山东省平阴县2016-2017学年高一数学6月尖子生阶段性考试试题

山东省平阴县2016-2017学年高一数学6月尖子生阶段性考试试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B=（）
A．A={0，1，2} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1}
2．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）
A．18人B．16人C．14人D．12人
3．函数y=3sin（2x﹣）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=3sin2x的图象（）
A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移
4．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最
小正值是（）A．B．C． D．
5．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）
A．1007 B．3025 C．2017 D．3024
7．将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次点数的2倍的概率为（）
A．B．C．D．
8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
用最小二乘法算得的回归方程=x+中的为7，据此预测广告费用为6万元时销售额为（）
A ．58.5万元
B ．77.5万元
C ．59万元
D ．70万元
9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（ ）
（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
10．已知向量=（，x ），=（1，
），且向量、的夹角为，则x=（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
11．已知(
,)2π
θπ∈，4tan()43πθ-=-，则sin()4πθ+=（ ）A ．35 B ．45 C. 45- D ．3
5
-
12．若关于x 的方程2sin （2x+）=m 在[0，
]上有两个不等实根，则m 的取值范围是（ ）
A ．（1，
）
B ．[0，2]
C ．[1，2）
D ．[1，
]
二、填空题
13.已知向量=（﹣1，2），=（m ，3），m ∈R ，若⊥（
），则m= ．
14．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 ．
15．已知向量，满足
，
，
，则
= ．
16．设向量=（a 1，a 2），=（b 1，b 2），定义一种向量积⊗=（a 1b 1，a 2b 2）．已知向量=（2，），
=（，0），点P （x ，y ）在y=sinx 的图象上运动，Q 是函数y=f （x ）图象上的点，且满足
=
⊗
+（其中O 为坐标原点），则函数y=f （x ）的值域 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤.）
17．（10分）已知函数f（x）=Acos（ωx
﹣）（A＞0，ω＞0
）相邻两条对称轴相距，且f
（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α、β
∈（0
，），f（α
﹣）
=，f（β
+）
=，求tan（2α﹣2β）的值．
18．（12分）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中的值（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
19．（12分）我市两所高中分别组织部分学生参加了“七五普法网络知识大赛”，现从这两所学校的参赛学生中分别随机抽取30名学生的成绩（百分制）作为样本，得到样本数据的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）若乙校每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校参赛学生总人数；
（Ⅱ）根据茎叶图，从平均水平与波动情况两个方面分析甲、乙两校参赛学生成绩（不要求计算）；（Ⅲ）从样本成绩低于60分的学生中随机抽取3人，求3人不在同一学校的概率．
20．（12分）在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
a
（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，^
^^
a y
b x =-，参考数据：
8
1
324i i
i x y
==∑，8
21
1256i i x ==∑.
21．（12分）已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

. （Ⅰ）求向量错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的夹角θ；（Ⅱ）求错误！未找到引用源。

