高考数学(文)一轮对点训练：2-9-2函数的综合应用答案解析

x x x
1．设函数 f(x) ＝a＋ b－ c ，此中 c>a>0， c>b>0.
(1)记会合 M＝{( a，b，c)|a，b，c 不可以组成一个三角形的三条边长，且a＝ b} ，则 (a， b，
c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值会合为 ________；
(2)若 a， b，c 是△ ABC 的三条边长，则以下结论正确的选项
是________． (写出全部正确结论的序号 )
①? x∈ (－∞， 1)， f( x)>0 ；
②? x∈ R，使 a x， b x， c x不可以组成一个三角形的三条边
长；③若△ ABC 为钝角三角形，则 ? x∈ (1,2) ，使 f(x)＝ 0.
答案(1){ x|0<x≤1}(2) ①②③
分析(1)由已知条件 (a， b， c)∈ M， c>a>0 ， c>b>0， a， b，c 不可以组成一个三角形
的
三条边长，且a＝ b 得 2a≤c，即c x xx
＝0 时，有2a
x x
c x
2，a≥ 2a. ＋ b－ c＝ c ，a＝ 2，解得 x＝ log c
a
1
＝ log2c
≥1，∴ 0<x≤1，即 f(x)＝ a x＋ b x－c x的零点的取值会合为{ x|0<x≤1}．
x a
a b
(2)关于①，∵ c>a>0 ，c>b>0 ，∴ 0<c<1,0< c<1.
此时函数 y＝a x
＋
b x在 (－∞，1)上为减函数，得 a x＋ b x a b
c c c c
>＋，又 a，b，c 是△ ABC
c c
的三条边长，∴a＋ b>c，即a
＋
b
>1，得
a x
＋
b x x x x
－∞，1)，f(x) c c c c>1 ，∴ a ＋ b>c ，∴ ? x∈ (
＝ a x＋b x－ c x>0 ，故①正确；
关于②，∵ y＝a x
， y＝
b x
在 x∈ R 上为减函数，∴当x→＋∞时，
a x
与
b x
无穷接c c c c
近于零，故 ? x∈ R，使a x
＋
b
x<1，即 a x＋ b x<c x，所以 a x， b x，c x不可以组成一个三角形
的
c c
三条边长，故②正确；
关于③，若△ ABC为钝角三角形， c 为最大边，则a＋ b>c，a2＋ b2<c2，结构函数g(x)
＝a x
＋
b x
－ 1.又 g(1)＝
a b a＋ b－ c
c c c
＋－1＝
c
>0，
c
a 2
b 2222a
＋－ 1＝
a ＋ b－ c
g(2)＝c c c2<0，∴ y＝ g(x)在 (1,2)上存在零点，即 ? x∈ (1,2)，使c
x
b x x x x
＋c－ 1＝ 0，即 f(x)＝ a ＋ b－ c＝ 0，故③正确．综上所述，结论正确的选项是①②③.
2．如图为某质点在 4 秒钟内作直线运动时，速度函数v＝ v(t)的图象，则该质点运动的总行程为 ________cm.
答案11
分析
11
×2×4＝ 11.总行程为 (2＋ 4) ×1×＋4×1＋
22
3.已知函数 f(x)＝ x3＋ax2＋ b(a， b∈R)．
(1)试议论 f(x)的单一性；
(2)若 b＝ c－ a(实数 c 是与 a 没关的常数 )，当函数 f(x) 有三个不一样的零点时， a 的取值
范围恰巧是 (－∞，－
3
3，＋∞
，求 c 的值．3)∪ 1，2∪2
22a
解(1)f′(x)＝ 3x＋ 2ax，令 f′(x)＝ 0，解得 x1＝ 0， x2＝－3 .
当 a＝0 时，由于 f′(x)＝ 3x2>0( x≠ 0)，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单一递加；
当a>0时，x∈－∞，－2a
∪ (0，＋∞)时， f′(x)>0 ， x∈ －
2a
， 0 时， f′(x)<0，33
所以函数 f(x)在－∞，－
2a
－
2a
， 0
上单一递减；
3， (0，＋∞)上单一递加，在3
当 a<0 时， x∈(－∞，0)∪－
2a
，＋∞
时， f′(x)>0， x∈0，－
2a
时， f′(x)<0 ，33
所以函数 f(x)在(－∞， 0)，－2a2a
3
，＋∞上单一递加，在
0，－3上单一递减．
(2)由 (1)知，函数 f(x)的两个极值为f(0) ＝b， f －2a＝4a3＋ b，则函数 f(x)有三个不一
样
327
的零点等价于
－2a
＝b
43
＋ b <0，
f(0) f·327
a
a>0，a<0，
进而 4 3或43－27a <b<00<b<－27a .
又 b ＝c － a ，所以当 a>0 时， 4
a 3
－ a ＋c>0 或当 a<0 时， 4
a 3－ a ＋ c<0.
2727
4 3
设 g( a)＝27a － a ＋ c ，由于函数 f(x)有三个不一样的零点时， a 的取值范围恰巧是 (－ ∞，
－ 3)∪ 1，
3
2 ∪ 3
2，＋ ∞ ，
则在 (－∞，－ 3)上 g(a)<0 ，
3
3
且在 1， 2 ∪ 2，＋ ∞ 上 g(a)>0 均恒建立，
进而 g(－ 3)＝ c － 1≤0，
且 g
3
2 ＝ c － 1≥0，
所以 c ＝ 1.
此时， f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ 1－a ＝ (x ＋ 1)[x 2＋(a － 1)x ＋ 1－a] ，
因函数有三个不一样的零点，则
x 2＋ (a － 1)x ＋ 1－ a ＝ 0 有两个异于－ 1 的不等实根，
所以 ＝ (a － 1)2－ 4(1－ a)＝ a 2＋ 2a －3>0 ，且 (－ 1)2－ (a － 1)＋ 1－ a ≠0，
3
3
，＋ ∞
.综上 c ＝1.
解得 a ∈ (－ ∞，－ 3)∪ 1，2 ∪ 2。