1.2.2 组合(2)12113005

1 M N. 3
10（教材23页例6 ）一位教练的足球队共有17名初级学 员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛 规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场 方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门 员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
5 3 或 C12 C10 672 （种） .
(4) 按女同学的选取情况分类： 选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1 名男同学；选5名女同学． 所有选法数为：
2 3 3 2 4 1 5 C5 C7 C5 C7 C5 C7 C5 596
(种 )
例3 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法 种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2） A、B都不当选；（3） A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学， 让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员 由男生担任，文娱委员由女生担任． (4)方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的 情况，所有方法总数为：
1.2.5
组合（2）
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
排列定义:
一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个 不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
组合数:
从n个不同元素中取出m（ m≤n ） 个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ出m个元素的组合数， m 记作： Cn ． （ m≤n ，且 m，n∈N* ）
m 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Am ．
m
m m m 根据分步计数原理，得到：An Cn Am
m n( n 1)( n 2)( n m 1) A m n 因此： C n m m! Am
这里 m，n∈N*，且m≤n ，这个公式叫做组合数公式．
组合数公式
17
（2）教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组， 共有 C
11 17 种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员， 共有 C
1 种选法。 11
所以教练员做这件事情的方法数有
C C = 136136（种）.
11 17 1 11
课时作业25页【自主评价2】
组合数性质：
性质1
C C
m n
n m n
性质2
m m m 1 Cn C C 1 n n
注意： （1） 为了使上面的公式在m＝n时也能成立， n 0 规定 Cn 1， 当 m 时，利用这个性质计算比较简便． 2 （2）上面两个性质，除了根据组合定义直接得到 外，还可用组合数公式证明．
1 98
解法2：（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种 数，就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件都是合 3 3 格品的抽法的种数，即 C100 C98 9604 .
例3 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法 种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2） A、B都不当选；（3） A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学， 让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员 由男生担任，文娱委员由女生担任． 解：（1）除A、B当选外，再从其它10个人中选3人，共有的
【分析】对于（1），根据题意，17名学员没有角色差 异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选 出11个元素的组合问题；对于（2），守门员的位置是 特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个 分步完成的组合问题。
【解析】（1）由于上场学员没有角色差异，所以可 以形成的学员上场方案有 C 11 = 12376（种）.
课时作业27页【自主评价2】 从含有甲的4n个不同元素中取出n个元素，试证明 1 其中含甲的组合数恰为不含甲的组合数的 . 3 n1 【证明】 因为含有甲的组合数为： M =C4 n1
n 不含有甲的组合数为: N =C4 n 1
M C N C
n 1 4 n 1 n 4 n 1
(4n 1)! ( n 1)!(3n )! 1 (4n 1)! 3 n !(3n 1)!
C C C C 596 (种)
5 12 5 7 1 5 4 7
（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委， 剩下的10人中任取3人担任其它3个班委． 用分步计数原理可得到所有方法总数为：
C C A 25200
1 7 1 5 3 10
（种）
课后作业
1. 教材作业第27页 A组 2. 教辅课时作业第28~29页 1.1.3 1.1.4
注意 :“ 一个组合”与“组合数”的不同：“一个组 合”是指“从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成一 组” ；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数” ．
组合数公式：
一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 m 列数 An ，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 C n ．
3 120（种）． 选法种数为 C10 5 （2）去掉A、B 从其它10人中任选5人,共有的选法种 C10 252 (种) 5 （3）按A、B的选取情况进行分类： A、B全不选的方法数为C10 、
5 1 4 1 4 选1人的方法数为 C2 （种）． C2 C10 672 C10 ，共有选法 C10
A nn 1n 2n m 1 C A m!
m n m n m m
上面的公式还可以写成
n! A (n m ) !
m n
n! C m !(n m ) !
m n
n 上面第一个公式一般用于计算，但当 m 时，利用第二 2 个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进 行变形和论证时，常用第二个公式．
1 2 n 求证： ... <1. 2! 3! ( n 1)!
证明：
1 1 k ( k 1)! k ! ( k 1)! 1 2 n ... 2! 3! ( n 1)! 1 1 1 1 1 1 1 1 =( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 2! 2! 3! 3! 4! n ! ( n 1)! 1 =1 <1. ( n 1)!
例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100 件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中 3 取出3件的组合数，为 100 99 98 161700 .
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解法1：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法 ，包括1 可以分两类 ： 件是次品或2件是次品 . 恰有一件次品 C2 C98
1 2
； 恰有两件次品 C C 1 1 2 1 (种) 故共有 C2 C98 C2 C98 9604
2 2
3. 教辅第56页~63页
C100
6
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有 C
从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有 C
1 2
种，
种．
2 98
因此抽出的3件中恰有1件是次品的抽法的种数是
C C 98 97 9506 .
1 2
2 98
例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100 件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
例1 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有 多少条？以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个 不同元素中取出2个元素的组合数，即 C 2 10 9 45 10 2 由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终 点，以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中取出2个元素的排列数，即 A 2 10 9 90. 10 答：线段共有45条，有向线段共有90条 . 注意：区别排列与组合的关键是看元素有无顺序， 若不考虑线段两个端点的顺序，则是组合问题；若 考虑线段两个端点的顺序，则是排列问题．