【优选】中考数学常考易错点：4-2-2《全等三角形》

全等三角形
易错清单
1.两边和一角对应相等的两个三角形全等吗?
【例1】已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,现有两个判断
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.
对于上述的两个判断,下列说法正确的是().
A. ①正确, ②错误
B. ①错误, ②正确
C. ①、②都错误
D. ①、②都正确
【解析】由于△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则B1C1=B2C2,根据“边边边”定理,易得△A1B1C1≌△A2B2C2故①正确;若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则∠C1=∠C2,根据相似三角形的判定定理,易得△A1B1C1∽△A2B2C2.又因为△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,所以△A1B1C1≌△A2B2C2,故②正确.
【答案】 D
【误区纠错】在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
2.如何说明一条线段等于另两条线段之和.
【例2】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF. (2)由(1),得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.
【答案】(1)在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.理由如下
∵由(1),得△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG(SAS).
∴GE=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
【误区纠错】在第(2)问中不能通过截长或补短找出和GE相等的线段,从而通过全等证出关系是不是成立.
名师点拨
弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断.
2.会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全等思想说明线段(或角)相等.
提分策略
1.全等三角形开放性问题.
由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.
【例1】如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件
是.(不添加辅助线)
【解析】由已知可证∠EDC=∠BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是DE=DF或(CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB).【答案】(1)添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等).
(2)在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE.
2.全等三角形性质与判定的综合应用.
(1)解决全等三角形问题的一般思路①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;
(2)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;
(3)利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.
【例2】如图,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.
求证FD=BE.
【解析】∵△ABO与△CDO关于点O中心对称,
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
∵AF=CE,
∴OA-AF=OC-CE,即OF=OE.
∵∠FOD=∠EOB,
∴△FOD≌△EOB.
∴FD=BE.
专项训练
一、选择题
1.(2014·湖南益阳二模)如图,在正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD 于点F,连接CF,则图中全等三角形共有().
(第1题)
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
2.(2014·江苏南京二模)在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为6,AC边的长度可以在1,3,5,7中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是().
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3. (2013·江苏南京六合一模)如图,直线上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为().
(第3题)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
二、填空题
4. (2013·安徽一模)如图,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则四个结论正确的是.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①AP平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.
(第4题)
三、解答题
5. (2014·山东泰安地区三模)如图,在△ABC中,D,E,F分别是各边的中点,AH是边BC上的高.那么,图中的∠DHF与∠DEF相等吗?为什么?
(第5题)
6. (2014·山西大同二模)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B,F,C,D在同一条直线上.
(1)求证AB⊥ED.
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.
(第6题)
7.(2013·浙江锦绣育才教育集团一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的关系,并证明你的猜想.
(第7题)
【答案】
1. C[解析]由正方形对称性知△ABD≌△CBD;△AFD≌△CFD;△ABF≌△CBF.
2. B[解析] 根据三角形构成的条件知AC取1,3,5,7均可以构成△ABC, 且这些三角形互不全等.
3.D[解析]根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE,从而得到b的面积=a的面积+c的面积.
4.①②③④[解析]首先根据角平分线上点的性质,推出①正确,然后通过求证△ARP和△ASP全等,推出②正确,再根据AQ=PQ,推出相关角相等,通过等量代换即可得∠QPA=∠PAR,即可推出③正确,依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B,便可推出结论④正确.
5.∠DHF=∠DEF.理由如下
∵AH⊥BC于点H,
又D为AB的中点,
∴∠DAH=∠DHA,同理可证∠FAH=∠FHA.
∴∠DAH+∠HAF=∠DHA+∠AHF,
即∠DHF=∠DAF.
∵E,F分别为BC,AC的中点,
即EF∥AD且EF=AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴∠DAF=∠DEF.
∴∠DHF=∠DEF.
6. (1)由已知,得Rt△ABC≌Rt△DEF.
∴∠A=∠D.
∵AC⊥BD,
∴∠ACD=90°.
又∠DNC=∠ANP,
∴∠APN=90°.
∴AB⊥ED.
(2)△ABC≌△DBP.理由如下
由(1),得∠A=∠D,∠BPD=∠ACB=90°.
又PB=BC,
∴△ABC≌△DBP.
7.数量关系为BE=EC,位置关系是BE⊥EC.理由如下
∵△AED是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是45°,∴∠EAD=∠EDA=45°.
∴AE=DE.
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°,
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°.
∴∠EAB=∠EDC.
∵D是AC的中点,AC=2AB,∴AD=AB=DC.
∴△EAB≌△EDC.
∴EB=EC,且∠AEB=∠CED.
∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BEC=90°.。