内蒙古包头三十三中2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理

包三十三中学2012~2013学年度高二（下）学期期末
数学(理)试卷
说明：1.满分150，时间120分钟；2.请在答题纸上作答。

第Ⅰ卷（共80分）
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 若集合{}{},)1lg(|,,3|2||-==∈≤-=x y y B R x x x A 则B A =( ) A [)1,1- B. ()1,∞- C. []5,1- D. (]5,1
2. 已知“命题p ：x ∃∈R ，使得0122
<++x ax 成立”为真命题，则实数a 满足（ ）
A ．[0，1）
B ．)1,(-∞
C ．[1，＋∞）
D ．]1,(-∞
3.
的虚部是 （ ）
.1.1
..A B C i
D i --
4.下面使用类比推理正确的是 （ ） A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）” D.“
n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）” 5.设)()(,sin )('
010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，
n ∈N ，则2012()f x = A.sin x
B.－sin x C . cos x D.－cos x
6．设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=图像可能为（ ）
7.若直线l 的参数方程为13()24x t
t y t =+⎧⎨
=-⎩
为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为 ( ) A
B
C
D
A ．45
-
B ． 35-
C ． 35
D ．
4
5 8. 已知函数)3(log )(25.0a ax x x f +-=在),2[+∞单调递减，则a 的取值范围( ) A.]4,(-∞ B.),4[+∞ C. ]4,4[- D. ]4,4(- 9.设函数|lg |)(x x f =，若)0)(()(b a b f a f <<=，则
b
a 2
1+ （ ） A.有最小值3 B.无最小值 C. 有最小值22 D. 有最大值 10. 有下面四个判断：其中正确的个数是( )
①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个真命题 ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题
③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、22,2(1)b R a b a b ∈+≤--” A.0 B.1 C.2 D.3
11．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|2
2
x x 的解集为
A ．)4,2(
12. 已知abc x x
x x f -+-=96)(2
3
，c b a <<，且0)()()(===c f b f a f .
现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④.0)3()0(<f f ；
⑤4<abc ；⑥4>abc 其中正确结论的序号是( ) A.①③⑤ B.①④⑥ C.②③⑤ D.②④⑥ 二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上）
13.已知函数x x x f 3)(3
+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则
∈x .
14.已知函数),2()(3
22N k k n x x f n n ∈==++-的图像在),0[+∞上单调递增，=n .
15.若函数b x a x a
x x f +-+-=
||)3(2
||31)(23有六个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 . 16．曲线21
22x y x e x
=++，直线1,x x e ==和x 轴所围成的区域的面积是
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.(本题12分)已知关于x 的不等式
05
2
<--a
x ax 的解集为M . (1)当1=a 时，求集合M ；（2）当M M ∉∈53且时,求实数a 的范围.
18. .（本题12分）已知函数()f x 对一切实数,x y 均有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f = （1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()(1)()[(1)]g x a f x a f x x =+-+-在区间（-1,2）上是单调函数，求实数a 的取值范围.
19.（本题满分12分）已知椭圆C 的参数方程为为参数）θθθ(sin 2
1cos 23
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
==y x ，直线L 的参数方程为为参数）
t t
y t
x (11⎩⎨
⎧-=+= （1）求椭圆C 的焦点坐标；
（2）若参数⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈32,2ππθ，试求椭圆C 上的点到直线L 的距离的最大值和最小值.
20. （本题12分）将函数)1(log )(2+=x x f 的图像向左平移1个单位，再将图像上的所
有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数)(x g y =的图像. （1）求函数)(x g y =的解析式和定义域； （2）求函数)()1()(x g x f x F y --==的最大值.
21. (本题满分12分) 已知二次函数()f x x x +=2
，若不等式x x f x f 2)()(≤+-的解集为
C .
（1）求集合C ；
（２）记)(x f 在C 上的值域为A ，若]1,0[,2
