2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.3待定系数法测理

方法三待定系数法
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ （一）选择题（12*5=60分）
1. 1．若幂函数的图象经过点，则的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，幂函数，所以定义域为.故选D.
2．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
3．【2018届山东省济宁市高三上学期期末】已知函数的图象经过定点，若幂函数的图象过点，则的值等于( )( )
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】令，得.此时,所以函数. 由题意得，解得.选B.
4. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（A）或（B）或（C）或（D）
或
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为：，即：，又因为光线与圆相切，所以， ,整理：
，解得：，或 ,故选D．
5.【2018届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】函数
的图像如图所示，则
的值等于
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由图知 ,
所以
，选B.
6.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A. 若
为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为（）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x
【答案】
【解析】试题分析：的焦点是，直线的方程为，令得
，所以由的面积为得，，故选.
7.中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且与直线相切的椭圆的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】C
8.已知双曲线的左焦点为F，左顶点为C，过点F作圆O：
的两条切线，切点为A、B，若，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连结，则，由，得为正三角形，∴，又在中，可得，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.
9.【2018届广东省深圳市高三第一次调研】函数 (，是常数，
，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数
的图象( )
A. 向左平移个长度单位
B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位
D. 向右平移个长度单位
【答案】A
【解析】由图象可得，，，则
时，时，可得，
，将向左平移个单位，可得
，所以为得到函数，只需将函数
的图象向左平移个长度单位，故选A.
10．【2018届山东省菏泽市高三第一学期期末九校联】函数
的部分图像如图所示，则当时，的值域是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
11.已知数列，，其中是首项为3，公差为整数的等差数列，且，
，，则的前项和为（）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
由题意，得，又由，，可得．因为公差为整数，所以，所以．因为，即，所以，所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列，所以
，故选C．
12.【2018届华大新高考联盟高三1月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线的一个顶点，则此抛物线的标准方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的下顶点为，据此结合题意可知：，
抛物线的方程为：，即.
本题选择A选项.
（二）填空题（4*5=20分）
13.【2018届天津市部分区高三上学期期末】以点为圆心的圆与直线相切于点，则该圆的方程为__________．
【答案】
【解析】由题意设圆的方程为，
根据条件得，解得．
∴该圆的方程为．
答案：
14.已知数列是公差不为0的等差数列，，，称等比数列，且
，．
【答案】
【解析】
设数列的前项和为，公差为，则，可得
①，又②，由①-②得，
，故答案为.
15.已知函数的图像如图所示，则 .
【答案】0
【解析】∵由图形可知A=2，∴函数的解析式是
,∵在函数的图象上，
16.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知抛物线：的焦点也是椭圆：的一个焦点，点，分别为曲线，
上的点，则的最小值为__________．
【答案】2
（三）解答题（共6道小题，共70分）
17.已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且. （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题意知，且，
∴，解得，故
.……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以
.………………………………………………（7分）
∴
，……………………………………………………………（8分）
故数列的前项和为
.……………………………………………………………………………（10分）
18.已知二次函数的最小值为，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】试题分析: (1)由, 根据二次函数的对称性可得函数的对称轴,又已知函数的最小值,可设二次函数的顶点式,再，得值,可得二次函数;(2)二次函数在区间不单调,则对称轴方程在此区间内,可得关于的不等式,解不等式即可;(3)将图像问题转化为不等式恒成立问题,即在区间上恒成立,再进一步转化为二次函数的最小值大于的问题.可得的范围.
试题解析: (1)，故二次函数关于直线对称，又由二次函数的最小值为，故可设，由，得，故.
(2)要使函数不单调，则，则.
(3)若在区间上，的图象恒在的图象上方，即
在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则只要，而，得.
19.【2018届广东省汕头市高三上学期期末】已知圆的圆心在直线上，且圆经过曲线与轴的交点.
(1) 求圆的方程；
(2) 已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或.
试题解析：
（1)在中，
令，得，
解得或，
所以曲线与轴的交点坐标为．
设圆的方程为，
依题意得，
解得，
所以圆的方程为．
(2)解法一：
由题意知直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为．
由消去整理得
，
因为直线与圆交两点，
所以．设，
则
因为，
所以，
所以
解得或，
经检验得或满足，
所以直线的方程为或.
解法二：
如图取的中点，连接，
则
设
由，得
由
所以
解得
所以圆心到直线的距离等于2，
设直线的方程为，即
所以，
解得或，
所以直线的方程为或.
解法三：
设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为 (为参数)．把代入并整理得：
设对应的参数分别为，
则
因为，
所以，，
所以
所以，
所以
所以，
所以或
所以直线的方程为或.
20.【2018届山西省晋中市高三1月高考适应性调研】已知抛物线：（）
的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为，，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1) (2) 点在定直线上
【解析】试题分析：（1）由条件易得：，从而得到椭圆的方程；（2）先由特殊位置定出，猜想点在直线上，由条件可得直线的斜率存在，设直线，联立方程，消得：
有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.
（2）方法一
当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立
，解得，
当点为椭圆的下顶点时，由对称性知：.
猜想点在直线上，证明如下：
由条件可得直线的斜率存在，设直线，
联立方程，
消得：有两个不等的实根，
，
设，则，
则直线与直线
联立两直线方程得（其中为点横坐标）将代入上述方程中可得，
即，
即证
将代入上式可得
，此式成立
∴点在定直线上.
方法二
由条件可得直线的斜率存在，设直线
联立方程，
消得：有两个不等的实根，
，
设，则，
，
由，，三点共线，有：
由，，三点共线，有：
上两式相比得
，
解得
∴点在定直线上．
21.【2018届广东省深圳市高三第一次调研】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.
(1)求椭圆的方程和点的坐标；
(2) 为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，，求的面积最大时直线的方程.
【答案】（1）椭圆的方程为，点的坐标为；（2）或.
【解析】试题分析：(1) 根据椭圆的离心率为，直线
与椭圆有且只有一个交点，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得结果；(2) 设直线的方程为，设，，联立消去，利用韦达定理，弦长公式以及点到直线距离公式与三角形面积公式可得，利用二次函数的性质可得结果.
试题解析：(1)由，得，故.
则椭圆的方程为.
由，消去，得.①
由，得.
故椭圆的方程为.
所以，所以点的坐标为；
(2)设直线的方程为，
设，，联立消去，得，
则有，
由，得，
. 设原点到直线的距离为.
则.
所以.
所以当时，即时，的面积最大.
所以直线的方程为或.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程
或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
22．【2018届海南省高三上学期期末】已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
3 -2 4
0 -4
（1）求的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.
【答案】(1) ：.；(2) .
【解析】试题分析：（1）先分析出点，在抛物线上，点，
在椭圆上，利用待定系数法可得到的标准方程；（2）设，，将代入椭圆方程，消去得，利用韦达定理以及中点坐标公式可得线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得，结合判别式大于零可得实数的取值范围.
（2）设，，将代入椭圆方程，消去得
，
所以，即.①
由根与系数关系得，则，
所以线段的中点的坐标为.
又线段的垂直平分线的方程为，
由点在直线上，得，
即，所以，
由①得，所以，即或，所以实数的取值范围是.。