及向量错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

方向上的投影的数量.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在
单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，. （1）若11
cos()3
13
π
α+
=-
，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3
AOB π
∠=
. 过点A B 、分别做x 轴的垂线，
垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S .设()12f S S α=+，求函数()
f α的最大值.
平阴一中2016级尖子生阶段性考试
数学试题答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【考点】交、并、补集的混合运算．
【解答】解：A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，
则∁R A={x|x≤﹣1}，
（∁R A）∩B={﹣2，﹣1}．故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵有运动员98人，其中女运动员42人，
∴男运动员56人，
∴每名运动员被抽到的概率都是，
∴男运动员应抽取56×=16，故选：B．
3．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【解答】解：把函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得到函数y=3sin（2x+﹣
）=3sin2x的图象，故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是
函数y=sin（2x+﹣2φ），
图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，
当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．
5．【考点】函数零点的判定定理．
【解答】解：函数f（x）=lnx﹣在（1，+∞）是增函数，在（1，+∞）上是连续函数，
因为f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣＞0，
所以f（2）f（3）＜0．
所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．
【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性以及函数的连续性的判断，是基础题．6．【考点】程序框图．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：
S=a1+a2+a3+a4+…+a2009+a2010+a2011+a2012
=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（2015+1）+（0+1）+（﹣2016+1）+（0+1）
=6+…+6+1=6×+1=3025；
所以该程序运行后输出的S值是3025．故选：B
7．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【解答】解：一颗骰子掷两次，基本事件总数n=36种．
第二次出现的点数是第一次点数的2倍包含的基本事件有：
（1，2），（2，4），（3，6）共3种，
∴第二次出现的点数是第一次点数的2倍的概率P=．故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
8．【考点】线性回归方程．
【解答】解：由题意， =3.5， =41．代入回归方程可得：41=7×3.5+，∴ =16.5，
∴=7x+16.5，∴x=6时， =7×6+16.5=58.5万元．故选A．
【点评】本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数．
9．【考点】程序框图．
【解答】解：模拟执行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=，
不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．
【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题
10．【考点】平面向量数量积的运算．
【解答】解：，；
又；
∴；∴；∴解得x=1．故选C．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式．
11．D
12．C【考点】正弦函数的图象．
【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为
sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；
根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜1 1≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．
二、填空题
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【解答】解：向量=（﹣1，2），=（m，3），m∈R，
∴+=（m﹣1，5），
又⊥（），
∴•（+）=﹣1×（m﹣1）+2×5=0，
解得m=11．故答案为：11．
【点评】本题考查了平面向量垂直的应用问题，是基础题．
14．【考点】众数、中位数、平均数．
【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x ， 则92×50=90×30+20x ，解得：x=95，故答案为：95．
【点评】本题考查了平均数问题，掌握平均数的定义是解题的关键，本题是一道基础题． 15．【考点】平面向量数量积的运算．
【解答】解：∵
，，，
∴|+|2
=||2
+||2
+2•，
∴2•=1+4﹣5=0，
∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4•=4+4=8，
∴|2﹣|=2
故答案为：
16．【考点】9R ：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象． 【解答】解：令Q （c ，d ），
由新运算可得=⊗
+=（2x ， sinx ）+（
，0）
=（2x+
， sinx ），
即，消去x 得d=sin （c ﹣），
所以y=f （x ）=sin （x ﹣），
当x ﹣=2k π+，即x=4k π+，k ∈Z 时，取得最大值；
当x ﹣
=2k π﹣
，即x=4k π﹣
，k ∈Z 时，取得最小值﹣．
故y=f （x ）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=Acos （ωx ﹣）（A ＞0，ω＞0）相邻两条对称轴相距=
=
，
∴ω=2；
又f （0）=A=1，∴A=2，∴f （x ）=2cos （2x ﹣
）．
（Ⅱ）∵α、β∈（0，），f （α﹣）=2cos[2（α﹣）﹣
]=2cos （2α﹣π）=﹣2cos2α=，
∴cos2α=，sin2α=
=
，tan2α=
=
．
f （β+）=2cos[2（β+
）﹣]=2cos2β=，∴cos2β=，sin2β=
=
，
tan2β=
=．
求tan （2α﹣2β）===．
【点评】本题主要考查余弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
18． 【考点】频率分布直方图． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，
可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1， 解得a=0.30．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，
100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12， 由以上样本频率分布，
可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000． （Ⅲ）∵前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85， 而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，∴2.5≤x ＜3 由0.3×（x ﹣2.5）=0.85﹣0.73，解得x=2.9，
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用． 19．（12分）
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．
【解答】解：（Ⅰ）∵从这两所学校的参赛学生中分别随机抽取30名学生的成绩（百分制）作为样本，
乙校每位学生被抽取的概率为0.15，
∴乙校参赛学生总人数为：30÷0.15=200（人）；
（Ⅱ）由茎叶图知甲的数据位于茎叶图的左上方偏多，
乙的数据位于茎叶图的右下方多，
甲的数据相对于乙较分散，乙的数据相对于甲较集中，
∴平均水平：甲小乙大；波动情况：甲大乙小．
（Ⅲ）记甲校成绩低于60分的4人为1，2，3，4，
乙校成绩低于60分的2人为5，6，
则从中选出3人的所有基本事件为：123，124，125，126，134，135，136，145，146， 156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共计20个．
记“抽取的3人不在同一学校”为事件A ，则A 包含的基本事件（用下划线标记）有：
125，126，135，136，145，146，156，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共计16个．
∴3
人不在同一学校的概率．
【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
20．（12分）解析：（Ⅰ）由题意，()()()2015133251018582x +++++-+-+-==， ()()()6.5 3.5 1.50.50.5 2.5 3.5988
y ++++-+-+-==， 8
122821593248128ˆ45125682i i
i i i x y nxy b x
nx ==--⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭
∑∑， 所以9151ˆˆ8422
a
y bx =-=-⨯=， 故线性回归方程为11ˆ42y x =+． （Ⅱ）由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为：90.5ω-．
而数学偏差为1261188-=，
则（Ⅰ）的结论可得，
，解得93ω=，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．
22．解：（1）由三角函数的定义有1cos x α=， ………2分
∵ 11cos()()31362π
ππ
αα+=-∈，，，
∴ sin()3π
α+= ………4分
∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡⎤
==+-⎢⎥⎣⎦
cos()cos sin()sin 3333
ππππ
αα=+++
1111
13226=-⋅=. ………6分
（2）由1sin y α=，得111111
cos sin sin 2224S x y ααα===． 由定义得2cos()3x π
α=+，2sin()3y π
α=+， 又5()()62326π
π
πππ
αα∈+∈由，，得，，于是， 22211cos()sin()
2233S x y ππ
αα=-=-++
1
2sin(2)43π
α=-+ ……8分
∴ 121
12()sin 2sin(2)443f S S π
ααα=+=-+
=1
122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433
ππααα-+
=3sin 228αα
12cos 2)2αα-
)6
πα-， …10分 5()2()62666πππππ
αα∈-∈由，，可得，，
262π
π
α-=于是当
，即max ()3f π
αα==时， ……12分。