2019_2020学年高中数学第2章推理与证明章章末复习提升课课件新人教B版选修2_2

在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则
△ABC 的外接圆半径为 r＝12到空
[解] 取空间中三条侧棱两两垂直的四面体 A-BCD 且 AB＝
a，AC＝b，AD＝c，则此四面体的外接球的半径为 R＝12 a2＋b2＋c2.
[点评] 类比是数学发现的重要方法，它是由两类对象具有 某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
法二：(分析法)要证 bn<bn＋1，其中 n 为正整数， 只需证 b2n＋1－b2n>0， 只需证 a2n＋1(3－2an＋1)－a2n(3－2an)>0， 只需证3－2 an23－2×3－2 an－a2n(3－2an)>0， 只需证94an(an－1)2>0. 由(1)可知 0<an<32，且 an≠1，上式显然成立． 故 bn<bn＋1，其中 n 为正整数．
[点评] 命题的证明，既要会用分析法，也要会用综合法， 两者各有优点，特别是证明的命题较复杂时，条件与结论的 差异难以消除或者已知条件信息太少，已知与待证结论间的 联系不明显时，常是从条件出发用综合法，再从结论出发用 分析法，前后夹攻，寻求良策．
特点：是由特殊到特殊的推理
推 理推 理演 绎模式：三段论bca...结大小情论前前况—提提做———出根——的据已所判一知研断般的究原一的理般特，原殊对理情特况殊 特点：是由一般性命题到特殊性命题的推理
2．证明
(1)直接证明
综合法
分析法
综合法是从原因推 分析法是从结果追溯到产生这一
导到结果的思维方 结果的原因的思维方法(执果索
[证明] (1)因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋n 2Sn(n∈N＋)， 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 所以nS＋n＋11 ＝2·Snn(n∈N＋)． 故数列Snn是公比为 2， 首项为 1 的等比数列．
(2)由(1)知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)．于是
合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、 比较、联想、再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称 为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方 向．归纳推理的思维过程大致如下： 实验，观察 → 概括，推广 → 猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下： 实验，比较 → 联想，类推 → 猜测新的结论
分析法 执果索因 B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐ A(已知) 要证……只需证……
即证
(2)间接证明 反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
1．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数 学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性． 2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常 常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等 分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成 立． 3．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出 矛盾结果，其推理过程是错误的．
法(由因导果)，即从 因)，即从待证结论出发，一步一 定义
已知条件出发，经 步寻求结论成立的充分条件，最后
过逐步的推理，最 达到题设的已知条件或已被证明
后达到待证结论 的事实
实质 步骤 表示 文字 语言
综合法 由因导果 P0(已知)⇒P1⇒P2⇒… ⇒Pn(结论) 因为……所以…… 或由……得……
综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，应 用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析 法就可以帮助我们克服这种困难．在实际证明问题时，应当 把分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题 途径．
设数列{an}的首项 a1∈(0，1)，an＝3－2an－1，n＝2，3， 4，…. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝an 3－2an，证明 bn<bn＋1，其中 n 为正整数．
[解] (1)由 an＝3－2an－1，n＝2，3，4，…， 整理得 1－an＝－12(1－an－1)． 又 1－a1≠0，所以{1－an}是首项为 1－a1，公比为－12的等比 数列，则 1－an＝(1－a1)－12n－1， 即 an＝1－(1－a1)－12n－1.
(2)证明：因为 a1∈(0，1)，所以 0<an<32，且 an≠1， 所以 bn＝an 3－2an>0. 法一：(综合法)an＝3－2an－1，an＋1＝3－2 an， 所以 bn＋1＝an＋1 3－2an＋1＝（3－a2n） an. 由 an≠1 可得 an(3－2an)<3－2an2， 即 a2n(3－2an)<3－2an 2·an. 两边开平方得 an 3－2an<3－2an· an， 故 bn<bn＋1，其中 n 为正整数．
Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11 ＝4an(n≥2)． 又 a2＝3S1＝3， 故 S2＝a1＋a2＝4＝4a1， 因此对于任意正整数 n≥1， 都有 Sn＋1＝4an. [点评] “三段论”在证明或推理过程中，不一定要求证明 每一步必须三段清晰，特别是大前提，有一些是我们早已熟 悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理 的过程中可以直接利用，不需要重新指出．
对象也具有这些特征的推理，确切地说就是抓两类对象的相
似之处．
演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提 和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理 的内容一般是通过合情推理获取．
数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn (n＝1，2，3，…)， 证明：(1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
第二章 推理与证明
章末复习提升课
1．推理
定义：根据一类事物的部分对象具有某
种性质，推出这类事物的所有对象
推理推理合情归纳推理都特定类具点义似有：：（是推这根或由理种据一性部两致质分类）的到不性整推同，体理事推、物测由之其特间中殊具一到有类一某事般些物的具有
类比推理与另一类事物类似（或相同）的性质的推理