．

(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

11．5直线与圆的综合应用

A 组

1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4

2．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为

A ．－3或7

B ．－2或8

C ．0或10

D ．1或11

3．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π

4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则

11

a b

+的值等于 ． 5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，

则a 等于 ．

6．光线经过点A （1，7

4 ），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．

（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．

7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B

点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．

8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．

B 组

1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋1

3．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）

A ．20

B ．19

C ．18

D ．16

4．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .

5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切；