3)(3∈+-=x t
tx x x g 的值域为B ，且B A ⊆，求实数t 的取值范围．
22、（本小题满分14分）
已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围.
包三十三中学2012~2013学年度高二（下）学期期末 数学(理)试卷 参考答案 （满分150，时间120分钟）
一、CBBCA DBDCB AC
二 13.)3
2,2(- 14. 0或2 15.（2,3） 16. 2e
e
17. 解：（1）当1=a 时，)5,1()1,(0)1)(1(5
01
52⋃--∞=∴<-+-⇔<--M x x x x x (4)
分
（2）9350935
09533><⇔>--
⇔<--⇔∈a a a a a a M 或 ……………………6分 M ∉5⇔02555<--a a 不成立.又251025
1
02555><⇔>--⇔<--a a a a a a 或……8分
M ∉5⇔251><a a 或不成立⇔251≤≤a ……10分
综上可得， 2593
5
1≤<<
≤a a 或 ……………………12分 18.解：（1）()f x =2
2x x +-
（2）2
()(1)2(1)g x x a x a =+--+，由于()g x 在区间（-1,2）上是单调函数 所以
122a -≥或1
12
a -≤-，即5a ≥或1a ≤- 故实数a 的取值范围为(,1][5,)-∞-⋃+∞
19.答案：（1）消去参数θ得椭圆的普通方程为,14
1432
2=+y x 2分
所以2
221,41,43222
=
⇒=∴==
c c b a 所以椭圆C 的焦点坐标为)0,2
2
()0,22(与-
5分 （2）直线L 的普通方程为02=-+y x ， 7分 所以椭圆C 上的点到直线L 的距离为
2
)
3sin(22|2)3sin(|2|2sin 21
cos 23|
πθπθθθ+-=
-+=-+---------9分 因为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈32,2ππθ，所以ππ
θπ
≤+≤365 ------------10分 所以其最大值和最小值分别为4
2
3,
2 12分 20. 解析：（1）2),2(log 2)(2->+==x x x g y ……………4分
（2）0,)
2(log )(2
2
>+==x x x
x F y ……………6分 令0,)2()(2
>+=
x x x
x u （过程略） ---10分当2=x 时，()1()(x g x f x F y --==的最大值-3 …12分
21. [解]（1）2
2)()(x x f x f =-+
当0≥x 时，x x 222≤ ⇒ 10≤≤x ；当0<x 时，x x 222
-≤ ⇒ 01<≤-x
所以集合]1,1[-=C -----4分 （3）]2,4
1[-=A
)(3)(2
t x x g -='
①当0≤t 时，函数2
3)(3t
tx x x g +
-=在]1,0[∈x 单调递增，所以函数)(x g 的值域 ]251,2[t t B -=， ∵B A ⊆ ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤t t
2512412，解得⎪⎩
⎪⎨⎧-
≤-≤5221t t ，即52-≤t ---7分
②
若1≥t ， )(3)(2t x x g -=' ∴0)()(21>-x g x g ，函数)(x g 在区间]1,0[单调递
减，]2
,251[t t B -
= ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-22
412
5
1t t ：又1≥t ，所以4≥t 。

-------------------------------------9分 ③
若10<<t ，此函数)(x g 在]1,[t 单调递增；在],0[t 单调递减. )(x g 在t x =达到最小值。

要使B A ⊆，则⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥≥41)(2)1(2)0(t g g g 或⇒⎪⎩⎪
⎨⎧≥---≤≥01)(2)(852423t t t t 或， 因为10<<t ，所以使得B A ⊆的t 无解。

--------------------------------------11
分 综
上
所
述
：
t 的取值范围是：
)
,4[]52
,(+∞--∞
----------------------------------------12分
22解：(Ⅰ)由已知1
()2(0)
f x x x '=+>， ………………2分
(1)213f '=+=.
故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)11
'()(0)ax f x a x x x
+=+
=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >
所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分
②当0a <时，由'()0f x =，得1
x a
=-.
在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1
(,)a -+∞上()0f x '<，
所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1
(,)a
-+∞.
………………8分
（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.
max ()2g x = ………………10分
由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在3
3
(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………10分
当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1
(,)a -+∞上单调递减，
故()f x 的极大值即为最大值，11
()1ln()1ln()f a a a
-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得3
1
e a <-. -------12。