【常考题】高三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)(1)

【常考题】高三数学上期中第一次模拟试卷(附答案)(1)
一、选择题
1．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（ ）
A ．2744n n +
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
2．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．4036
D ．4037
3．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,
5⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
4．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,
若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2 B
C
．
2
D ．4
5．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
6．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9
B ．22
C ．36
D ．66
8．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
9．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》
中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
11．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95
B ．100
C ．135
D ．80
12．已知4
2
1
3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
二、填空题
13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有
22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．
14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.
15．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 16．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 17．对一切实数x ，不等式2
||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 18．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为
221
4
a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．
20．已知数列{}n a 的通项1n n a n
+=
+15项的和等于_______.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．
22．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．
（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =
,求的面积．
23．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
24．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，(
)*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数
为偶数
设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；
（2）求数列3+2n n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令
，求证：数列
是等比数列．
（3）令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】
由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且
20182019
00a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802
240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩
，所以使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是4036.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立，
设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈，
()2
2
10f x x ∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则23
5
a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：因为
ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3
0,23623
--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5
0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－
13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
7．D
解析：D 【解析】
分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +⨯+++=
=
==L
考点：等差数列的前n 项和
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以
()9711159784a a =+-⨯=，所以945
=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】
由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，
()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦
故选B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为42223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
二、填空题
13．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay +1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x
解析：（﹣∞，265
] 【解析】 【分析】
由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立
可求得a ≤x+y+1
x y
+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围．
【详解】
因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，
代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1， 即a ≤x+y+
1
x y
+，令t=x +y ∈[5，+∞）， 则问题转化为a ≤t+1t
，
因为函数y=t +1t
在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265
， 所以a ≤
265
，
故答案为（﹣∞，265
] 【点睛】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
14．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
解析：300 【解析】
试题分析：由条件，
,所以
,
,
,所以
,
,这样在
中，,在
中，
，解得
,
中，
，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
解析：1
4
-
【解析】
在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故
2221
32,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴===-
故答案为：1
4
-
. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直
接应用.
16．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝
a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1
＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12
)2n ]
代入1817<
2n n S S <8
7，可得117<(12
)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 17．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）
【解析】 【分析】
根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1
x
），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】
根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式
可化为a|x|≥-（x 2
+1），即a≥-（|x|+ 1
x
）,
又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1
x
）≤-2；
要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
18．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛
解析：
1
4
【解析】 【分析】
结合已知条件，结合余弦定理求得π
4
C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】
由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221
cos 2a b C ab +-=②，由
①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 22
a b C ab +-==
，化简
221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得ab ≤所以三角形
面积1121
sin 22224
S ab C =≤⨯=.
. 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.
19．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：
23
π 【解析】
由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571
cos 2352
C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为
2π
3
. 20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3
【解析】
【分析】
将n a =
15项的和. 【详解】
利用分母有理化得
n a =
==
设数列{}n a 的前n
项的和为n S ，所以前15
项的和为：
1512
15S a a a
=+++L
1=
L
1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.
三、解答题
21．（1）21n a n =+；（2）()1212n
n +-⋅
【解析】 【分析】
()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项
和公差，由此能求出21n a n =+．
(2()111)
2,2212n n n n
n n n
b b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】
解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠， 且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
()()1
121
113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，
解得132a d =⎧⎨=⎩
()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，
21n a n ∴=+
(2)n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列，
()1112,2212n n n n
n n n
b b a n a ---∴
==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①
()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②
两式相减得：
()()12123221212
n n n T n --=--⨯
++⋅-
()1212n n =+-⋅
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。

22．（1
）3
； （2
） 【解析】 【分析】
（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB 的值，确定出sinB 的值，
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB ，利用完全平方公式变形后，将a+b ，b ，cosB 的值代入求出ac 的值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】
（Ⅰ）由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得，sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
,
3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=（，即()1cos 3A C ∴+=-， 1
cos 3
B ∴=，
又0B π<<
, sin 3
B ∴=
． （Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 23a c b B ac +-== ()2
221
23
a c ac
b a
c +--∴=，
又a c +=
，b =
9ac =,
1
sin 2
ABC S ac B ∆∴=
=． 【点睛】
本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
23．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n
n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()
1233311n n -=⋅+++++L (
)11
231
12
n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n
n a =.
（Ⅱ）由3n
n n b na n ==⋅，
得231323333n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()2
3
4
1
3132333133
n
n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()
231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦
∴()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
24．(1)1
,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·
2n ＋1. 【解析】 试题分析：
（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得1
2n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简
整理即可得到所求的和. 试题解析：
(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得
解得d ＝1，q ＝2.
所以a n ＝1＋(n －1)×
1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝
－n·
2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·
2n ＋1. 25．（1）见解析（2）1
2
42n n n S -+=- 【解析】 【分析】
（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；
（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，结合错位相
减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】
（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+， 所以()1222n n b b ++=+，即
12
22
n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，
所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，1
232n n b -+=⋅，
11
332322n n n n n n
b --==+⋅， 所以021
11222n n n n n S ---=
+++L 02
22222n n n S -=+
++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫
=-=-
+++ ⎪⎝⎭
L 11111221212
n n n --⎛
⎫⋅- ⎪⎝⎭
=-+- 1
2
42n n -+=-
． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为
, 由,得
,
,
∴
，
.
(2)∵,
∴
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 .
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+ 【解析】
试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分
由,得
,
,
∴
， …………………… 3分
. …………………… 4分
(2)∵
, …………………… 5分
∴， …………………… 6分
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴11
11
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++………………… 10分
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n 项和的求法．
点评：裂项法是求前n 项和常用的方法之一．常见的裂项有：
，
，，
，，。